MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\,\operatorname {sen} x}$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ y ${\displaystyle \cos x}$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

Historia[editar]

Roger Cotes descubrió en 1714 la relación entre las funciones trigonométricas y el logaritmo,

${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\operatorname {sen} x)}$

y fue publicada en su obra póstuma Harmonia mensurarum (1722), 20 años antes de que lo hiciera Leonhard Euler. Euler desarrolló la fórmula utilizando la función exponencial en vez del logaritmo y lo comunicó en una carta enviada a Christian Goldbach en 1741, siendo publicada y popularizada en su obra Introductio in analysin infinitorum en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió en 1787 por parte del matemático Caspar Wessel en su único informe para la Real Academia Danesa.

Un siglo más tarde B. Peirce concluyó la deducción de la fórmula delante de sus alumnos, diciendo: "Caballeros, con seguridad esta fórmula es cierta , aunque les parezca paradójica..." ¹​

Potencia compleja de e[editar]

O bien se suele expresar como:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)}$

siendo ${\displaystyle z}$ la variable compleja definida por ${\displaystyle z=x+iy}$

Demostración[editar]

Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la función exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los números reales para parámetros complejos.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada por la función e^ix al variar ${\displaystyle x}$ sobre los números reales. Así, ${\displaystyle x}$ es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

Demostración usando las Series de Taylor[editar]

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

Sabiendo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones e^x, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Otra definición que se le puede dar a ${\displaystyle e^{x}}$ basándose en las series de Taylor es la siguiente:

${\displaystyle e^{x}={\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

también válido para:

${\displaystyle \cos x={\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}{\biggr )}}$

${\displaystyle \sin x={\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\biggr )}}$

Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}}$

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Relevancia matemática[editar]

La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.

Logaritmo de un número negativo[editar]

En este caso, la fórmula de Euler es evaluada en ${\displaystyle x=\pi }$ , obteniendo la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1}$

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!}$

Luego, al aplicar el logaritmo natural se obtiene:

${\displaystyle \mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!}$.

Logaritmo de un número negativo cualquiera[editar]

Como extensión de la ecuación anterior, el logaritmo de cualquier número negativo se define como:

${\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!}$. Donde ${\displaystyle a>0}$.

Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.

Integración y derivación[editar]

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.

De las reglas de la exponenciación

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}$

y

${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}}$

(válidas para todo par de números complejos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

Funciones trigonométricas[editar]

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

${\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}$

A partir de estas igualdades, es posible definir las funciones trigonométricas para los números complejos de este modo:²​

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}}$

${\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}\cdot {\cfrac {1}{i}}}$

siendo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, es decir, que pertenece al conjunto de números complejos. Estas funciones trigonométricas cumplen las leyes de sus similares aplicadas a los números reales. Sean los números complejos ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle w}$, es decir ${\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

${\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1}$

${\displaystyle \cos(-z)=\cos(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} (-z)=-\operatorname {sen} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} (z+w)=\operatorname {sen} (z)\cos(w)+\operatorname {sen} (w)\cos(z)}$

${\displaystyle \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen} (w)\operatorname {sen} (z)}$

Ecuaciones diferenciales[editar]

En las ecuaciones diferenciales, la expresión ${\displaystyle e^{ix}}$ es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler.

Análisis de señales[editar]

Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno, como ocurre en el análisis de Fourier, y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.

fórmula de Euler-Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infinitas) resolviendo integrales. La fórmula fue descubierta independientemente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin en 1735. Euler usó esta fórmula para calcular valores de series infinitas con convergencia lenta y Maclaurin la utilizó para calcular integrales.

La fórmula[editar]

Si z es un número correlacional y ${\displaystyle f(x)}$ es una función suave (suficientemente derivable) definida ${\displaystyle \forall x\in [0,n]}$, entonces, la integral

${\displaystyle I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx}$

puede ser aproximada por la siguiente suma:

${\displaystyle S={\frac {f\left(0\right)}{2}}+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {f\left(n\right)}{2}}={\frac {f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)}$

(ver regla del trapecio). La fórmula de Euler-Maclaurin nos da una expresión para la diferencia entre la suma y la integral en función de derivadas de ${\displaystyle f(x)}$ en los extremos del intervalo de integración (0 y n). Para cualquier entero positivo p, tenemos que se cumple:

${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right)+R}$

donde ${\displaystyle B_{n}}$ son los números de Bernoulli y R es una estimación del error normalmente pequeña.

Realizando un cambio de variable en la integral, se puede modificar esta fórmula para funciones ${\displaystyle f(x)}$ definidas en otros intervalos de la recta real.

El término de error[editar]

El término de error R es:

${\displaystyle R=(-1)^{p}\int _{0}^{n}f^{(p+1)}(x){B_{p+1}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (p+1)!}\,dx,}$

donde ${\displaystyle B_{i}(x-\lfloor x\rfloor )}$ son los polinomios de Bernoulli periódicos. El término de error se puede acotar por:

${\displaystyle \left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}\left|f^{(p+1)}(x)\right|\,dx.}$

Usos[editar]

Sumas de polinomios[editar]

Si ${\displaystyle f(x)}$ es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término de error R se anula, por lo que se pueden resolver series de polinomios de forma exacta. Por ejemplo, si ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, escogiendo p = 2 se obtiene:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

(ver fórmula de Faulhaber).

Integración numérica[editar]

La fórmula de Euler-Maclaurin se usa también para el análisis de errores en integraciones numéricas, de hecho, los métodos de extrapolación se basan en esta fórmula.

Expansión asintótica de series[editar]

Cuando se quiere calcular la expansión asintótica de series, la forma más cómoda de la fórmaula de Euler-Maclaurin es:

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\,,}$

donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son enteros. Puede ocurrir que esta fórmula siga siendo válida incluso tomando el límite ${\displaystyle {\scriptstyle a\to -\infty }}$ o ${\displaystyle {\scriptstyle b\to +\infty }}$, o ambos. En muchos casos, la integral de la derecha es resoluble mediante funciones elementales de forma cerrada incluso cuando la serie de la izquierda no puede ser resuelta. Entonces, todos los términos de la serie asintótica pueden ser expresados mediante funciones elementales, por ejemplo:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}\,.}$

Donde la serie de la izquierda es igual a la suma de ${\displaystyle {\scriptstyle 1/z^{2}}}$ y ${\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)}}$, donde la serie de la derecha es la función poligamma de primer orden.

Restando ${\displaystyle {\scriptstyle 1/z^{2}}}$ a los dos lados de la expresión, obtenemos una serie asintótica de ${\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)}}$. De hecho, esta serie es el punto inicial de una de las posibles derivaciones de la fórmula de Stirling del factorial.

Demostración[editar]

Demostración por inducción matemática[editar]

Se seguirá la demostración que aparece en (Apostol).¹​

Los polinomios de Bernoulli ${\displaystyle B_{n}(x)}$ con ${\displaystyle n=0,1,2,...}$ se pueden definir recursivamente como sigue:

${\displaystyle B_{0}(x)=1,\,}$

${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x){\mbox{ y }}\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0{\mbox{ para }}n\geq 1.}$

Los primeros 4 son:

${\displaystyle B_{1}(x)=x-1/2,\quad B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6,}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,\quad B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\dots }$

Los valores ${\displaystyle B_{n}(1)=B_{n}}$ son los números de Bernoulli. Para ${\displaystyle n\geq 2}$ se cumple ${\displaystyle B_{n}(0)=B_{n}(1)}$.

Las funciones periódicas de Bernoulli ${\displaystyle P_{n}(x)}$ se definen como:

${\displaystyle P_{n}(x)=B_{n}(x-\lfloor x\rfloor ){\mbox{ for }}0$

Es decir, son iguales a los polinomios de Bernoulli en el intervalo (0,1), pero son funciones periódicas de periodo 1 en el resto del eje real.

Sea la integral

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int u\,dv,}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=f(x),\\du&{}=f'(x)\,dx,\\dv&{}=P_{0}(x)\,dx\quad ({\mbox{con }}P_{0}(x)=1),\\v&{}=P_{1}(x).\end{aligned}}}$

Integrando por partes obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}uv-\int v\,du&{}={\Big [}f(x)P_{1}(x){\Big ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\\\&{}={f(k)+f(k+1) \over 2}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Sumando desde ${\displaystyle k=1}$ hasta ${\displaystyle k=n}$ se obtiene:

${\displaystyle \int _{1}^{n}f(x)\,dx={f(1) \over 2}+f(2)+\cdots +f(n-1)+{f(n) \over 2}-\int _{1}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$

Sumando ${\displaystyle {f(1)+f(n) \over 2}}$ a ambos lados de la igualdad y reagrupando términos se obtiene:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{1}^{n}f(x)\,dx+{f(1)+f(n) \over 2}+\int _{1}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\qquad (1)}$

Por tanto, los dos últimos términos nos dan el error cuando la integral se toma como aproximación de la serie.

Consideremos ahora a la siguiente integral:

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int u\,dv,}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=f'(x),\\du&{}=f''(x)\,dx,\\dv&{}=P_{1}(x)\,dx,\\v&{}=P_{2}(x)/2.\end{aligned}}}$

Integrando otra vez por partes se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}uv-\int v\,du&{}=\left[{f'(x)P_{2}(x) \over 2}\right]_{k}^{k+1}-{1 \over 2}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\\\&{}={f'(k+1)-f'(k) \over 12}-{1 \over 2}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Sumando desde ${\displaystyle k=1}$ hasta ${\displaystyle k=n-1}$ y reemplazando la última integral en (1) por el resultado que se acaba de obtener, tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{1}^{n}f(x)\,dx+{f(1)+f(n) \over 2}+{f'(n)-f'(1) \over 12}-{1 \over 2}\int _{1}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$

Obviamente, este procedimiento puede ser iterado. De esta manera se obtiene una demostración de la fórmula de Euler-Maclaurin por inducción, en la que los pasos de la inducción constan de una integración por partes y en el uso de las propiedades de las funciones periódicas de Bernoulli.

Para acotar el tamaño del error cuando la suma se aproxima por la integral, se tiene en cuenta que, en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, los polinomios de Bernoulli alcanzan sus valores máximos absolutos en los puntos finales del intervalo (véase D.H. Lehmer en la referencias) y que ${\displaystyle B_{n}(1)=B_{n}}$

Demostración mediante análisis funcional[editar]

La fórmula de Euler-Maclaurin puede ser obtenida como una aplicación de algunas ideas de espacios de Hilbert y análisis funcional. Sea ${\displaystyle B_{n}(x)}$ un polinomio de Bernoulli. Un conjunto de funciones duales a los polinomios de Bernoulli está dado por

${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\left[\delta ^{(n-1)}(1-x)-\delta ^{(n-1)}(x)\right]}$

donde δ es la función delta de Dirac. Esta fórmula no es más que una notación formal de la idea de tomar derivadas en un punto, entonces se tiene

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {B}}_{n}(x)f(x)\,dx={\frac {1}{n!}}\left[f^{(n-1)}(1)-f^{(n-1)}(0)\right]}$

para ${\displaystyle n>0}$ y una función diferenciable cualquiera ${\displaystyle f(x)}$ en el intervalo unidad, para el caso en el que ${\displaystyle n=0}$ se define ${\displaystyle {\tilde {B}}_{0}(x)=1}$. Los polinomios de Bernoulli, como sus duales, forman un conjunto ortogonal de estados en el intervalo unidad, así se tiene:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {B}}_{m}(x)B_{n}(x)\,dx=\delta _{mn}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\tilde {B}}_{n}(y)=\delta (x-y).}$

La fórmula de Euler-MacLaurin se obtiene multiplicando la última igualdad por la función a sumar ${\displaystyle f(y)}$ e integrando el resultado sobre el intervalo unidad:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\tilde {B}}_{n}(y)f(y)\,dy}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}f(y)\,dy+\sum _{n=1}^{N}B_{n}(x){\frac {1}{n!}}\left[f^{(n-1)}(1)-f^{(n-1)}(0)\right]-{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{1}B_{N+1}(x-y)f^{(N)}(y)\,dy.}$

Tomando ${\displaystyle x=0}$ y reagrupando términos se obtiene la fórmula buscada junto con el término de error. Nótese que los números de Bernoulli se definen como ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$ y que estos se anulan para n impares mayores que 1. Nótese también que en esta derivación se asume que la función ${\displaystyle f(x)}$ es suficientemente diferenciable, en particular, ${\displaystyle f(x)}$ ha de ser una función analítica

La fórmula de Euler-MacLaurin puede verse como una representación de funciones en el intervalo unidad por el producto directo de los polinomios de Bernoulli y sus duales. Sin embargo, esta representación no es completa en el conjunto de funciones cuadrado integrables. La expansión en término de polinomios de Bernoulli tiene una núcleo no trivial. En particular, ${\displaystyle \sin(2\pi x)}$ pertenece al núcleo, pues la integral de ${\displaystyle \sin(2\pi x)}$ se anula en el intervalo unidad, así como la diferencia de sus derivadas en los extremos del intervalo.