CÁLCULO

INTEGRALES

integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}$ y ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}$

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx}$

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos ${\displaystyle a}$ factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)}}=}$

${\displaystyle ={\sqrt {a\cdot \left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}}}$

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

1. ${\displaystyle a>0}$ Λ ${\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+n^{2}}}}$
2. ${\displaystyle a>0}$ Λ ${\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}<0 annotation="">$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-n^{2}}}}$
3. ${\displaystyle a<0 annotation="">$ Λ ${\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0}$ es decir: ${\displaystyle {\sqrt {n^{2}-m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}}$

Teniendo la forma las ecuaciones conocidas con:

${\displaystyle u=m\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}$

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

1. ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}+n^{2}}};\quad u=n\cdot \tan t}$
2. ${\displaystyle {\sqrt {u^{2}-n^{2}}};\quad u=n\cdot \sec t}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {n^{2}-u^{2}}};\quad u=n\cdot \sin t}$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en ${\displaystyle t}$, se resuelve y se deshace el cambio.

integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integralcuya función es evaluada sobre una superficie.

Integral de superficie de un campo escalar[editar]

Se define la integral de superficie como:

Sea ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} }$ una función continua definida en la superficie ${\displaystyle S}$ cuya parametrización está dada por ${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)=x(u,v){\hat {i}}+y(u,v){\hat {j}}+z(u,v){\hat {k}}}$. Si la superficie ${\displaystyle S}$ tiene como dominio la región ${\displaystyle T}$ en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)\,dS=\iint _{T}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\,\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|\,du\,dv}$

en donde ${\displaystyle {\vec {r}}_{u},{\vec {r}}_{v}}$ son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.¹​

La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria de los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por dA.

Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}du,{\vec {r}}_{v}dv}$ de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$ es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paralelógramo, por lo tanto, ${\displaystyle dS=\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|du\,dv}$. Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.²​

Integral de superficie de un campo vectorial[editar]

Definimos la integral de superficie de un campo vectorial ${\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}$ bajo condiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:³​

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot d\mathbf {S} =\iint _{T}\mathbf {F} [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\cdot \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\,du\,dv}$

Las componentes del vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ pueden escribirse como determinantes jacobianos de la siguiente forma:⁴​

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {k}} }$

Por lo tanto, si ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$, la integral de superficie puede escribirse como:

${\displaystyle \iint _{S}F_{x}\,dy\,dz+F_{y}\,dz\,dx+F_{z}\,dx\,dy=\iint _{T}F_{x}{\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+F_{y}{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+F_{z}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\,du\,dv}$

Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy o dz es importante, ya que ${\displaystyle {\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}=-{\frac {\partial (z,y)}{\partial (u,v)}}}$,⁵​ por lo que, por ejemplo:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dy\,dz=-\iint _{S}f(x,y,z)dz\,dy}$

La integral de superficie de un campo escalar y la integral de superficie de un campo vectorial están conectadas mediante la identidad:

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot d\mathbf {S} =\iint _{T}\mathbf {F} [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS}$

en la cual, ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\|}}}$ es un vector unitario normal a la superficie S.⁶​

Superficie cerrada[editar]

Cuando se busca la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es frecuente usar un signo especial:

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {S} =\oint _{S}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {S} }$

Además el teorema de Gauss (de la divergencia) permite calcular la integral anterior como:

${\displaystyle \oint _{S=\partial V}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \ dV=\int _{V}\mathrm {div} \mathbf {F} \ dV}$

 integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei.

Gráfica de la función E₁ (arriba) y de la función Ei (parte inferior).

Definiciones[editar]

Para valores reales de ${\displaystyle x}$, la integral exponencial ${\displaystyle Ei(x)}$ se define como

${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,}$

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de ${\displaystyle x}$, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en ${\displaystyle \infty }$.¹​ En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,²​

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }$

Para valores positivos de la parte real de ${\displaystyle z}$, esto se puede expresar como³​

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.}$

El comportamiento de E₁ cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:⁴​

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0\pm }\mathrm {E_{1}} (-x+i\delta )=-\mathrm {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0,}$

Propiedades[editar]

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear él la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

Series Convergentes[editar]

Tras integrar la serie de Taylor de ${\displaystyle e^{-t}/t}$, y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (x)}$ para ${\displaystyle x}$ real:⁵​

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\qquad x>0}$

Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a⁶​

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )}$

donde ${\displaystyle \gamma }$ es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo ${\displaystyle z}$ complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.

Series Asintóticas[editar]

Error relativo de la aproximación asintótica para diferente número ${\displaystyle ~N~}$ de términos de la suma truncada

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para ${\displaystyle x=10}$, se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas.⁷​ Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de ${\displaystyle ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)}$ por partes:⁸​

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}}$

cuyo error es del orden ${\displaystyle O(N!z^{-N})}$ y es válida para grandes valores de ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$. El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de ${\displaystyle N}$ (${\displaystyle N=1}$ en rojo, ${\displaystyle N=5}$ en rosa). Cuando ${\displaystyle x>40}$, la aproximación dada con ${\displaystyle N=40}$ es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas[editar]

Acotamiento de ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} }$ por funciones elementales

De las series dadas arriba, se deduce que ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} }$ se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento, ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} }$ queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:⁹​

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)0}$

La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (x)}$, es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.

Definición mediante ${\displaystyle \mathrm {Ein} }$[editar]

Las funciones ${\displaystyle \mathrm {Ei} }$ y ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} }$ pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera ${\displaystyle \mathrm {Ein} }$¹⁰​ definida como

${\displaystyle \mathrm {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definición de ${\displaystyle \mathrm {E_{1}} }$). Se sigue inmediatamente que:

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi }$

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0}$

Relación con otras funciones[editar]

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral ${\displaystyle li(x)}$ por la siguiente relación

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\mathrm {Ei} (\ln x)\,}$

para valores positivos reales de ${\displaystyle x}$.

La integral exponencial se puede generalizar a

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,}$

que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:¹¹​

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}$

Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function¹²​ ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$, que se define como

${\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,}$

Derivadas[editar]

Las derivadas de las funciones ${\displaystyle \mathrm {E_{n}} }$ pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula¹³​

${\displaystyle \mathrm {E_{n}} '(z)=-\mathrm {E_{n-1}} (z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Nótese que la función ${\displaystyle \mathrm {E_{0}} }$ es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es ${\displaystyle e^{-z}/z}$.¹⁴​

Integral Exponencial de argumento imaginario[editar]

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (ix)}$ respecto a ${\displaystyle x}$; parte real en negro, parte imaginaria en rojo.

Si ${\displaystyle z}$ es imaginario, la función tiene una parte real no nula, así podemos usar la fórmula

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t}$

para obtener una relación de la exponencial integral con las integrales trigonométricas ${\displaystyle \mathrm {Si} }$ y ${\displaystyle \mathrm {Ci} }$:

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\mathrm {Si} (x)\right)-\mathrm {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Las partes real e imaginaria de  están dibujadas en la gráfica de la derecha en negro y rojo respectivamente.