CÁLCULO

CÁLCULO MULTIVARIABLE

Gráfico de la función f(z)=(z²-1)(z-2-i)²/(z²+2+2i). La coloración representa el argumento de la función, mientras que el brillo representa el módulo.

El análisis complejo (o teoría de las funciones de variable compleja) es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.

El que una función compleja sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como una serie de potencias en algún disco abierto donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición relacionada con función holomorfa es función analítica: una función compleja sobre los complejos que puede ser representada como una serie de potencias. De modo que toda función holomorfa también cumple la definición de función analítica pero no toda función analítica es holomorfa. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.

Historia[editar]

Augustin Louis Cauchy, uno de los grandes precursores del análisis complejo.

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Resultados principales[editar]

Integrales de contorno[editar]

Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de contorno. La integral de una función que sea holomorfa sobre y en el interior de un camino cerrado es siempre cero. Esto es el Teorema integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un disco pueden ser hallados mediante una integral de contorno sobre la frontera del disco (fórmula integral de Cauchy). Las integrales de contorno en el plano complejo se usan a menudo para encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos. Si una función tiene un una singularidad en algún punto (o número finitos de ellos), que quiere decir que sus valores "estallan", que no tiene un valor finito en tales puntos, entonces se puede definir el residuo de la función en dicha singularidad, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales aparentemente difíciles de una manera sencilla, este es el contenido del poderoso teorema de los residuos. El curioso comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funciones que tienen solo polos (un tipo de singularidad de funciones racionales donde el polinomio denominador tiene un número finito de ceros) y no singularidades esenciales se dicen meromorfas.

Series de Laurent[editar]

Las series de Laurent son similares a las series de Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades.

Teorema de Liouville[editar]

Una función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville, que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Continuación analítica[editar]

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio más pequeño. La función sobre el dominio más grande se diría que está analíticamente continuada, que es la continuación desde sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funciones como la función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen solo sobre dominios limitados. Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida como superficie de Riemann.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann[editar]

Las funciones analíticas u holomorfas están íntimamente ligadas a las ecuaciones en derivadas parciales de dos modos. Una función diferenciable del plano al plano es analítica si y solo si satisface un sistema de ecuaciones de primer orden llamado las ecuaciones de Cauchy Riemann. Por otro lado, la parte real e imaginaria de una función holomorfa tienen que ser funciones armónicas. Las ecuaciones de Cauchy Riemann son el prototipo de un sistema elíptico de primer orden¹​

Otros[editar]

Varias variables complejas[editar]

Existe también una rica teoría en el caso de más de una dimensión compleja, donde las propiedades analíticas como las de expansión en series de potencias permanece aún cierta pero que sin embargo la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones en una dimensión compleja (como la de transformación conforme) ya no lo son. El teorema de representación conforme de Riemann sobre las relaciones conformes de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla totalmente en dimensiones mayores.

Dimensiones mayores reales: Teorema de Liouville (transformación conforme)[editar]

Otra manera de entender las funciones holomorfas son como funciones del espacio euclideo dos dimensional en sí mismo cuya derivada es una matriz conforme, es decir es una dilatacíon compuesta con una isometria. Tales funciones existen también en dimensiones mayores pero otro teorema de Liouville demuestra que deben ser necesariamante transformaciones de Moebious, es decir composiciones de movimientos rígidos e inversiones respecto a esferas.²​ En particular, si en dimensión dos el teorema de representación conforme de Riemannasegura que cualquier dominio simplemente conexo es la imagen mediante una transformación conforme del disco unidad, la rigidez proporcionada por este teorema de Liouville implica que en dimensiones mayores las imágenes de la bola unidad mediante transformaciones conformes son necesariamente bolas con otro centro y otro radio.

forma modular es una función analítica compleja en el semiplano superior que satisface un cierto tipo de ecuación funcional y condición de crecimiento. Por lo tanto la teoría de las formas modulares pertenece al análisis complejo, pero la principal relevancia de la teoría ha estado tradicionalmente en sus conexiones con la teoría de números. Las formas modulares aparecen en otras áreas, tales como la topología algebraica y la teoría de cuerdas.

Una función modular es una forma modular de peso 0: es invariante ante el grupo modular, en vez de transformarse en la forma prescripta, y por lo tanto es una función modular en la región modular.

La teoría de la forma modular es un caso especial de la teoría más general de las formas automórficas y por lo tanto puede ser considerada como la parte más concreta de la amplia teoría de grupos discretos.

Formas modulares para SL(2, Z)[editar]

Definición Estándar[editar]

Una forma modular de peso k para el grupo modular

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

es una función  f  de valores complejos sobre el semiplano positivo H = {z ∈ C, Im(z) > 0}, que satisface las tres siguientes condiciones:

(1)  f  es una función holomorfa sobre H.

(2) Para cualquier z ∈ H y cualquier matriz en SL(2, Z) como la de arriba, se tiene:

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

(3)  f  se requiere que sea holomorfa cuando z → i∞.

Observaciones:

• El peso k es generalmente un entero positivo.
• Para impares k, únicamente la función nula puede satisfacer la segunda condición.
• La tercera condición también puede expresarse diciendo que  f  es «holomorfa en la cúspide».
• La segunda condición para

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

indica que

${\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

respectivamente. Puesto que S y T generan el grupo modular SL(2, Z), la segunda condición de arriba es equivalente a esas dos ecuaciones.

• Las formas modulares  f (z + 1) =  f (z) son funciones periódicas, con periodo 1, y por tanto tienen series de Fourier asociadas.

Como función en grillas[editar]

Una forma modular puede ser pensada como una función F del conjunto de grillas Λ en C al conjunto de los números complejos que satisface ciertas condiciones:

(1) Si se considera la grilla ${\displaystyle \Lambda =\langle \alpha ,z\rangle }$ generada por una α constante y una variable z, entonces F(Λ) es una función analítica de z.

(2) Si α es un número complejo no nulo y αΛ es la grilla obtenida al multiplicar cada elemento de Λ por α, entonces F(αΛ) = α^−kF(Λ) donde k es una constante (típicamente un entero positivo) llamado el peso de la forma.

(3) El valor absoluto de F(Λ) permanece acotado siempre y cuando el valor absoluto del menor elemento no nulo en Λ está acotado con respecto al cero.

Cuando k = 0, la condición 2 implica que F depende solo de la clase de similaridad de la grilla. Este es un caso especial muy importante, pero las únicas formas modulares de peso 0 son las constantes. Si se elimina la condición 3 y se pemite que la función tenga polos, entonces existen ejemplos con peso 0: ellas son denominadas funciones modulares.

Esta situación puede compararse en forma favorable con el caso que resulta cuando se realiza la búsqueda de funciones en el espacio proyectivo P(V): en este caso, uno idealmente desea encontrar funciones F en el espacio vectorial V que son polinomios en las coordenadas de v≠ 0 en V y satisfacen la ecuación F(cv) = F(v) para todos los valores c no nulos. Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son constantes. Si se permite denominadores (funciones racionales en vez de polinomios), se puede permitir que F sea la relación entre dos polinomios homogéneos del mismo grado. En forma alternativa, podemos restringirnos a los polinomios y relajar la dependencia de c, permitiendo que F(cv) = c^kF(v). Las soluciones son por lo tanto polinomios homogéneos de grado k. Por una parte, ellos conforman un espacio vectorial de dimensión finita para cada k, y por otra parte, si se permite que el valor k varíe, es posible encontrar numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que son realmente funciones del espacio proyectivo subyacente P(V).