MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.

Enunciado[editar]

Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo psi y solo si

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}.}$

Demostración[editar]

Supongamos que ${\displaystyle a\equiv x^{2}{\pmod {p}}}$. Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$. Luego tenemos

${\displaystyle a^{(p-1)/2}}$	${\displaystyle \equiv (x^{2})^{(p-1)/2}{\pmod {p}}}$
	${\displaystyle \equiv x^{p-1}{\pmod {p}}}$
	${\displaystyle \equiv 1{\pmod {p}}}$

A la inversa, suponemos que ${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}}$. Sea b un elemento primitivo modulo p. Entonces ${\displaystyle a\equiv b^{i}{\pmod {p}}}$ para algún i. Luego tenemos

${\displaystyle a^{(p-1)/2}}$	${\displaystyle \equiv (b^{i})^{(p-1)/2}{\pmod {p}}}$
	${\displaystyle \equiv b^{i(p-1)/2}{\pmod {p}}}$

Como b es de orden p-1, debe darse el caso que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son ${\displaystyle \pm b^{i/2}}$.

Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$ diverge

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Definición[editar]

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación ${\displaystyle f^{t}}$ en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}\,,}$

en general depende del punto de inicio ${\displaystyle x_{0}}$. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

${\displaystyle J^{t}(x_{0})=\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}}$.

La matriz ${\displaystyle J^{t}}$ describe cómo un pequeño cambio en el punto ${\displaystyle x_{0}}$ se propaga hasta el punto final ${\displaystyle f^{t}(x_{0})}$. El límite

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }(J^{t}\cdot (J^{t})^{T})^{1/2t}}$

define a una matriz ${\displaystyle L(x_{0})}$ (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si ${\displaystyle \Lambda _{i}(x_{0})}$ son los valores dados de ${\displaystyle L(x_{0})}$, entonces el exponente Lyapunov ${\displaystyle \lambda _{i}}$ está definido por

${\displaystyle \lambda _{i}(x_{0})=\log \Lambda _{i}(x_{0})\,.}$

Propiedades básicas[editar]

• Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
• Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
• Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
• En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.

• El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
• El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico.[editar]

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz ${\displaystyle L}$ basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo ${\displaystyle L}$.

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número enteroque no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadradodel siguiente número confirmado como primo es mayor que n.

Proceso de criba[editar]

Determinemos, mediante el siguiente ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.

1. Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 hasta el número que se desee, en este caso, hasta el 20.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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13

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17

18

19

20

2. Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.

2

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19

20

3. Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.

2

3

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19

20

4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.

Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.

Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Refinamiento[editar]

Un refinamiento de la criba consiste en tachar los múltiplos del k-ésimo número primo p_k, comenzando por p_k²pues en los anteriores pasos se habían tachado los múltiplos de p_k correspondientes a todos los anteriores números primos, esto es, 2p_k, 3p_k, 5p_k,..., hasta (p_k-1)p_k. El algoritmo acabaría cuando p²_k>n ya que no habría nada que tachar.¹​

Otro refinamiento consiste en generar una lista sólo con números impares (pues los números pares distintos de 2 se sabe que no son primos), e ir tachando los múltiplos de los números primos mediante incrementos de 2p, es decir, los múltiplos impares (2k+1)p de cada primo p. Esto aparece en el algoritmo original.¹​

Pseudocódigo[editar]

Algoritmo Criba de Eratóstenes (Complejidad ${\displaystyle O(n~\log \log n)}$)

Entrada: Un número natural ${\displaystyle n}$ Salida: El conjunto de números primos anteriores a ${\displaystyle n}$ (incluyendo ${\displaystyle n}$) Escriba todos los números naturales desde ${\displaystyle 2}$ hasta ${\displaystyle n}$ Para ${\displaystyle i}$ desde ${\displaystyle 2}$ hasta ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$ haga lo siguiente: Si ${\displaystyle i}$ no ha sido marcado entonces: Para ${\displaystyle j}$ desde ${\displaystyle i}$ hasta ${\displaystyle n\div i}$ haga lo siguiente: Ponga una marca en ${\displaystyle i\times j}$ El resultado es: Todos los números sin marca

Acerca de la notación:

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ es la función parte entera de ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle a\div b}$ es el cociente de dividir ${\displaystyle a}$ entre ${\displaystyle b}$

Para su implementación en una computadora, normalmente se maneja un vector de tipo lógico con ${\displaystyle n}$ elementos. De esta manera, la posición ${\displaystyle i}$ contiene el valor Verdadero como representación de que ${\displaystyle i}$ ha sido marcado y Falso en otro caso.

Criba de Euler[editar]

Una forma especial de la criba de Eratóstenes aplicada se puede encontrar en la demostración del producto de Euler para la función zeta de Riemann por parte de Leonhard Euler, y muestra una forma original de obtener dicho producto, utilizando una modificación de dicha criba. La función zeta de Riemann se representa como

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots }$

Multiplicando ambos miembros por ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2^{s}}}}$ se obtiene una nueva serie, y restando esta nueva serie a la serie original miembro a miembro y término a término, se eliminan todos los términos cuyas bases son múltiplos de 2 — En la criba de Eratóstenes se tachan —.

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+\cdots }$

Repitiendo el mismo proceso sobre el siguiente término, ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3^{s}}}}$, se eliminan todos los términos cuyas bases son múltiplos de 3:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }$

Puede comprobarse que la parte de la derecha se está cribando, de manera que repitiendo este proceso indefinidamente:

${\displaystyle \cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}$

se obtiene un producto sobre todos los números primos p, que puede escribirse de forma simplificada como:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$