MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

fórmula de Riemann–von Mangoldt, llamada así en honor a Bernhard Riemann y a Hans Carl Friedrich von Mangoldt, expresa que el número N(T) de ceros de la función zeta de Riemann con parte imaginaria mayor que 0 y menor o igual a T satisface

${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T}).}$

La fórmula fue expresada por Riemann en su famoso artículo Sobre los números primos menores que una magnitud dada (1859) y demostrada por von Mangoldt en 1905.

fórmula de Riemann–Siegel es una fórmula asintótica para el error que se comete en la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann, una aproximación de la función zeta mediante las suma de dos series de Dirichlet finitas. Ésta fue encontrada por Siegel (1932) en unos manuscritos no publicados de Bernhard Riemann alrededor de los años 1850s. Siegel convirtió ésta en la fórmula integral de Riemann–Siegel, una expresión para la función zeta en la que intervienen integrales de contorno. Es a menudo usada para calcular valores de la fórmula de Riemann–Siegel, a veces en combinación con el algoritmo de Odlyzko–Schönhage, lo cual aumenta la velocidad de los cálculos considerablemente.

Si M y N son dos números enteros no negativos, entonces la función zeta es igual a

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}$

donde:

• ${\displaystyle \displaystyle \gamma (s)=\pi ^{1/2-s}\Gamma (s/2)/\Gamma ((1-s)/2)}$    es un factor que aparece en la ecuación funcional ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s), y

• ${\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}dx}{e^{x}-1}}}$     es una integral de contorno, cuyo contorno comienza y termina en +∞ y circunferencias de singularidades de un valor absoluto a lo sumo 2πM. La ecuación funcional aproximada da una estimación del tamaño del término error.

Siegel (1932) y Edwards (1974) derivaron la fórmula de Riemann–Siegel formula para este fin, mediante la aplicación del método del descenso más rápido a esta integral, lo cual da una expansión asintótica para el término error R(s) como una serie de potencias negativas de Im(s). En aplicaciones, s está usualmente en la línea crítica, y los enteros positivos M y N son escogidos de tal manera que estén cercanos a (2π Im(s))^1/2. Gabcke (1979) encontró unos buenos límites para el término de error de la fórmula Riemann–Siegel.

Fórmula integral de Riemann[editar]

Riemann mostró que

${\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}du}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}$

donde el contorno de integración es una línea de pendiente −1 que pasa entre 0 y 1 (Edwards, 1974, 7.9).

La diferencia relativa entre (ln x!) y (x ln x - x) tiende a cero al crecer x.

En matemáticas, la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor al matemático escocés del siglo XVIII James Stirling.

La aproximación se expresa como

${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n\,}$

para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural.

Definición formal[editar]

La fórmula de Stirling está dada por:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}$

que se reescribe frecuentemente como:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

más exactamente la fórmula es como sigue:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }}$

donde el último término del producto(la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

La lista de los numeradores es: 1, -1, 1, -1, 1, -691, 1, -3617, 43867, -174611, ...

La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, ...

Desarrollando este último término también se puede reescribir la fórmula como:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).}$

Una acotación de la fórmula es:

${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 29!=8841761993739701954543616000000}$

${\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29+1}}=1,002869438...}$

${\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29}}=1,002877696...}$

${\displaystyle 29!={\sqrt {2\pi 29}}\;\left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1,002877577...}$

Usos[editar]

La fórmula resulta útil en diversas áreas como la mecánica estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas. Puesto que en la materia ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen en torno a ${\displaystyle N\approx 10^{23}}$ partículas la fórmula de Stirling resulta muy buena aproximación. Además la fórmula aproximante de Stirling es diferenciable lo cual permite el cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.

 fórmula de Tanaka afirma que:

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}$

donde B_t es el movimiento browniano estándar, sgn es la función signo

${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0 .="" annotation="" cases="" end="">$

y L_t es su tiempo local en 0 (el tiempo local empleado por B en 0 antes del tiempo t) dado por el límite L²

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}$

La fórmula de Tanaka es la descomposición Doob–Meyer explícita de la submartingala |B_t| con respecto a la martingala (la integral del lado derecho), y un proceso creciente continuo (tiempo local). También puede considerarse un análogo del lema de Ito para la función de valor no absoluto (irregular) ${\displaystyle f(x)=|x|}$, con ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ y ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$; véase, en tiempo local, una explicación formal del lema de Ito.

Descripción de la prueba[editar]

La función |x| no es una función diferenciable finita (C²) en x cuando x = 0, de manera que no es posible aplicar la fórmula de Ito directamente. Sin embargo, si la hacemos aproximar a cero (es decir, en [−ε, ε]) mediante parábolas

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}}$

y aplicamos la fórmula de Ito, podremos entonces tomar el límite como ε → 0, lo que nos llevará a la fórmula de Tanaka.