MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números durante el siglo XIX por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más tarde a otras «fórmulas de inversión de Möbius».

Formulación[editar]

La versión clásica¹​²​ establece que si g(n) y f(n) son funciones aritméticas satisfaciendo

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\quad {\mbox{para todo entero }}n\geq 1}$

entonces

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)\mu \left({n \over d}\right)=\sum _{d\mid n}g\left({n \over d}\right)\mu (d)\quad {\mbox{para todo entero }}n\geq 1}$

donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos de n.³​ La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algún grupo abeliano. Las dos funciones se dice que son la transformada de Möbius la una de la otra. En el lenguaje de convoluciones (véase función multiplicativa), la primera fórmula puede expresarse como

${\displaystyle g=f*1}$

donde "*" denota el operador convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante f(n)=1. De la misma manera, la segunda se expresa como

${\displaystyle f=\mu *g.}$

Generalizaciones[editar]

Una formulación equivalente de la fórmula de inversión, más útil en combinatoria es como sigue:

Suponga que F(x) y G(x) son funciones complejo-valoradas definidas en un intervalo [1, ∞) tales que

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}F\left({x \over n}\right)\quad {\mbox{ para todo }}x\geq 1}$

entonces

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)G\left({n \over d}\right)\quad {\mbox{ para todo }}x\geq 1.}$

aquí las sumas se extienden sobre todos los números enteros positivos n que son menores o iguales que x.

La inversión de Möbius tratada arriba es la inversión original de Möbius. Cuando el conjunto parcialmente ordenado de los números naturales ordenados por la divisibilidad es substituido por otros conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos, uno obtiene otras fórmulas de inversión de Möbius; para una reseña de ellas, véase álgebra de incidencia.

Versión multiplicativa de la fórmula de inversión[editar]

Como la fórmula de inversión de Möbius puede ser aplicada a cualquier grupo abeliano, esto no supone una diferencia entre si la operación de grupo es la adición o la multiplicación. En este sentido, se puede proporcionar la siguiente versión multiplicativa de la fórmula de inversión de Möbius.¹​ Si

${\displaystyle g(n)=\prod _{d|n}f(d)\,}$

entonces

${\displaystyle f(n)=\prod _{d|n}g(d)^{\mu \left({n \over d}\right)}=\prod _{d|n}g\left({n \over d}\right)^{\mu (d)}.\,}$

fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden ${\displaystyle n\times n}$ es:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i}}$

donde

${\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación S_n que devuelve +1 y −1 para permutaciones pares e impares, respectivamente.

Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando:

${\displaystyle \det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

que puede ser más familiar para los físicos.

Evaluar directamente la fórmula de Leibniz requiere ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ operaciones en general —es decir un número de operaciones asintóticamente proporcional a n factorial— ya que n! es el número de permutaciones de orden n. En la práctica resulta difícil para valores de n grandes. En su lugar, el determinante se puede evaluar en O(n)³operaciones mediante la descomposición LU] de la matriz ${\displaystyle A=LU}$ (normalmente a través de la eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo caso ${\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}$ y los determinantes de las matrices triangulares L y U son simplemente los productos de las entradas de sus diagonales principales (en la práctica de álgebra lineal, sin embargo, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante). Ver, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997).

Declaración formal y prueba[editar]

Teorema. existe exactamente una función:

${\displaystyle F:{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

que es alterna multilineal columnas w.r.t. y de tal manera que ${\displaystyle F(I)=1}$.

Prueba.

Singularidad: Sea ${\displaystyle F}$ una función de este tipo, y sea ${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$ una ${\displaystyle n\times n}$ matriz. Llámese ${\displaystyle A^{j}}$ la ${\displaystyle j}$-la columna de ${\displaystyle A}$, i.e. ${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$ de modo que ${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

También, sea ${\displaystyle E^{k}}$ la ${\displaystyle k}$ columna-vector de la matriz de identidad.

Ahora se escribe cada uno de los ${\displaystyle A^{j}}$'s en términos de la ${\displaystyle E^{k}}$, por ejemplo:

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

Como ${\displaystyle F}$ es multilineal, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)\\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

A partir de la alternativa se sigue que cualquier plazo con índices repetidos es cero. Por consiguiente, la suma puede ser restringido a las tuplas con índices que no se repiten, es decir, permutaciones:

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

Debido a que F es alterna, las columnas ${\displaystyle E}$ pueden ser cambiadas hasta que se convierte en la identidad. La [[también permutaciones impares|Función signo]] se define para contar el número de intercambios necesarios y cuenta para el cambio de signo resultante. Uno finalmente obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

Como ${\displaystyle F(I)}$ se requiere para ser igual a ${\displaystyle 1}$.

Por lo tanto ninguna función además de la función definida por la fórmula Leibniz es una función de alternación multilineal ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$.

Existencia: Vamos a demostrar que F, dond F es la función definida por la fórmula de Leibniz, tiene estas tres propiedades.

Multilineal

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

Alterna:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

Para cualquier ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ permite ${\displaystyle \sigma '}$ ser igual a la tupla ${\displaystyle \sigma }$ con el ${\displaystyle j_{1}}$ ${\displaystyle j_{2}}$ los índices cambiaron.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn} (\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn} (\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)\\\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto, si ${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$ entonces ${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$.

Finalmente, ${\displaystyle F(I)=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^{n}I_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}}$

Así, las únicas funciones que son multilineal que alternan con ${\displaystyle F(I)=1}$ se restringen a la función definida por la fórmula Leibniz, y que de hecho, también tiene estas tres propiedades. Por lo tanto el determinante se puede definir como la única función:

${\displaystyle \det :{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

con estas tres propiedades.

 fórmula de Perron es una fórmula dada por Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética, mediante el uso de una transformada de Mellininversa.

Enunciado[editar]

Sea ${\displaystyle \{a(n)\}}$ una función aritmética, y sea

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

su correspondiente serie de Dirichlet. Presuma la serie de Dirichlet de ser absolutamente convergente para ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a}}$. Entonces la fórmula de Perron es

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz.\;}$

Aquí, la estrella sobre el sumatorio indica que el último término de la suma debe ser multiplicado por 1/2 cuando x sea un entero. La fórmula requiere que ${\displaystyle c>\sigma _{a}}$ y ${\displaystyle x>0}$ real, pero de otra manera arbitraria.

Demostración[editar]

Un sencillo esbozo de demostración proviene de tomar la fórmula de sumación de Abel

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Esto no es sino una transformada de Laplace bajo el cambio de variable ${\displaystyle x=e^{t}.}$ Invirtiéndolo se obtiene la fórmula de Perron.

Ejemplos[editar]

Debido a su relación general con series de Dirichlet, la fórmula es aplicada comúnmente a varias sumas relacionadas con la teoría de números. Así, por ejemplo, se obtiene la famosa representación integral para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

y una fórmula similar para las funciones L de Dirichlet:

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

donde

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

y ${\displaystyle \chi (n)}$ es un carácter de Dirichlet. Otros ejemplos aparecen en los artículos de la función de Mertens y la función de von Mangoldt.