CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

cuadratura es un término histórico con el que se denomina la determinación del área de una figura. Las cuestiones de cuadratura fueron una de las fuentes principales de problemas que impulsaron el desarrollo del cálculo, y sirvieron para introducir temas importantes en el análisis matemático.

Historia[editar]

Método clásico para determinar la media geométrica

Los matemáticos de la Grecia antigua, según la doctrina pitagórica, entendieron la determinación del área de una figura como el proceso de construir geométricamente un cuadrado con la misma área (cuadrando), de ahí el nombre de cuadratura para este proceso. Los geómetras griegos no siempre tuvieron éxito (véase el problema de la cuadratura del círculo), pero fueron capaces de llevar a cabo cuadraturas de algunas figuras cuyos lados no son sencillamente segmentos rectos, como las lúnulas de Hipócrates y la cuadratura de la parábola. Siguiendo la tradición griega, estas construcciones tenían que ser realizadas utilizando únicamente regla y compás.

Para la cuadratura de un rectángulo con lados a y b es necesario construir un cuadrado de lado ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$(la media geométrica de a y b). Para este propósito es posible utilizar el procedimiento siguiente: si se dibuja un círculo cuyo diámetro sea la suma de dos segmentos de longitudes a y b, entonces la altura (BH en el esquema) del segmento de línea trazado perpendicular al diámetro desde el punto de conexión de los segmentos al punto donde cruza el círculo, equivale a la media geométrica de a y b. Una construcción geométrica similar soluciona los problemas de cuadratura de un paralelogramo y de un triángulo.

El área de un segmento de una parábola es 4/3 del área de cierto triángulo inscrito.

Los problemas de cuadratura de figuras curvilíneas son mucho más difíciles. La imposibilidad de la cuadratura del círculo con compás y regla se probó en el siglo XIX. No obstante, para algunas figuras (como por ejemplo, las lúnulas de Hipócrates) puede construirse su cuadratura. Las cuadraturas de la superficie de una esfera y de un segmento de parábola descubiertas por Arquímedes se consideran dos de los mayores logros del análisis en la antigüedad.

• El área de la superficie de una esfera es igual a cuatro veces el área de su círculo máximo.
• El área de un segmento de una parábola determinada por una línea recta que la corta es 4/3 el área de un triángulo inscrito en este segmento.

Para la prueba de estos resultados, Arquímedes utilizó el método de exhaustación¹​^:113 de Eudoxo.

En la Europa medieval, la cuadratura pasó a ser el cálculo de un área por cualquier método. Muy a menudo se utilizó el método de los indivisibles. Menos riguroso que las construcciones geométricas de los griegos, sin embargo era un procedimiento más sencillo y más potente. Con su ayuda, Galileo Galilei y Gilles de Roberval hallaron el área de un arco de cicloide; Grégoire de Saint-Vincent investigó el área bajo una hipérbola(Opus Geometricum, 1647); y Alfonso Antonio de Sarasa, alumno y comentarista de Saint Vincent, dedujo la relación de este área con los logaritmos.²​^:491:492

John Wallis dotó a este método de rigor algebraico. Así, en su Arithmetica Infinitorum (1656) analizó algunas series equivalentes a lo que ahora se denominan integrales definidas, y calculó sus valores. Isaac Barrow y James Gregory lograron mayores progresos: determinaron las cuadraturas de algunas curvas algebraicas y espirales. Christiaan Huygens por su parte logró determinar la cuadratura del área de las superficies de algunos sólidos de revolución.

La cuadratura de la hipérbola por obra de Saint-Vincent y de Sarasa proporcionó una función nueva, el logaritmo natural, de trascendental importancia. Con la invención del cálculo integral se ideó un método universal para el cálculo de áreas. En correspondencia, el término cuadratura ha pasado a ser una denominación tradicional (o incluso arcaica). La expresión moderna generalmente utilizada técnicamente para designar la determinación de un área es el cálculo de una integral definida de una variante.

curva integral de un campo vectorial es el análogo abstracto de la línea de corriente en el flujo de un fluido. En física cuando el campo en cuestión representa un campo de fuerzas las curvas integrales corresponden a las líneas de fuerza.

Definición[editar]

Dado un campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {V} (x)}$ definido en algún conjunto abierto A en el espacio euclídeo, o más generalmente en una variedad diferenciable ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, una curva integral ${\displaystyle C(t)\,}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ en un punto dado P de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ es la curva en ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$definida en un cierto intervalo [-a, a] con 0 < a, tal que

${\displaystyle C:[-a,a]\to A\subset {\mathcal {M}},\qquad {\mbox{con}}\quad C(0)=P}$

y tal que la derivada:

${\displaystyle C'(t)=D_{t}C(t)=\mathbf {V} (C(t))}$

Esta última condición en la derivada equivale a que el vector tangente a la curva C sea precisamente el vector dado por V.

Propiedades[editar]

Además el conjunto de curvas integrales de una región constituye una foliación unidimensional de dicha región. Eso implica que dado un punto de esa región donde el campo no sea nulo, por ese punto pasa una y sólo una curva integral.

Esas propiedades de las curvas integrales, hacen posible visualizar un campo vectorial como dando lugar a un flujo en M, con cada punto moviéndose en la dirección vectorial dada por V, y en una tasa proporcional a su longitud. Si V tiene un cero en un punto Q, entonces Q será inmóvil (es decir la curva constante a Q será la curva integral). Esto es un flujo 'estacionario' (independiente del tiempo); como un modelo de una ecuación diferencial ordinaria, éste es el más simple posible, y las representaciones del espacio de fase se utilizan a menudo para construir tal campo vectorial auxiliar.

Desde un punto de vista matemático, puede haber problemas en extender una curva integral para tener como dominio el conjunto de la recta de los números reales. El flujo puede por ejemplo alcanzar el borde de M en un tiempo finito. Los usos típicos son el flujo geodésico, y subgrupos uniparamétricos y función exponencial en grupos de Lie.

En matemáticas, la función indicatriz o función característica de un subconjunto ${\displaystyle \ A\subseteq X}$es una función definida en el conjunto ${\displaystyle \ X}$, y que indica la pertenencia, o no, de cada elemento de ${\displaystyle \ X}$ al subconjunto ${\displaystyle \ A}$, al asignar el valor 1 a todos los elementos de ${\displaystyle \ A}$ y el valor 0 a todos los elementos de ${\displaystyle \ X\setminus A}$ (no incluidos en ${\displaystyle \ A}$).

Definición[editar]

La función indicatriz del subconjunto ${\displaystyle \ A}$ del conjunto ${\displaystyle \ X}$ es una función

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}\,}$

definida como

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{si }}x\in A,\\0&{\text{si }}x\notin A.\end{cases}}}$

El corchete de Iverson permite una notación equivalente, ${\displaystyle [x\in A]}$, que se puede usar en lugar de ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x).}$

La función ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ en ocasiones se expresa ${\displaystyle \chi _{A}\!}$ o ${\displaystyle \mathbf {I} _{A}\!}$ o incluso ${\displaystyle A\!}$. (La letra ${\displaystyle \chi \!}$ se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego.)

Propiedades básicas[editar]

La functión indicatriz o característica de un subconjunto ${\displaystyle A\!}$ de un conjunto ${\displaystyle X\!}$, asocia elementos de ${\displaystyle X\!}$ al conjunto ${\displaystyle \{0,1\}\!}$.

La correspondencia es sobreyectiva solo cuando ${\displaystyle A}$ es un subconjunto propio de ${\displaystyle X\!}$. Si ${\displaystyle A\equiv X\!}$, entonces ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1}$. Por un argumento similar, si ${\displaystyle A\equiv \varnothing }$ entonces ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0}$.

En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "${\displaystyle \cap }$" y "${\displaystyle \cup }$" son intersección y unión respectivamente.

Si ${\displaystyle A\!}$ y ${\displaystyle B\!}$ son dos subconjuntos de ${\displaystyle X\!}$, entonces

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,}$ (intersección de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},}$ (unión de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\Delta B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2\cdot \mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},}$ (diferencia simétrica de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$ (complemento de un conjunto)

Pero si tomamos ${\displaystyle \{0,1\}}$ como el anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ con sus operaciones de suma y producto habituales, entonces:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,}$ (intersección de conjuntos)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\Delta B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B},\,}$ (diferencia simétrica de conjuntos)

mostrando que la función que asigna a cada subconjunto del conjunto potencia de ${\displaystyle X\!}$ su función característica es un isomorfismo de anillos entre el conjunto potencia de ${\displaystyle X\!}$ (con la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos como producto y suma respectivamente) y el conjunto de las funciones de ${\displaystyle X\!}$ en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ con la suma y producto de funciones definidas por las operaciones dentro del anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ punto a punto sobre todo ${\displaystyle X\!}$.

Continuando con el complemento de conjuntos, y generalizando: supongamos que ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ es una colección de subconjuntos de ${\displaystyle X\!}$; si denotamos ${\displaystyle I_{n}=\{1,2,3,...,n\}}$ como el conjunto de índices, entonces:

${\displaystyle \prod _{k\in I_{n}}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$ , para todo ${\displaystyle x\in X}$.

es claramente un producto de ${\displaystyle 0}$s y ${\displaystyle 1}$s. Este producto vale 1 precisamente para los ${\displaystyle x\in X}$ que no pertenecen a ninguno de los conjuntos ${\displaystyle A_{k}\!}$ y ${\displaystyle 0}$ en caso contrario. Esto es,

${\displaystyle \prod _{k\in I_{n}}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$

Expandiendo el producto del lado izquierdo,

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$

donde ${\displaystyle |F|\!}$ es la cardinalidad de ${\displaystyle F\!}$. Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria. La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si ${\displaystyle X\!}$ es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad ${\displaystyle \mathbb {P} }$ y ${\displaystyle A\!}$ es un conjunto medible, entonces ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de ${\displaystyle A\!}$:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbb {P} =\int _{A}d\mathbb {P} =\operatorname {P} (A).\quad }$

Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.

En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.

Gráfico de una función indicatriz que muestra a un subconjunto de los puntos de un cuadrado en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (en rojo), donde los puntos ${\displaystyle x\in A}$ tienen coordenada z=1 (color ocre), mientras que los puntos ${\displaystyle x\notin A}$ del cuadrado tienen coordenada z=0 (rojos).