MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

integrales de Wallis a un conjunto de integrales introducidas por Wallis, que conforman una sucesiónde integrales. El término n-ésimo de la sucesión de integrales de Wallis viene dado por:

${\displaystyle w_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.}$

La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral, ${\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}-x}$ y luego renombrando ${\displaystyle y\ }$ en ${\displaystyle x\ }$.

Propiedades elementales[editar]

Los términos ${\displaystyle \scriptstyle w_{n}}$ son positivos no nulos porque las funciones ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}(x)=x\mapsto \sin ^{n}x}$ lo son sobre el intervalo ${\displaystyle \scriptstyle \left]0;{\frac {\pi }{2}}\right]}$ . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre ${\displaystyle \scriptstyle \left]0;{\frac {\pi }{2}}\right[}$, sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión ${\displaystyle n\mapsto r^{n}}$ decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia:

${\displaystyle w_{n+1}-w_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx}$${\displaystyle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n+1}x-\sin ^{n}x)\,dx}$${\displaystyle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x(1-\sin x)\,dx<0 annotation="">$

porque sobre ${\displaystyle \scriptstyle \left]0;{\frac {\pi }{2}}\right[,\ \sin ^{n}x<0 mbox="" sin="" x="" y="">0}$ luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa. La función ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}}$ tiende hacia 0 para todo x en ${\displaystyle \scriptstyle \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right[}$ cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto ${\displaystyle \scriptstyle \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]}$:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }w_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f_{n}(x)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)\,dx}$${\displaystyle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}0\,dx=0}$

Formas explícitas de las integrales de Wallis[editar]

Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente:

${\displaystyle w_{0}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dx={\frac {\pi }{2}}}$ y

${\displaystyle w_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin x\,dx}$${\displaystyle =[-\cos x]_{0}^{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle =-\cos {\frac {\pi }{2}}+\cos 0=1}$

Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por intergración por partes:

${\displaystyle w_{n+2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+2}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot \sin ^{2}x\,dx=}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot (1-\cos ^{2}x)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot \cos ^{2}x\,dx=w_{n}-u_{n}}$

La integral ${\displaystyle \scriptstyle u_{n}}$ se obtiene por integración por partes. Primero se integra ${\displaystyle \scriptstyle \sin ^{n}x\cdot \cos x\ }$ en:

${\displaystyle {\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}}$

y se deriva ${\displaystyle \scriptstyle \cos x}$ en ${\displaystyle \scriptstyle -\sin x}$:

${\displaystyle u_{n}=\left[{\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}(-\sin x)\,dx}$

${\displaystyle =0+\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin ^{n+2}x}{n+2}}\,dx={\frac {w_{n+2}}{n+1}}}$

Por tanto tenemos: ${\displaystyle w_{n+2}=w_{n}-{\frac {w_{n+2}}{n+1}}}$ lo que equivale a ${\displaystyle (n+1)w_{n+2}=(n+1)w_{n}-w_{n+2}\ }$ es decir ${\displaystyle (n+2)w_{n+2}=(n+1)w_{n}\ }$ luego ${\displaystyle w_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}w_{n}}$ lo que se escribe también ${\displaystyle {\color {blue}w_{n}={\frac {n-1}{n}}w_{n-2}}}$ Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de ${\displaystyle u_{1}\ }$ y los de rango par en función de ${\displaystyle u_{0}\ }$. En concreto:

Para n impar: ${\displaystyle n=2k+1\,}$ y ${\displaystyle w_{n}={\frac {(n-1)(n-3)...4\times 2}{n(n-2)...3\times 1}}w_{1}}$ ${\displaystyle ={\frac {(n-1){\color {red}^{2}}(n-3){\color {red}^{2}}...4{\color {red}^{2}}\times 2{\color {red}^{2}}}{n{\color {red}(n-1)}(n-2){\color {red}(n-3)}...3\times {\color {red}2\times }1}}}$ ${\displaystyle ={\frac {{\color {red}(}(2k)(2k-2)...4\times 2{\color {red})^{2}}}{n!}}}$ ${\displaystyle ={\frac {(({\color {OliveGreen}2}k)({\color {OliveGreen}2}(k-1))...({\color {OliveGreen}2}\times 2)({\color {OliveGreen}2}\times 1))^{2}}{n!}}}$ ${\displaystyle ={\frac {({\color {OliveGreen}2^{k}}\times k!)^{2}}{n!}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2^{2k}\left(k!\right)^{2}}{n!}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2^{n-1}{\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}^{2}}{n!}}}$ porque ${\displaystyle k={\frac {n-1}{2}}}$; donde n! y k! son las factoriales de n y k.

Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:

${\displaystyle w_{n}={\frac {(n-1)(n-3)...3\times 1}{n(n-2)...4\times 2}}w_{0}}$ ${\displaystyle ={\frac {n(n-1)(n-2)...3\times 2}{(n(n-2)...4\times 2)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle ={\frac {n!}{\left(2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle ={\frac {n!\pi }{2^{n+1}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}}}$

Aplicación a la fórmula de Stirling[editar]

La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión ${\displaystyle \left(w_{n}\right)}$ es decreciente, y ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {w_{n+2}}{w_{n}}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n+1}{n+2}}=1}$.

Luego ${\displaystyle w_{n+2}$${\displaystyle \Longrightarrow {\frac {w_{n+2}}{w_{n}}}<{\frac {w_{n+1}}{w_{n}}}<1 annotation="">$ lo que da ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {w_{n+1}}{w_{n}}}=1}$ es decir ${\displaystyle w_{n+1}\sim w_{n}\,}$

Tomando n par, tenemos

${\displaystyle w_{n}={\frac {n!\pi }{2^{n+1}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}}\ \ {\mbox{ y }}\ \ w_{n+1}={\frac {2^{n}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}{(n+1)!}}}$

pues n+1 es impar.

Al multiplicar las fracciones se simplifican: ${\displaystyle w_{n}\cdot w_{n+1}={\frac {n!\pi }{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{(n+1)!}}={\frac {\pi }{2(n+1)}}\sim {\frac {\pi }{2n}}}$ luego ${\displaystyle w_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2n}}}$ y sacando la raíz: ${\displaystyle w_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}}$

Ahora introduzcamos en ${\displaystyle w_{n}\ }$ la equivalencia ${\displaystyle n!\sim _{{}_{+\infty }}\,C{\sqrt {n}}\ n^{n}e^{-n}}$.

${\displaystyle w_{n}\sim {\frac {C{\sqrt {n}}\ n^{n}e^{-n}\pi }{2^{n+1}{\left(C{\sqrt {\frac {n}{2}}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {n}{2}}}\right)}^{2}}}\ ={\frac {{\color {red}C}{\sqrt {n}}\ n^{n}{\color {blue}e^{-n}}\pi }{2^{n+1}{{\color {red}C^{2}}\ {\frac {n}{2}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{n}{\color {blue}e^{-n}}}}}={\frac {{\sqrt {n}}\ {\color {Orange}n^{n}}\pi }{{\color {OliveGreen}2^{n+1}}{C\ {\frac {\color {Orange}n^{n+1}}{\color {OliveGreen}{2^{n+1}}}}}}}}$

${\displaystyle =\ {\frac {{\sqrt {n}}\ \pi }{nC}}={\frac {\pi }{{\sqrt {n}}C}}}$.

Comparando con el último equivalente de ${\displaystyle w_{n}\ }$, se obtiene: ${\displaystyle w_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}\sim {\frac {\pi }{{\sqrt {n}}C}}}$ luego ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}={\frac {\pi }{C}}}$ y finalmente: ${\displaystyle C=\pi \ {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}={\sqrt {2\pi }}}$.

Fórmula de Wallis

Publicado el abril 2, 2014 por Fernando Revilla

En este problema se demuestra la fórmula de Wallis.

Enunciado
Sea In=∫π/20sinnxdx,∀n∈N.$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.}$
1. Establecer una relación de recurrencia entre In$I_n$ e In−2.$I_{n-2}.$
2. Establecer una fórmula que permita calcular In$I_n$ conocido n.$n.$
3. Demostrar que limn→∞I2n+1I2n=1${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}=1}$ y deducir que:
   limn→∞1n−−√(2n)!!(2n−1)!!=π−−√.$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}{\displaystyle \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}}=\sqrt{\pi }.}$$

Solución
1. Usando integración por partes con u=sinn−1x$u={\sin }^{n-1}x$ y dv=sinxdx:$dv=\sin xdx:$
   In=∫π/20sinnxdx=∫π/20sinn−1xsinxdx=[−sinn−1xcosx]π/20+(n−1)∫π/20sinn−2xcos2xdx=(n−1)∫π/20sinn−2x(1−sin2x)dx=(n−1)In−2−(n−1)In.$$\begin{array}{l}{I}_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-1}x\sin xdx}\\ ={\left[-{\sin }^{n-1}x\cos x\right]}_0^{\pi /2}+(n-1){\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx}\\ =(n-1){\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx}\\ =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n.\end{array}$$
   Obtenemos por tanto la relación:
   In=n−1nIn−2(∀n≥2).$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}(\mathrm{\forall }n\ge 2).$
2. Para n$n$ par obtenemos:
   In=(n−1)(n−3)⋅…⋅1n(n−2)⋅…⋅2I0=(n−1)(n−3)⋅…⋅1n(n−2)⋅…⋅2∫π/20dx=(n−1)(n−3)⋅…⋅1n(n−2)⋅…⋅2π2=(n−1)!!n!!π2.$\begin{array}{l}{I}_n={\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdot \dots \cdot 1}{n(n-2)\cdot \dots \cdot 2}}{I}_0\\ ={\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdot \dots \cdot 1}{n(n-2)\cdot \dots \cdot 2}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}dx}\\ ={\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdot \dots \cdot 1}{n(n-2)\cdot \dots \cdot 2}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ ={\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}.\end{array}$
   Para n$n$ impar:
   In=(n−1)(n−3)⋅…⋅2n(n−2)⋅…⋅3I1=(n−1)(n−3)⋅…⋅2n(n−2)⋅…⋅3∫π/20sinxdx=(n−1)(n−3)⋅…⋅2n(n−2)⋅…⋅3⋅1=(n−1)!!n!!.$\begin{array}{l}{I}_n={\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdot \dots \cdot 2}{n(n-2)\cdot \dots \cdot 3}}{I}_1\\ ={\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdot \dots \cdot 2}{n(n-2)\cdot \dots \cdot 3}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\sin xdx}\\ ={\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)\cdot \dots \cdot 2}{n(n-2)\cdot \dots \cdot 3}}\cdot 1\\ ={\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}}.\end{array}$
3. Veamos que (In)$(I_n)$ es una sucesión decreciente de términos positivos. En efecto, para todo x∈[0,π/2]$x\in [0,\pi /2]$ y para todo n≥1$n\ge 1$ se verifica 0≤sinnx≤sinn−1x≤1.$0\le {\sin }^{n}x\le {\sin }^{n-1}x\le 1.$ Tenemos pues la relación 1/In−1≤1/In≤1/In+1.$1/I_{n-1}\le 1/I_n\le 1/I_{n+1}.$ Multiplicando por In+1$I_{n+1}$ y por el apartado 1:
   nn+1=In+1In−1≤In+1In≤In+1In+1=1⇒limn→∞In+1In=1.${\displaystyle \frac{n}{n+1}}={\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_{n-1}}}\le {\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_n}}\le {\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_{n+1}}}=1\Rightarrow {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_n}}=1.}$
   Teniendo en cuenta que (a2n)=(I2n+1/I2n)$(a_{2n})=(I_{2n+1}/I_{2n})$ es una subsucesión de (In+1/In),$(I_{n+1}/I_n),$ se verifica limn→∞a2n=1.$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{2n}=1.$ Es decir:
   limn→∞I2n+1I2n=limn→∞(2n)2(2n−2)2…22(2n−1)2(2n−3)2…32⋅2(2n+1)π.${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{(2n{)}^2(2n-2{)}^2\dots 2^2}{(2n-1{)}^2(2n-3{)}^2\dots 3^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{(2n+1)\pi }}.}}$
   Por otra parte, limn→∞1/(n+1/2)=limn→∞1/n$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1/(n+1/2)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1/n$ y la función f(x)=x−−√$f(x)=\sqrt{x}$ es continua, por tanto:
   limn→∞1n−−√(2n)!!(2n−1)!!=π−−√.

números de Keith (también conocidos en inglés como repfigit numbers (repetitive Fibonacci-like digit)) son los números que se encuentran en la siguiente sucesión entera:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, ... (sucesión A007629 en OEIS) 

Los números de Keith fueron introducidos por Mike Keith en 1987.¹​ Estos números son, en un sentido computacional, muy difíciles de encontrar: solo 100 de ellos son conocidos.

Introducción[editar]

Para determinar si un número entero positivo N, de n cifras, es un número de Keith, se crea una sucesión entera de estilo similar a la de Fibonacci. Esta sucesión tiene como primeros términos los n dígitos decimales de N, ordenándose desde el dígito más significativo. Se continúa la sucesión, donde cada término es la suma de los anteriores n números. Por definición, N es un número de Keith si N aparece en la secuencia construida.

Analizando un ejemplo:

Considerar el número de 3 dígitos N = 197. La secuencia a construir será:

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, 361, ...

Se observa que 197 se encuentra en la sucesión. Por tanto, se afirma que 197 es un número de Keith.

Definición[editar]

Un número de Keith es un entero positivo N que aparece como un término en una relación de recurrencialineal, en donde los términos iniciales son sus dígitos decimales propios. Dado un número de n dígitos

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}{d_{i}},}$

Se construye una sucesión ${\displaystyle S_{N}}$ cuyos términos iniciales son ${\displaystyle d_{n-1},d_{n-2},\ldots ,d_{1},d_{0}}$ (los dígitos significativos del número de Keith). Un término cualquiera de la sucesión se obtiene sumando los previos n números. Si el número N se encuentra en la sucesión ${\displaystyle S_{N}}$ construida, se afirma que N es un número de Keith.

Los números de un dígito poseen la propiedad explicada. Son normalmente excluidos.

Encontrando números de Keith [editar]

Es materia de especulación y discusión la existencia de infinitos números de Keith. Los números de Keith pueden ser considerados como "extraños" debido a su dificultad para encontrarlos. Pueden ser encontrados por búsqueda exhaustiva, no existiendo un algoritmo eficaz conocido a la fecha.²​

Según Keith, se pueden encontrar, en promedio, ${\displaystyle \textstyle {\frac {9}{10}}\log _{2}{10}\approx 2.99}$. Los resultados obtenidos a la fecha apoyan dicha teoría.

Ejemplos[editar]

La siguiente sucesión presenta a los números de Keith. Al ser computacionalmente difíciles de encontrar, no se descarta el encontrar más números.

Los números conocidos son:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297.³​

Otras bases[editar]

Se pueden analizar las propiedades de los números de Keith en otras bases. Por ejemplo, la sucesión de números de Keith en base 12 es:

11, 15, 1Ɛ, 22, 2ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24ᘔ, 405, 42ᘔ, 654, 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ, 157617, 1ᘔ265ᘔ, 5ᘔ4074, 5ᘔƐ140, 6Ɛ1449, 6Ɛ8515, ...

Grupos de Keith[editar]

Un grupo de Keith es un conjunto de números de Keith tal que uno (o más números) son múltiplo de otro. Por ejemplo, (14, 28), (1104, 2208), y (31331, 62662, 93993). Estos son posiblemente los únicos tres ejemplos de un grupo de este tipo.