MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

teorema de Helmholtz, también conocido como el teorema fundamental del cálculo vectorial, afirma que cualquier campo vectorial tridimensional que sea lo bastante suave y que decaiga lo bastante rápido puede ser descompuesto en la suma de un campo vectorial irrotacional (sin rotor) más otro solenoidal (sin divergencia); esto se conoce como su descomposición Helmholtz en honor de Hermann von Helmholtz.

Esto implica que cualquier campo vectorial F que cumpla las condiciones está generado por un par de potenciales: un potencial escalar φ y un potencial vector A.

Teorema[editar]

Sea F un campo vectorial en R³ que sea de clase C² y que, junto con su divergencia y su rotacional, decaiga más rápido que 1/r² en el infinito.¹​ Entonces, F es la suma de un gradiente y un rotor como sigue:

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi +{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$

donde:

${\displaystyle \varphi }$ representa un potencial escalar.

${\displaystyle \mathbf {A} }$ representa un potencial vector.

Donde:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}},}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$

Si F tiene divergencia nula, ∇·F = 0, entonces F recibe el nombre de campo solenoidal, y su descomposición Helmholtz se reduce a:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$

En este caso, A se conoce como el potencial vectorial de F. Esta elección concreta de potencial vector tiene divergencia nula, condición que en física se denomina de Coulomb.

De forma similar, si F tiene rotor nulo, ∇×F = 0, se denomina campo irrotacional, y su descomposición Helmholtz se reduce a:

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \varphi .}$

En este caso, φ se conoce como el potencial escalar de F.

En general F es la suma de estos términos,

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$

donde el gradiente negativo del potencial escalar es la componente irrotacional, mientras que el rotor del potencial vector es la componente solenoidal.

Campos con divergencia y rotacional dados[editar]

El nombre "teorema de Helmholtz" también puede referirse a lo siguiente: sea C un campo vectorial y d uno escalar en R³ lo suficientemente suaves y que decaen más rápido que 1/r² en el infinito. Entonces, existe un campo vectorial F tal que ∇·F = d y ∇×F = C. Si además se especifica la condición de que F se anule con r → ∞, entonces F es único.¹​

Es decir, dados una divergencia y rotacional se puede construir el campo vectorial asociado, y si además se indica que éste se anula en el infinito, está especificado de forma única por su divergencia y su rotor. Este teorema es de gran importancia en electrostática, dado que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son exactamente del tipo descrito.¹​ La prueba se construye generalizando la dada arriba, estableciendo

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}{\mathcal {G}}(d)+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathcal {G}}(\mathbf {C} ).}$

Formas diferenciales[editar]

La descomposición de Hodge está relacionada con la descomposición de Helmholtz, pasando de campos vectoriales en R³ a formas diferenciales en una variedad Riemanniana M. La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge exigen que M sea compacta.²​ Dado que esto no se cumple para R³, la descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, el requisito de compacidad de la formulación usual puede relajarse, exigiendo en su lugar a las formas diferenciales involucradas las condiciones adecuadas sobre su decaimiento en el infinito, resultando por tanto una auténtica generalización del teorema de Helmholtz.

Formulación débil[editar]

También se puede generalizar la descomposición de Helmholtz relajando las condiciones de regularidad (es decir, la exigencia de que existan derivadas en sentido fuerte). Sea Ω un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conexo. Todo campo vectorial u ∈ (L²(Ω))³ que sea cuadrado-integrable (es decir, que la integral en todo el dominio del cuadrado de su módulo sea finita) tiene una descomposición ortogonal:

${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$

donde φ está en el espacio de Sóbolev H¹ de funciones cuadrado-integrables en Ω cuyas derivadas parciales (definidas en el sentido de distribución) sean también cuadrado-integrables; y A ∈ H(rot,Ω), el espacio Sobolev de campos vectoriales cuadrado-integrables con rotor también cuadrado-integrable.

Si el campo vectorial u es más suave y se cumple u ∈ H(rot,Ω), se tiene una descomposición similar:

${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\mathbf {v} }$

donde φ ∈ H¹(Ω) y v ∈ (H¹(Ω))^d.

Campos longitudinal y transversal[editar]

En física es frecuente denominar componente longitudinal a la componente irrotacional de un campo vectorial, y componente transversal a la componente solenoidal.³​ Esta terminología surge de la aplicación de transformadas integrales vectoriales como sigue: sea u(x) un campo vectorial en R³, y sea U(k) su transformada tridimensional de Fourier. Si se separa este último campo en cada punto k en sus componentes paralela (longitudinal) y perpendicular (transversal) a k, se tiene:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\mathbf {u} (\mathbf {x} )]=\mathbf {U} (\mathbf {k} )=\mathbf {U} _{l}(\mathbf {k} )+\mathbf {U} _{t}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {U} _{t}=\mathbf {k} \times \mathbf {U} _{l}=0}$

Aplicando a continuación la transformada inversa de Fourier a cada componente, y empleando las propiedades de esta transformada, se verifica:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}[\mathbf {U} (\mathbf {k} )]=\mathbf {u} (\mathbf {x} )=\mathbf {u} _{t}(\mathbf {x} )+\mathbf {u} _{l}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} _{t}=\nabla \times \mathbf {u} _{l}=0}$

Por tanto, se ha obtenido la descomposición Helmholtz de u.⁴​

Fórmulas integrales[editar]

Si el campo vectorial es suave y decae lo bastante rápido, junto con sus derivadas primera y segunda, entonces los campos vectoriales F_l y F_t que resultan de su descomposición Helmholtz⁵​ F = F_l + F_t pueden ser expresados en forma integral:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{l}(\mathbf {x} )&=-{1 \over 4\pi }{\nabla }\left({\nabla }\cdot \int {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} ')\,d^{3}x'}{\mid \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\mid }}\right)\\&=-{1 \over 4\pi }\nabla \int {\frac {\nabla ^{\prime }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {x} ^{\prime })}{\mid \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\mid }}d^{3}x^{\prime }\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}\left(\mathbf {x} \right)={1 \over 4\pi }{\nabla }\times {\nabla }\times \int {\mathbf {F} \left(\mathbf {x} ^{\prime }\right)\,d^{3}x^{\prime } \over \mid \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\mid }.}$

El rotacional del primer vector es nulo, porque es un gradiente, y lo mismo se aplica a la divergencia del segundo porque es un rotor. Esta descomposición integral es consecuencia de la expresión del potencial newtoniano de F, que es el campo vectorial W que decae rápidamente y cumple

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {W} =-\mathbf {F} .}$

El potencial puede ser expresado como

${\displaystyle \mathbf {W} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} ')\,d^{3}x'}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}.}$

Entonces, la identidad vectorial

${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {W} =-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {W} \right)+\nabla \times \nabla \times \mathbf {W} }$

es exactamente la descomposición Helmholtz, porque el primer miembro es F, y el segundo es F_l + F_t.

problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos compilada por el matemático alemán David Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemas estaban todos por resolver en aquel momento, y varios resultarían ser muy influyentes en la matemática del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se publicó más adelante.

Naturaleza e influencia de los problemas[editar]

Aunque se han producido intentos de repetir el éxito de la lista de Hilbert, ningún otro conjunto tan variado de problemas o conjeturas ha tenido un efecto comparable en el desarrollo del tema y obtenido una fracción importante de su celebridad. Por ejemplo, las conjeturas de André Weil son famosas pero fueron poco publicitadas. Quizá su propio temperamento evitó que él intentase ponerse en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produjo una lista, pero no obtuvo reconocimiento universal.

A primera vista, este éxito podría atribuirse a la eminencia del autor de los problemas. Hilbert estaba en la cúspide de su poder y reputación en aquel momento y continuó dirigiendo la sobresaliente escuela de matemática en la Universidad de Göttingen. Un examen más cuidadoso revela que el asunto no es tan simple.

La matemática de aquel tiempo era aún discursiva: la tendencia a sustituir palabras por símbolos y apelaciones a la intuición y conceptos mediante axiomática pura seguía subyugada, aunque se volvería fuerte durante la siguiente generación. En 1900, Hilbert no pudo acudir a la teoría axiomática de conjuntos, la integral de Lebesgue, los espacios topológicos o la tesis de Church, que cambiarían sus respectivos campos de forma permanente. El análisis funcional, fundado en cierto modo por el propio Hilbert como noción central de los testigos del espacio de Hilbert, no se había diferenciado aún del cálculo de variaciones; hay en la lista de problemas de matemática variacional, pero nada, como podría asumirse inocentemente, sobre teoría espectral(el problema 19 tiene una conexión con la hipoelipticidad).

La lista no fue predictiva en ese sentido: no consiguió plasmar o anticipar el fulgurante ascenso que experimentarían la topología, la teoría de grupos y la teoría de la medida en el siglo XX, así como no previó la manera en que iba a avanzar la lógica matemática. Por tanto, su valor documental es el de ensayo: una visión parcial, personal. Sugiere algunos programas de investigación y algunas direcciones por seguir sin fin concreto.

De hecho, muchas de las preguntas daban una falsa idea del matemático profesional del siglo XIX, o incluso de 1950, en que la forma de una solución a una buena pregunta tomaría la forma de un artículo publicado en una publicación matemática. Si este fuera el caso de todos los veintitrés problemas, se habría simplificado el comentario hasta el punto de poder dar una referencia a una revista, o considera la pregunta como abierta todavía. En algunos casos el lenguaje usado por Hilbert se sigue considerando un tanto "negociable", en cuanto al significado real de la formulación del problema (en ausencia, repetimos, de fundamentos axiomáticos, basados en matemática pura, empezando con el propio trabajo de Hilbert sobre geometría euclidiana, pasando por el Principia Mathematica, y terminando con el grupo Bourbaki y el "terrorismo intelectual" para terminar el trabajo). Los problemas Primero y Quinto se encuentran, quizá sorprendentemente, en un estado de formulación de una claridad menos que total (véanse las notas). En casos como el Vigésimo, el problema se podría leer de forma razonable en una versión "interna", relativamente accesible, en la que el lector puede saber a qué estaba apuntando Hilbert; o como una penumbra "externa" y especulativa.

Dicho todo esto, por tanto, la razón más importante es la gran rapidez con la que aceptó la lista de Hilbert la comunidad matemática de aquel momento (lo cual es una fórmula menos convencional que ahora, ya que por entonces había pocos líderes investigadores, que generalmente se encontraban en unos pocos países europeos y se conocían todos entre ellos). Los problemas se estudiaron con gran atención; resolver uno labró reputaciones.

El estilo fue al menos tan influyente como el contenido de los problemas. Hilbert solicitaba clarificaciones. Pidió soluciones en principio a preguntas algorítmicas, no a algoritmos prácticos. Pidió un fortalecimiento de los cimientos de partes de la matemática que a los no practicantes aún se antojaban guiadas por intuiciones opacas (el cálculo de Schubert y la geometría enumerativa).

Estas actitudes fueron adoptadas por muchos seguidores, aunque también fueron discutidas, y continúan siéndolo. Treinta años después, Hilbert había endurecido su postura: véase ignorabimus.

Los problemas como manifiesto de Hilbert[editar]

Está bastante claro que la lista de problemas, y su forma de discusión, estaban pensadas para ser influyentes. Hilbert no falló a las expectativas de la academia Alemana en cuanto a construcción de imperios, verbo programático, y establecimiento explícito de una dirección y reclamo de territorio para una escuela. Nadie habla ya de la 'escuela de Hilbert' en esos términos; ni gozaron los problemas de Hilbert de su momento como si hizo el programa de Erlangen de Felix Klein. Klein fue colega de Hilbert, y en comparación la lista de este último era mucho menos prescriptiva. Michael Atiyah ha caracterizado el programa de Erlangen como prematuro. Los problemas de Hilbert, por el contrario, mostraron la capacidad del experto de buscar el momento adecuado.

Si la 'escuela de Hilbert' tiene un significado, posiblemente se refiera a la teoría de operadores y al estilo de la física teórica que tomó los volúmenes Hilbert-Courant como canónicos. Como se señaló antes, la lista no establece directamente problemas sobre teoría espectral. Tampoco le dio relevancia al álgebra conmutativa(entonces se la conocía como teoría de ideales), su contribución algebraica más importante y mayor preocupación en sus días de la teoría de invariantes; lo cual, podría decirse, habría estado más en la línea de Klein. Ni, al menos superficialmente, predicó contra Leopold Kronecker, el oponente de Georg Cantor, del que había aprendido mucho pero cuyas actitudes casi detestaba (como queda documentado en la biografía de Constance Reid). El lector podría extraer amplias conclusiones de la presencia de la teoría de conjuntos en cabeza en la lista.

La teoría de funciones de variable compleja, la rama del análisis clásico que todo matemático puro debería conocer, está bastante olvidada: ni la conjetura de Bieberbach ni otra cuestión interesante, aparte de la hipótesis de Riemann. Uno de los objetivos estratégicos de Hilbert fue poner el álgebra conmutativa y la teoría de funciones complejas al mismo nivel; esto, sin embargo, llevaría 50 años (y aún no ha resultado en un cambio de lugares).

Hilbert tenía un pequeño grupo de pares: Adolf Hurwitz y Hermann Minkowski eran ambos amigos cercanos e iguales intelectuales. Hay un guiño a la geometría de números de Minkowski en el problema 18, y a su trabajo en las formas cuadráticas en el problema 11. Hurwitz fue el gran desarrollador de la teoría de la superficie de Riemann. Hilbert usó la analogía del cuerpo de funciones, una guía a la teoría algebraica de números mediante el uso de análogos geométricos, para desarrollar la teoría del cuerpo de clases dentro de su propia investigación, y esto queda reflejado en el problema 9, hasta cierto punto en el problema 12, y en los problemas 21 y 22. Por otro lado, el único rival de Hilbert en 1900 era Henri Poincaré, y la segunda parte del problema 16 es una cuestión de sistemas dinámicos al estilo de Poincaré.

Dos docenas redondas[editar]

Originalmente Hilbert incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió excluir uno de ellos de la publicada. El "problema vigésimo cuarto" (en la teoría de la demostración, sobre un criterio de simplicidad y métodos generales) lo redescubrió en el año 2000 el historiador alemán Rüdiger Thiele, dentro de las notas manuscritas originales de Hilbert.

Resumen[editar]

De los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 y 22 tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.

En el 18 indica que la solución a la ecuación de Kepler es una demostración asistida por computadora, una noción anacrónica para un problema de Hilbert y controvertida hasta cierto punto debido a que un lector humano no puede verificarla en tiempo razonable.

Esto deja sin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, ambos dentro de la teoría de números. En esta clasificación los 4, 6 y 16 son demasiado vagos como para que algún día se les pueda declarar resueltos. El problema 24 retirado también caería en esta clase.

Información tabulada[editar]

Los veintitrés problemas de Hilbert son los siguientes:

Problema	Explicación concisa	Estado del problema
1.er	La hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté estrictamente entre el de los racionalesy el de los números reales).	Se ha probado la imposibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.1​
2º	Probar que los axiomas de la aritméticason consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).	Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático;2​ sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal ${\displaystyle \epsilon _{0}}$, un hecho sujeto a la intuición combinatoria.
3.er	Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?	Resuelto. Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn.
4º	Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas.	Demasiado vago para decidir si se ha resuelto o no.3​
5º	¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?	Resuelto por Andrew Gleason (1952).
6º	Axiomatizar toda la física.	La mecánica clásica: Hamel (1903). La termodinámica: Carathéodory (1909). La relatividad especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente. La teoría de probabilidades: Kolmogórov (1930). La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años 1950.
7º	¿Es a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?	Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider.
8º	La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).	Sin resolver.4​
9º	Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier cuerpo numérico algebraico.	Parcialmente resuelto.5​
10º	Encontrar un algoritmo que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene solución entera.	Resuelto. Resultado: no, el teorema de Matiyasevich(1970) implica que no existe tal algoritmo.
11º	Resolver las formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos.	Parcialmente resuelto: Sobre los números racionales: Hasse (1923-1924). Sobre los números enteros: Siegel en los años 1930.
12º	Extender el teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico de base.	Sin resolver.
13º	Resolver todas las ecuaciones de 7º grado usando funciones de dos parámetros.	Resuelto negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.
14º	Probar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.	Resuelto. Resultado: no, en general, debido a un contraejemplo, Nagata (1962).
15º	Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.	Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años 1930.
16º	Topología de las curvas y superficies algebraicas.	Sin resolver.
17º	Expresión de una función definidaracional como cociente de sumas de cuadrados.	Resuelto. Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967).
18º	¿Existe un poliedro irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual es el apilamiento compacto más denso?	Resuelto.6​
19º	¿Son siempre analíticas las soluciones de los Lagrangianos?	Resuelto por Bernstein (1904). Resultado: sí.
20º	¿Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno?	Resuelto. Ha supuesto un área importante de investigación durante el siglo XX, culminando con las soluciones al caso no lineal.
21.er	Probar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo monodrómico prescrito.	Resuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de una formulación más exacta del problema. Según Gray resuelto de forma negativa por Anosov y Bolibruch(1994).
22º	Uniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas.	Resuelto por Koebe (1907) y Poincaréindependientemente (1907).
23.er	Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.	Sin resolver.

Los 23 problemas de David Hilbert

Posted on 8 enero, 2010 by Jesús Soto

La famosa lista de 23 problemas de propuestos por David Hilbert en el Congreso de París de 1900 a supuesto un incentivo constante en los matemáticos del siglo XX, la solución de uno de los problemas suponía el paso a la notoriedad matemática. Como son constantes las referencias a esta lista la pondré, aunque podemos verla en multitud de sitios.

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 21/2,eπ$2^{1/2},e^{\pi }$, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.