MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

La integral de Chebyshov está dada por

Integral de Chebyshov ${\displaystyle \int _{0}^{x}x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)}$, Pafnuti L. Chebyshov (1821-1894)

donde ${\displaystyle B(x;a,b)}$ es la función beta incompleta.

Teorema de integración de los binomios diferenciales[editar]

Chebyshov demostró que las integrales indefinidas binómicas de la forma:¹​

${\displaystyle \int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx}$

son funciones elementales únicamente si al menos una de las expresiones ${\displaystyle \scriptstyle p}$, ${\displaystyle \scriptstyle ({\frac {m+1}{n}})}$ o ${\displaystyle \scriptstyle p+({\frac {m+1}{n}})}$ es un número entero. En otro caso, no pueden representarse en términos de funciones elementales.

 integral de Darboux, es una forma de abordar el problema de la integración, denotada usualmente de la siguiente forma:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$

esta integral es equivalente a la integral de Riemann. El enfoque de la integral de Darboux se utiliza en varios textos (aunque en varios no se le nombra así, simplemente se le da el nombre de integral o integral de Riemann utilizando el procedimiento de Darboux), en vez de usar la integral de Riemann ya que es más simple de definir que la integral de Riemann e incluso de utilizar.

Es más simple de usar que la integral de Riemann por dos razones: la primera es que nada más consideramos dos sumas, para cada partición, para la integral de Riemann consideramos una infinidad de sumas para cada partición, la segunda es que esta definición nos permite establecer cotas superiores e inferiores de la integral, lo que reditúa en demostraciones más sencillas.

Esta integral fue propuesta por Darboux en 1875, en ese entonces Riemann ya había propuesto su definición de integral. La idea básica de manera informal es la siguiente queremos hallar el área bajo una función acotada en un intervalo, dividimos el intervalo en subintervalos y formamos dos rectángulos para cada subintervalo, uno que tiene como altura el supremo de la función en cada subintervalo y otro que tiene como altura el ínfimo de la función en cada subintervalo (si la función es continua se puede pensar en el máximo y el mínimo en vez del supremo y el ínfimo), si logramos hacer coincidir la suma de los rectángulos con altura igual al supremo de la función en cada subintervalo con la suma de los rectángulos con altura igual al ínfimo de la función en cada subintervalo (queremos hacer coincidir estas sumas haciendo cada vez más divisiones del intervalo hasta tender a un límite) obtenemos la integral.

Definición formal[editar]

Se requieren tres conceptos antes de definir la integrabilidad de Darboux: la partición de un intervalo, la suma inferior y la suma superior, que a continuación se exponen.

Partición de un intervalo[editar]

Sumas de Darboux inferiores (verde) y superiores (verde más lavanda) para cuatro subintervalo

Sea ${\displaystyle [a,b]}$ un intervalo cerrado en los números reales. Una partición de ${\displaystyle [a,b]}$ es un subconjunto finito ${\displaystyle P=\left\lbrace x_{0}=a,x_{1},...,x_{n}=b\right\rbrace }$ tal que ${\displaystyle x_{i}>x_{i-1}}$, con ${\displaystyle i=1,...,n}$.

Lo que está haciendo, en pocas palabras, es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original.

Suma inferior y suma superior[editar]

Sea ${\displaystyle f}$ una función acotada sobre un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle P=\left\lbrace x_{0}=a,x_{1},...,x_{n}=b\right\rbrace }$ una partición de ${\displaystyle [a,b]}$ y se define, para cada ${\displaystyle i=1,...,n}$:

${\displaystyle m_{i}=\inf \left\lbrace f(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\right\rbrace }$, 

${\displaystyle M_{i}=\sup \left\lbrace f(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\right\rbrace }$

Entonces la suma inferior de ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle P}$, designada por ${\displaystyle L(f,P)}$ (del inglés lower), se define como:

${\displaystyle L(f,P)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$

y la suma superior de ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle P}$, designada por ${\displaystyle U(f,P)}$ (del inglés upper), como:

${\displaystyle U(f,P)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$

Integrabilidad de Darboux[editar]

Sea ${\displaystyle f}$ una función acotada en ${\displaystyle [a,b]}$. Se denotará por ${\displaystyle {\mathcal {P}}([a,b])}$ al conjunto de todas las particiones de ${\displaystyle [a,b]}$. Siempre se pueden definir las siguientes.

La integral inferior de Darboux de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle [a,b]}$ es

${\displaystyle L(f)={\sup\{L(f,P)\,|\,P\in {\mathcal {P}}([a,b])}\}}$.

La integral superior de Darboux de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle [a,b]}$ es

${\displaystyle U(f)={\inf\{U(f,P)\,|\,P\in {\mathcal {P}}([a,b])}\}}$.

También se utilizan las notaciones ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$ o ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f}$ para la integral inferior y ${\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$ o ${\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f}$ para la integral superior.

Así, la integral inferior es la cota superior más pequeña para las sumas inferiores y la integral superior la cota inferior más grande para las sumas superiores.

Cuando ocurre que ${\displaystyle L(f)=U(f)}$, decimos que es ${\displaystyle f}$ es Darboux integrable sobre ${\displaystyle [a,b]}$. En tal caso, a este valor común se le llama la integral de ${\displaystyle f}$ sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, y se denota ${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx}$, o ${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f}$.

Propiedades[editar]

Criterio de integrabilidad de Riemann¹​[editar]

Una función ${\displaystyle f}$ es Darboux integrable sobre ${\displaystyle [a,b]}$ si y solamente si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe una partición ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$ de ${\displaystyle [a,b]}$ tal que

${\displaystyle U(f,P_{\varepsilon })-L(f,P_{\varepsilon })<\varepsilon }$.

Equivalencia con la Integral de Riemann[editar]

Una función ${\displaystyle f}$ es Darboux integrable sobre ${\displaystyle [a,b]}$ si y solamente si es Riemann Integrable sobre ${\displaystyle [a,b]}$; y en tal caso las integrales coinciden.

Linealidad[editar]

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ funciones Darboux integrables sobre ${\displaystyle [a,b]}$. Entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ para todo ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$.

S(x) and C(x) El máximo de C(x) es 0,977451424. Si se utiliza πt²/2 en vez de t², entonces la imagen estaría escalada verticalmente y horizontalmente (ver comentario abajo).

Las integrales de Fresnel, S(x) y C(x), son dos funciones trascendentales que hacen honor a Augustin-Jean Fresnel y que son empleadas en campos que se basan en ecuaciones de ondas, como la óptica. Las mismas se originan al realizar el análisis de fenómenos de difracción de Fresnel en el campo próximo, y se definen según las siguientes expresiones integrales:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt}$

Las gráficas simultáneas paramétricas de S(x) y C(x) es la espiral de Cornu, o clotoide.

Definición[editar]

Integrales normalizadas de Fresnel, S(x) y C(x). En estas curvas, el argumento de la función trigonometrica es πt²/2, a diferencia de t² en el ejemplo previo.

Las integrales de Fresnel admiten las siguientes expansiones en serie de potencias que convergen para todo x:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}}$

Definiciones alernativas[editar]

Algunos autores, incluidos Abramowitz y Stegun, (ec 7.3.1 – 7.3.2) utilizan ${\displaystyle \pi t^{2}/2\,}$ como exponente de las integrales que definen a S(x) y C(x). Para obtener las mismas funciones se debe multiplicar la integral por ${\displaystyle {\sqrt {2/\pi }}}$ y dividir el argumento xpor el mismo factor.

Espiral de Cornu[editar]

Espiral de Cornu (x,y)=(C(t), S(t)). La espiral converge al centro de los dos remolinos extremos de la imagen, a medida que t tiende a más infinito y menos infinito.

La espiral de Cornu, también conocida como clotoide, es la curva cuyas ecuaciones paramétricas vienen dadas por S(t) y C(t). La espiral de Cornu fue creada por Marie Alfred Cornu como un nomograma para los cálculos de difracción óptica.

Puesto que:

${\displaystyle C'(t)^{2}+S'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1}$

en esta parametrización el vector tangente tiene longitud unitdad y tes la longitud de arco medida a partir de (0,0) (e incluyendo signo), de lo que se deduce que la curva tiene longitud infinita.

Además la espiral de Cornu tiene la propiedad de su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen. Esta propiedad hace que sea útil como curva de transición en el trazado de autopistas o ferrocarriles, puesto que un vehículo que siga dicha curva a velocidad constante tendrá una aceleración angular constante. Igualmente las secciones de esta espiral clotoide son usadas comúnmente en montañas rusas por lo que algunas vueltas completas se conocen como loops "clotoides".

Propiedades[editar]

• C(x) y S(x) son funciones impares de x.

• Utilizando las expansiones en series de potencias indicadas previamente, se puede extender las integrales de Fresnel al dominio de los números complejos, obteniendo de esta manera funciones analíticas de una variable compleja. Las integrales de Fresnel se pueden expresar utilizando la función error mediante las siguientes expresiones:

${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$

${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$

• Excepto en casos especiales no es posible evaluar a las integrales que definen C(x) y S(x) en forma cerrada. Los límites de estas funciones cuando x tiende a infinito son:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}}$

Valores particulares[editar]

• ${\displaystyle S(0)=C(0)=0\,}$
• ${\displaystyle S(\infty )=C(\infty )={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}}$