MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

Seno, coseno y verseno de θ sobre la base de la circunferencia goniométrica

La fórmula del semiverseno es una importante ecuación para la navegación astronómica, en cuanto al cálculo de la distancia de círculo máximo entre dos puntos de un globo sabiendo su longitud y su latitud. Es un caso especial de una fórmula más general de trigonometría esférica, la ley de los semiversenos , que relaciona los lados y ángulos de los "triángulos esféricos".¹​

Estos nombres derivan del hecho que suele expresarse en términos de la función haversine, dada por

haversin (θ) = sen ² (θ/2)

Las fórmulas también podrían estar escritas en términos de cualquier múltiple del haversine, como la antigua función verseno (el doble del haversine).

Pero históricamente, el haversine tuvo, una ligera ventaja en su uso en el mar ya que su máximo es "1", por lo que las tablas logarítmicas de sus valores podían acabar con el valor cero. Hoy en día, la forma del haversine sigue siendo interesante, ya que no tiene ningún coeficiente delante de la función seno ² .

En la época anterior a las calculadoras digitales, el uso de tablas náuticas detalladas para el haversine, haversine/inverso y sus logaritmos (para ayudar en las multiplicaciones) ahorró a los navegantes calcular los cuadrados de los senos, el cálculo de raíces cuadradas, etc., un proceso arduo y que podía agravar los pequeños errores (ver también verseno). En el caso del cálculo de longitud por las distancias lunares de José de Mendoza, redujo el proceso de 30 pasos a 7.

Fórmula del haversine[editar]

Para cualquier par de puntos sobre una esfera:

${\displaystyle \operatorname {haversin} \left({\frac {d}{R}}\right)=\operatorname {haversin} (\varphi _{1}-\varphi _{2})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\,\operatorname {haversin} (\Delta \lambda ).}$

donde

haversin es la función haversine, haversin ( θ ) = sen ² ( θ /2) = (1-cos ( θ ))/2

d es la distancia entre dos puntos (sobre un círculo máximo de la esfera, véase distancia esférica),

R es el radio de la esfera,

φ ₁ es la latitud del punto 1,

φ ₂ es la latitud del punto 2, y

Δ λ es la diferencia de longitudes

Hay que tener en cuenta que el argumento a la función haversine se supone que debe darse en radianes. En grados, haversin ( d / R ) de la fórmula se convertiría en haversin (180 · d /π R ).

Entonces se puede resolver ya sea mediante la simple aplicación de la tabla de haversine inversa (si está disponible) o mediante el uso de la función arcoseno (arcoseno) :

${\displaystyle d=R\,\operatorname {haversin} ^{-1}(h)=2R\arcsin \left({\sqrt {h}}\,\right).}$

donde

• h es haversin ( d / R )

Al utilizar estas fórmulas, se debe tener cuidado en asegurarse de que h no exceda 1 debido a un error de coma flotante ( d es sólo real para h de 0 a 1). h sólo se aproxima a 1 en los puntos antipodales (en los lados opuestos de la esfera) - en esta región, tienden a surgir en la fórmula errores numéricos relativamente grandes cuando se utiliza una precisión finita. Sin embargo, ya que "d" es entonces bastante grande (se acerca a π · R , la mitad de la circunferencia) un pequeño error a menudo no es una preocupación importante en este caso inusual (aunque hay otras fórmulas de distancia de círculo máximo que evitan este problema). (La fórmula anterior se escribe a veces en términos de la función arcotangente, pero esta adolece de problemas numéricos similares con valores cerca de h = 1.)

Como se describe a continuación, en lugar de haversines, también se puede escribir una fórmula similar, en términos del coseno -a veces llamada la ley esférica del coseno -, (a no confundir con la ley del coseno para la geometría plana), pero para el caso común de distancias pequeñas ... un pequeño error en los datos de entrada de la función "arccos" lleva a un gran error en el resultado final. Esto hace que la fórmula no sea apta para un uso general.

Esta fórmula es sólo una aproximación cuando se aplica a la Tierra, porque la Tierra no es una esfera perfecta: el radio de la Tierra R varía de 6.356,78 kilómetros en los polos hasta 6378 , 14 kilómetros en el ecuador. Hay pequeñas correcciones, típicamente del orden de 0,1% (p.e. suponiendo la media geométrica R = 6.367,45 kilómetros que se utiliza en todas partes), a causa de esta ligera forma elipsoidal del planeta. Otro método más preciso, que tiene en cuenta la forma elipsoidal de la Tierra, viene dada por las fórmulas de Vincenty.

Ley del haversine[editar]

Dada una esfera unidad, un "triángulo esférico" en la superficie de la esfera se define por los tres círculos máximos que conectan tres puntos u, v y w sobre la esfera. Si los tres arcos que definen son: a (de u a v), b (de u a w), y c (de v a w), y el ángulo del vértice opuesto a c es C , entonces la ley del haversine dice:

(la ley del haversine)

${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\,\operatorname {hav} (C).}$

Triángulo esférico resuelto por la ley del haversine.

Como se trata de una esfera unitaria, las longitudes a , b y c son simplemente iguales a los ángulos centrales (en radianes) que los definen a partir del centro de la esfera (para una esfera no unitaria, cada una de estos arcos es igual a su ángulo central multiplicado por el radio de la esfera).

Para obtener la fórmula del haversine de la sección anterior de esta ley, simplemente se considera el caso especial donde uno es el polo norte, mientras que w y v son los dos puntos entre los que se quiere determinar la distancia d. En este caso, a y b son π / 2 - φ _1,2 (es decir, 90° - latitud), C es el incremento de longitud Δλ, y c es la distancia d/R que se quiere calcular. Tomando nota de que sin (π / 2 - φ) = cos (φ), la fórmula del haversine se calcula como sigue:

Para deducir la ley del haversine, se parte de la ley esférica de coseno:

(teorema esférico del coseno)

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}$

Como se ha mencionado anteriormente, esta fórmula no es demasiado buena para la resolución de c cuando ces pequeño. En su lugar, se sustituye la identidad: cos (θ) = 1-2 hav(θ), y para obtener la ley del haversine citada más arriba, también se utiliza la identidad de la suma:

cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

Fórmula integral de Cauchy

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Esta fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del cálculo Integral de variable compleja.

Definición[editar]

Enunciado 1[editar]

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto ${\displaystyle z_{0}\,}$ contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})}$

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2[editar]

Sea ${\displaystyle f\,}$ una función analítica sobre ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \gamma }$ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y ${\displaystyle z_{0}\notin \gamma }$

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega }$

Siendo ${\displaystyle z_{0}\,}$ un punto que no esté sobre ${\displaystyle \gamma }$ , ${\displaystyle I_{\gamma }(z_{0})\,}$ el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al ${\displaystyle \Pi }$ = 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},}$

que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}}$

con ${\displaystyle a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{n}}$ s entero.

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Derivación[editar]

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes

• ${\displaystyle \tan(\arctan(a))=a}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan(1)}$
• ${\displaystyle \tan(2a)={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}}$ (identidad de la tangente de ángulo doble)
• ${\displaystyle \tan(a-\arctan(b))={\frac {\tan(a)-b}{1+b\tan(a)}}}$ (identidad diferencia tangente)
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{16}}=0.196349\dots }$ (aproximadamente)
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {1}{5}}\right)=\arctan(0.2)=0.197395\dots }$ (aproximadamente)

En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad. Esto conduce a la posibilidad de que un número ${\displaystyle q}$ pueda encontrarse tal que

${\displaystyle {\frac {\pi }{16}}=\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-{\frac {1}{4}}\arctan(q).}$

Usando el álgebra elemental, se puede aislar ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle q=\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado

${\displaystyle q={\frac {\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)-1}{1+\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)}}}$

Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a

${\displaystyle \tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)={\frac {120}{119}}}$

y así

${\displaystyle q={\frac {{\frac {120}{119}}-1}{1+{\frac {120}{119}}}}={\frac {1}{239}}.}$

Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos. Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por ${\displaystyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos. Si a = b then ${\displaystyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ es de 45 grados o ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$. Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$. Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin. Un ejemplo es ${\displaystyle (2+i)}$ y ${\displaystyle (3+i)}$, si se multiplican se llega a ${\displaystyle (5+5i)}$. Por lo tanto ${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}}$.

Si desea utilizar números complejos para demostrar que ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando. Así que ${\displaystyle (5+i)^{4}(-239+i)=-2^{2}(13^{4})(1+i)}$ y ya que las partes real e imaginaria son iguales, ${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}$

Fórmulas de dos períodos[editar]

relations

Hay exactamente tres fórmulas adicionales de Machin con dos términos; se trata de Euler

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$,

Hermann,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$,

y de Hutton

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$.

Más términos[editar]

El récord de 2002 de dígitos de ${\displaystyle \pi }$, 1,241,100,000,000, fue obtenido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio. El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron estas dos fórmulas:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

Kikuo Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

F. C. w. Störmer (1896).

Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\\&-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\\end{aligned}}}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{113021}}\\&-100\arctan {\frac {1}{6826318}}-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}\\\end{aligned}}}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (2003).

Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades;

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}},}$

${\displaystyle \arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},}$

o equivalente,

${\displaystyle \arctan {\frac {a}{b}}+\arctan {\frac {c}{d}}=\arctan {\frac {ad+bc}{bd-ac}},}$

${\displaystyle \arctan {\frac {a}{b}}-\arctan {\frac {c}{d}}=\arctan {\frac {ad-bc}{bd+ac}}.}$

Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente. Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;

${\displaystyle {\begin{aligned}12\arctan {\frac {1}{49}}&+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\\&=12\arctan {\frac {46}{2253}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\\&=12\arctan {\frac {3}{79}}+20\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\\&=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\ \ \ \ {\text{(Gauss)}}\\&=4\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {3}{41}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\\&=4\arctan {\frac {17}{331}}+4\arctan {\frac {123}{836}}-\arctan {\frac {1}{239}}\\&=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\ \ \ \ {\text{(Machin)}}\\&=2\arctan {\frac {5}{12}}-\arctan {\frac {1}{239}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}-\arctan {\frac {1}{239}}\\&=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$: