MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}$

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos ztal que zⁿ = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 este último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Obtención[editar]

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}$

aplicando leyes de la exponenciación

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,}$

Entonces, por la fórmula de Euler,

${\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}$.

Algunos resultados[editar]

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}$

Si hacemos que ${\displaystyle x=\pi }$ entonces tenemos la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\sin \pi =-1+0=-1}$

Es decir:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}$

Además como tenemos estas dos igualdades:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x\,}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-\mathrm {i} \,\sin x\,}$

podemos deducir lo siguiente:

${\displaystyle \cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\,}$

${\displaystyle \sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2\mathrm {i} \,}$

Demostración por inducción[editar]

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}$

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{alignedat}}}$

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que ${\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}$, y (por convención) ${\displaystyle z^{0}=1}$.

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{alignedat}}}$

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

Generalización[editar]

 La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}$

es una función multivaluada mientras

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$     es un valor de     ${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}$.

Aplicaciones[editar]

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)}$

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar. (siendo r el módulo)

Potencia[editar]

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

${\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\right]^{n}=r^{n}\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]}$

Raíces[editar]

Para obtener las ${\displaystyle n}$ raíces de un número complejo, se aplica:

${\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}$

donde ${\displaystyle k}$ es un número entero que va desde ${\displaystyle 0}$ hasta ${\displaystyle n-1}$, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las ${\displaystyle n}$raíces diferentes de ${\displaystyle z}$.

Fórmula de Moivre

Para calcular la potencia de un complejo en forma trigonométrica utilizamos la fórmula de Moivre:

Ejemplos

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 3α y sen 3α

Binomio de Newton

Fórmula de Moivre

Igualamos con la parte real e imaginaria de la expresión anterior.

Fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona la factorización en primos del factorial n!, donde n ≥ 1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre.¹​

La fórmula[editar]

Sea n ≥ 1 un entero. Entonces, la descomposición en números primos de n! es dada mediante

${\displaystyle \prod _{p{\text{ primo}} \atop p\leq n}p^{s_{p}(n)}}$

donde

${\displaystyle s_{p}(n)=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor }$

y los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se obtiene:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor }$

que permite calcular más sencillamente los términos s_p(n).

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,¹​ considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.²​

Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}}$,

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m₁, …, m_n) que satisfacen la restricción:

${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.\,}$.

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}}$.

Combinando los términos con el mismo valor de m₁ + m₂ + ... + m_n = k y notando que m _j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de polinomios de Bell B_n,k(x₁,...,x_n−k+1):

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}$.