CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

Una función y = h(x) se llama implícitamente definida por una ecuación de dos variables ${\displaystyle f(x,\,y)=0.}$, si al reemplazar y por por h(x) , la ecuación f(x,y) = 0 resulta una identidad en x. ¹​ ²​ ³​

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ entre las variables x e y:

${\displaystyle y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0\,}$

En algunos casos se puede explicitar la función y = h(x), pero en otros casos no se puede resolver ni explicitar

Ejemplo

${\displaystyle \operatorname {sen}(x+y)^{2}=e^{2x+5y}\,}$

Derivación[editar]

Para derivar una función impli y arregloscitamenta definida, sregla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar una función de la variable dependiente, se la considera como una función de función :

Dada una función ${\displaystyle F(x,y)\,}$, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}$.

Si consideramos ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ es una función en términos de la variable independiente x y ${\displaystyle G\left(y\right)}$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$, entonces para obtener la derivada:

${\displaystyle D_{x}\left(G\left(y\right)\right)=D_{x}\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G'\left(f\left(x\right)\right)\left(f'\left(x\right)\right)}$

Ejemplo[editar]

Obtener la derivada de:

${\displaystyle 6x^{2}y+5y^{3}+3x^{2}=12-x^{2}y^{2}\,}$

El término ${\displaystyle 6x^{2}y}$ se puede considerar que son dos funciones, ${\displaystyle 6x^{2}}$ y ${\displaystyle y}$ por lo que se derivará como un producto:

${\displaystyle D_{x}\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^{2}\right)\cdot \left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

El término ${\displaystyle 5y^{3}}$ se deriva como:

${\displaystyle D_{x}\left(5y^{3}\right)=15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

El término ${\displaystyle 3x^{2}}$ se deriva de forma normal como:

${\displaystyle D_{x}\left(3x^{2}\right)=6x\,}$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

${\displaystyle D_{x}\left(12\right)=0\,}$

El término ${\displaystyle x^{2}y^{2}}$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

${\displaystyle D_{x}\left(x^{2}y^{2}\right)=2xy^{2}+x^{2}\cdot \left(2y\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)}$

Al unir todos los términos se obtiene:

${\displaystyle 12xy+6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+6x=-2xy^{2}-2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

Ordenando:

${\displaystyle 6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}=-12xy-6x-2xy^{2}}$

Factorizando respecto a ( ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ ) los valores son:

${\displaystyle \left(6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}=-\left(12xy+6x+2xy^{2}\right)}$

Finalmente despejando ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {12xy+6x+2xy^{2}}{6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y}}}$

El ángulo_hiperbólico u es un número real que es el argumento de las funciones hiperbólicas sinh y cosh. Determina un sector hiperbólico (rojo) que tiene un área u. Las ramas del triángulo hiperbólico(amarillo) son proporcionales a sinh(u) y cosh(u).

Superior: Ángulos hiperbólicos positivo y negativo. Inferior: La diferencia entre dos ángulos positivos se muestra como Δu = u₂− u₁.

En matemáticas, un ángulo hiperbólico es una figura geométrica que divide a la hipérbola. Las relaciones del ángulo hiperbólico se asemejan a la relación que existe entre un ángulo ordinario y un círculo. El ángulo hiperbólico es definido para una "posición estándar", y se lo asocia con la medida de un intervalo de una rama de una hipérbola.

Un ángulo hiperbólico en posición estándar es el ángulo en (0, 0) entre el rayo hasta (1, 1) y el rayo hasta (x, 1/x) donde x > 1.

La magnitud del ángulo hiperbólico es el área del sector hiperbólicocorrespondiente que vale ln x.

Notar que a diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no se encuentra acotado, tal como sucede con la función ln x, una característica relacionada con la naturaleza no acotada de las series armónicas. El ángulo hiperbólico en posición estándar es considerado negativo cuando 0 < x < 1.

Supóngase que ab = 1 y cd = 1 con c > a > 1 de forma tal que (a, b) y (c, d) determinan un intervalo sobre la hipérbola xy = 1. Entonces el mapeo de compresión con elementos diagonales b y a mapea este intervalo al ángulo hiperbólico en posición estándar que va desde (1, 1) a (bc, ad). De acuerdo a la relación descubierta por Gregoire de Saint-Vincent, el sector hiperbólico determinado por (a, b) y (c, d) tiene la misma área que este ángulo en posición estándar, y la magnitud del ángulo hiperbólico corresponde con esta área.

Las funciones hiperbólicas sinh, cosh, y tanh utilizan el ángulo hiperbólico como su variable independiente porque sus valores pueden ser planteados mediante analogías con las funciones trigonométricas circulares cuando el ángulo hiperbólico define un triángulo hiperbólico. Por lo tanto este parámetro es sumamente útil en el cálculo de una variable real.

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS  FUNCIONES HIPERBÓLICAS   Las funciones  y = sinh x,  y = cosh x,  y = tanh x.   En forma analítica, estas funciones pueden ser expresadas de forma análoga a las relaciones de Euler para las funciones circulares, esto es:       *  gráfica  de  y = sinh x      La función senh x crece muy rápidamente hacia infinito , tanto en el eje positivo como en el negativo (hacia infinito negativo).    *  gráfica  de  y = cosh x  La función cosh x crece  muy rápidamente tanto en el eje positivo como el negativo hacia infinito positivo.   *  gráfica  de  y = tanh x  La función y = tanh x tiene por asíntota y=1 en el infinito positivo, y por asíntota y=-1 en el infinito negativo.    Algunas relaciones:          Las funciones hiperbólicas inversas:   Las funciones inversas de sinh x, cosh x, tanh x, son, respectivamente llamadas "argumento seno hiperbólico", "argumento coseno hiperbólico" y "argumento tangente hiperbólica" (NOTA: algunos autores las llaman  "arco seno hiperbólico", "arco coseno hiperbólico" y "arco tangente hiperbólica"):    y = arg sinh x    (función inversa de  y = sinh x) ,    y = arg cosh x   (función inversa de  y = cosh x) ,    y = arg tanh x    (función inversa de  y = tanh x) .   De cualquier manera cada una de estas tres funciones tiene otra forma analítica más manejable:    Por ejemplo, para la primera de ellas, podemos partir de: despejar x: por lo tanto, la función inversa del seno hiperbólico,  y = arg sinh x, puede también ser expresada: en definitiva, las tres funciones hiperbólicas inversas son:       Cuyas gráficas son:    Observaciones:     *  y = arg sinh x se hace + (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo, y se hace -, asimismo lentamente, en el infinito negativo.   *  y = arg cosh x sólo esta definido para valores mayores o iguales a 1, se hace + (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo.   *  y = arg tanh x sólo esta definido para valores de x comprendidos entre -1 y +1, se hace + (creciendo rapidisimamente) en x=+1, y se hace -, asimismo rapidisimamente, en x=-1.