CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

Pseudoesfera.

Tractriz (curva en azul).

El dominio coloreado en el plano hiperbólico (modelo del disco de Poincaré) es isométrico a media pseudoesfera menos su generatriz. El horodisco que lo contiene se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera. Las líneas negras (que son geodésicas del plano hiperbólico) separan las diferentes hojas de dicho recubridor.

Una pseudoesfera es la superficie de revolución que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla.

El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de la tractriz (el punto ${\displaystyle P_{0}}$ en la ilustración) se llama radio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesfera consta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia, de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma.

La motivación del nombre de "pseudoesfera" proviene de ciertas analogías existentes con la esfera de dimensión 2: ésta tiene curvatura constante positiva, mientras que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa. Aunque la pseudoesfera no es una superficie acotada, su área es finita, así como el volumen de la región que encierra. Su área ${\displaystyle A}$, en función del radio ${\displaystyle R}$, es el mismo que el de la esfera del mismo radio y su volumen ${\displaystyle V}$ es la mitad del de la esfera (y pueden calcularse a partir de las fórmulas usuales para superficies de revolución):

${\displaystyle A=4\pi R^{2},\quad V={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}$

Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa, es localmente isométrica al plano hiperbólico, y de hecho media pseudoesfera menos una de sus generatrices es isométrica a un abierto del plano hiperbólico. Por este motivo, la pseudoesfera es un modelo útil para visualizar parte de dicho plano como superficie en el espacio euclídeo usual.

Este abierto del plano hiperbólico está bordeado por tres curvas: un trozo de horocírculo y dos geodésicas con extremo común en infinito, como muestra el dibujo. Además, el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera.

Parametrización de la pseudoesfera[editar]

Teniendo en cuenta que es una superficie de revolución, la pseudoesfera de radio 1 se puede parametrizar por:

(1)${\displaystyle {\begin{cases}x=\operatorname {sech} u\,\cos v\\y=\operatorname {sech} u\,\sin v\\z=u-\operatorname {tanh} u\\\end{cases}}}$

para ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ,\ v\in [0,2\pi )}$.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas.

En matemáticas, la Suma de Riemann es un tipo de aproximación del valor de una integral mediante una suma finita. Se llama así en honor de matemático alemán el siglo XIX Bernhard Riemann.

Definición[editar]

Consideremos lo siguiente:

• una función ${\displaystyle f:[D]\rightarrow \mathbb {R} }$

donde D es un subconjunto de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

• Un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, x₂, ... x_n} tales que a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b

crean una partición de I

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Suma Trapezoidal[editar]

En este caso, el valor de la función f en un intervalo se aproxima por el promedio de los valores de los extremos a izquierda y derecha. De la manera ya descrita, un simple cálculo usando la fórmula del área

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$

para un trapecio con lados paralelos b₁, b₂ y altura h produces

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Q\left[f(a)+2f(a+Q)+2f(a+2Q)+2f(a+3Q)+\cdots +f(b)\right].}$

El error de esta fórmula será

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$

donde ${\displaystyle M_{2}}$ es el valor máximo del valor absoluto de ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x).}$

Donde a es el valor aproximado

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.

Método de Suma Trapezoidal de la función en el intervalo [0,2] usando cuatro subdivisiones.

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Superficie de revolución.

• Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.

• Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumendenominado cono.

• Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

• Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Aplicaciones[editar]

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Área de una superficie de revolución[editar]

Si la curva está definida por las funciones ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle y(t)}$, perteneciendo ${\displaystyle t}$ a un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ y siendo el eje de revolución el eje coordenado ${\displaystyle Y}$, el área ${\displaystyle A}$ estará dada, entonces, por la integral

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$

siendo ${\displaystyle x(t)}$ siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

${\displaystyle \left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}$

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad ${\displaystyle 2\pi x(t)}$ es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función ${\displaystyle y=f(x)}$, la integral se transforma en

${\displaystyle A=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx,\ {\mbox{para}}\qquad x_{1}=x(t=a),{\mbox{y}}x_{2}=x(t=b)}$

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

${\displaystyle A=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy,\ {\mbox{para}}\qquad y_{1}=f(x_{1}),{\mbox{y}}y_{2}=f(x_{2})}$

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva ${\displaystyle x(t)=cos(t)}$ y ${\displaystyle y(t)=sen(t)}$cuando ${\displaystyle t}$ toma valores en el intervalo ${\displaystyle [0,\pi ]}$. Su área, por tanto, será

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,dt=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt=4\pi }$

Geometría diferencial de superficies de revolución[editar]

Artículo principal: Geometría diferencial de superficies

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(\rho (u)\cos v,\rho (u)\sin v,h(u))\quad {\mbox{con}}\ v\in [0,2\pi )}$

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

${\displaystyle [I_{kl}(u,v)]={\begin{pmatrix}E(u,v)&F(u,v)\\F(u,v)&G(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho _{u}^{2}(u)+h_{u}^{2}(u)&0\\0&\rho ^{2}(u)\end{pmatrix}}}$

Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

${\displaystyle [II_{kl}(u,v)]={\begin{pmatrix}L(u,v)&M(u,v)\\M(u,v)&N(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\rho _{u}h_{uu}-\rho _{uu}h_{u}}{\sqrt {E}}}&0\\0&{\frac {\rho h_{u}}{\sqrt {E}}}\end{pmatrix}}}$

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integraciónde una función son operaciones inversas.¹​ Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,²​ denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Historia[editar]

El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operaciones estaban relacionadas. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo calcular el área a través de los infinitesimales, una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación son también anteriores al teorema fundamental del cálculo en cientos de años; por ejemplo, en el siglo XIV las nociones de continuidad de funciones y de movimiento eran estudiadas por los calculadores de Oxford y otros estudiosos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que estas dos operaciones distintas en apariencia (cálculo de áreas geométricas y cálculo de velocidades) estaban finalmente en estrecha relación.

La primera declaración publicada y prueba de una versión restringida del teorema fundamental fue hecha por James Gregory (1638–1675).³​ Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema,⁴​ mientras que el estudiante de Barrow, Isaac Newton (1642–1727), completó el desarrollo de la teoría matemática concernida. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada en la actualidad.

Intuición geométrica[editar]

El área rayada en rojo puede ser calculada como h veces f(x), o, si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales, especialmente para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y xaún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.}$

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir, el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo[editar]

Dada una función f integrable sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, definimosF sobre ${\displaystyle [a,b]}$ por ${\displaystyle F(x)={\int _{a}^{x}f(t)dt}}$. Si f es continua en ${\displaystyle c\in (a,b)}$, entonces F es derivable en ${\displaystyle c}$ y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\int _{a(x)}^{b(x)}f(t)dt}=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)}$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

ocultarDemostración del teorema fundamental del cálculo

* Lema Sea ${\displaystyle f}$ integrable sobre ${\displaystyle [a,b]}$ y ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\;\forall x\in [a,b]}$ Entonces ${\displaystyle m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)}$ Demostración del lema Está claro que ${\displaystyle m(b-a)\leq L(f,P)\ {\hbox{y}}\ U(f,P)\leq M(b-a)}$ para toda partición ${\displaystyle P}$. Puesto que ${\displaystyle \int _{a}^{b}f=\sup {L(f,P)}=\inf {U(f,P)}}$, la desigualdad se sigue inmediatamente. Demostración del teorema Por definición se tiene que ${\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}}$. Sea h>0. Entonces ${\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}}$. Se define ${\displaystyle m_{h}}$ y ${\displaystyle M_{h}}$ como: ${\displaystyle m_{h}=\inf\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}$, ${\displaystyle M_{h}=\sup\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}$ Aplicando el 'lema' se observa que: ${\displaystyle m_{h}\cdot h\leq {\int _{c}^{c+h}f(t)dt}\leq M_{h}\cdot h}$. Por lo tanto, ${\displaystyle m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}}$ Sea ${\displaystyle h<0 annotation="">$. Sean ${\displaystyle {m^{*}}_{h}=\inf\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}}$, ${\displaystyle {M^{*}}_{h}=\sup\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}}$. Aplicando el 'lema' se observa que: ${\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{*}}_{h}\cdot (-h)}$. Como: ${\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}=-{\int _{c+h}^{c}f(t)dt}}$, entonces, ${\displaystyle {M^{*}}_{h}\cdot h\leq F(c+h)-F(c)\leq {m^{*}}_{h}\cdot h}$. Puesto que ${\displaystyle h<0 annotation="">$, se tiene que: ${\displaystyle {m^{*}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{*}}_{h}}$. Y como ${\displaystyle f}$ es continua en c se tiene que ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{*}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{*}}_{h}=f(c)}$, y esto lleva a que ${\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}=f(c)}$.

Ejemplos[editar]

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\quad \Rightarrow \quad F'(x)=x^{2}}$

${\displaystyle H(x)=\int _{0}^{e^{3x}}\sin(t)dt\quad \rightarrow \quad H'(x)=\sin(e^{3x})e^{3x}\cdot 3}$

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\arcsin(t)dt\quad \rightarrow \quad G'(x)=\arcsin(x^{2})\cdot 2x}$

${\displaystyle J(x)=\int _{0}^{\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt\quad \rightarrow \quad J'(x)={\frac {1}{(1+\sin ^{2}(\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt))}}\,\cdot \,{\frac {1}{(1+\sin ^{2}x)}}}$

ocultarOtra demostración del teorema fundamental del cálculo

Cogiendo un intervalo cerrado ${\displaystyle [a,x]}$ sobre ${\displaystyle [a,b]}$, ya que ${\displaystyle f(t)}$ es continua en ${\displaystyle [a,b]}$, también lo será en ${\displaystyle [a,x]}$. Según el teorema del valor medio para integrales se cumple que: ${\displaystyle \exists \xi \in [a,x]:\quad f(\xi )={\frac {1}{x-a}}\int _{a}^{x}f(t)dt}$ Haciendo el intervalo muy pequeño de tal manera que ${\displaystyle x\longrightarrow \ a}$ y debido a esa tendencia se tiene también que ${\displaystyle \xi \longrightarrow \ a}$ Por lo que en los límites se llega a: ${\displaystyle \lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {\int _{a}^{x}f(t)dt}{x-a}}}$ Sabemos que : ${\displaystyle \int _{a}^{a}f(t)dt=0}$ Entonces la ecuación se la puede escribir como : ${\displaystyle \lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {\int _{a}^{x}f(t)dt-\int _{a}^{a}f(t)dt}{x-a}}}$ Dado que ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$ , entonces ${\displaystyle F(a)=\int _{a}^{a}f(t)dt}$ ${\displaystyle \lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)-F(a)}{x-a}}}$ Y debido a que ${\displaystyle f(t)}$ es continua en a, entonces ${\displaystyle \lim _{\xi \to a}f(\xi )=f(a)}$ ${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)-F(a)}{x-a}}}$ Vista la ecuación de otra manera: ${\displaystyle f(x)|_{x=a}={\frac {dF(x)}{dx}}|_{x=a}}$ Por lo tanto ${\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)}$ O también ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)}$ Y en consecuencia ${\displaystyle \forall c\in (a,b):\quad {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt\ |_{x=c}=f(c)}$ Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo.

Segundo teorema fundamental del cálculo[editar]

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Enunciado[editar]

Dada una función f(x) integrable en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$

ocultarDemostración del segundo teorema fundamental del cálculo

Considérese la siguiente primitiva de ${\displaystyle f}$ definida en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$: ${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$. esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que: ${\displaystyle G'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]}$. Como ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle F}$ son primitivas de ${\displaystyle f}$, entonces: ${\displaystyle \exists C\in \mathbb {R} :{\ }G(x)=F(x)+C,{\ }\forall x\in [a,b]}$. Obsérvese que: ${\displaystyle 0=G(a)=F(a)+C\,}$ y de eso se sigue que ${\displaystyle C=-F(a)\,}$; por lo tanto, ${\displaystyle G(x)=F(x)-F(a)\,}$. Y en particular si ${\displaystyle x=b}$: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt=G(b)=F(b)-F(a)}$

Ejemplos[editar]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(x)dx=\sin(\pi )-\sin(0)=0}$

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=\ln(e)-\ln(1)=1}$

Como se puede integrar inmediatamente.