TERMODINÁMICA

 hipótesis de termalización del estado propio (o ETH ) es un conjunto de ideas que pretende explicar cuándo y por qué un sistema mecánico cuántico aislado se puede describir con precisión mediante la mecánica estadística de equilibrio . En particular, se dedica a comprender cómo los sistemas que se preparan inicialmente en estados alejados del equilibrio pueden evolucionar en el tiempo a un estado que parece estar en equilibrio térmico . La frase "termalización de estado propio" fue acuñada por primera vez por Mark Srednicki en 1994, ^[1]después de que Josh Deutsch introdujo ideas similares en 1991. ^[2]La filosofía principal que subyace a la hipótesis de termalización del estado propio es que, en lugar de explicar la ergodicidad de un sistema termodinámico a través del mecanismo del caos dinámico , como se hace en la mecánica clásica , se deben examinar las propiedades de elementos matriciales de cantidades observables en estados propios de energíaindividuales. el sistema.

Motivación [ editar ]

En mecánica estadística , el conjunto microcanónico es un conjunto estadístico particular que se utiliza para hacer predicciones sobre los resultados de experimentos realizados en sistemas aislados que se cree que están en equilibrio con una energía exactamente conocida. El conjunto microcanónico se basa en la suposición de que, cuando se prueba un sistema equilibrado de este tipo, la probabilidad de que se encuentre en cualquiera de los estados microscópicos con la misma energía total tiene la misma probabilidad. ^[3] Con este supuesto ^{[nota 1]} , el promedio conjunto de una cantidad observable se encuentra promediando el valor de ese observable$${\ displaystyle A_ {i}} sobre todos los microestados $${\ displaystyle i}con la energía total correcta: ^[3]

$${\ displaystyle {\ bar {A}} _ {\ mathrm {clasico}} = {\ frac {1} {N}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} A_ {i}}

Es importante destacar que esta cantidad es independiente de todo sobre el estado inicial, excepto su energía.

Los supuestos de ergodicidad están bien motivados en la mecánica clásica como resultado del caos dinámico , ya que un sistema caótico en general pasará el mismo tiempo en áreas iguales de su espacio de fases . ^[3] Si preparamos un sistema aislado, caótico y clásico en alguna región de su espacio de fases, entonces, a medida que el sistema pueda evolucionar en el tiempo, tomará muestras de todo su espacio de fases, sujeto solo a un pequeño número de leyes de conservación ( como la conservación de la energía total). Si se puede justificar la afirmación de que un sistema físico dado es ergódico, entonces este mecanismo proporcionará una explicación de por qué la mecánica estadística es exitosa para hacer predicciones precisas. Por ejemplo, el gas de esfera dura.Ha sido rigurosamente probado que es ergódico. ^[3]

Este argumento no puede extenderse directamente a los sistemas cuánticos, incluso a aquellos que son análogos a los sistemas clásicos caóticos, debido a que la evolución temporal de un sistema cuántico no muestrea uniformemente todos los vectores en el espacio de Hilbert con una energía dada. ^{[nota 2]} Dado el estado en el tiempo cero en una base de estados propios de energía

$${\ displaystyle | \ Psi (0) \ rangle = \ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} | E _ {\ alpha} \ rangle,}

El valor esperado de cualquier observable. $${\ displaystyle {\ hat {A}}} es

$${\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle _ {t} \ equiv \ langle \ Psi (t) | {\ hat {A}} | \ Psi (t) \ rangle = \ sum _ {\ alpha , \ beta} c _ {\ alpha} ^ {*} c _ {\ beta} A _ {\ alpha \ beta} e ^ {- i \ left (E _ {\ beta} -E _ {\ alpha} \ right) t / \ hbar}.}

Incluso si el $${\ displaystyle E _ {\ alpha}}son inconmensurables , por lo que este valor de expectativa se otorga para tiempos largos por

$${\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle _ {t} {\ overset {t \ to \ infty} {\ approx}} \ sum _ {\ alpha} \ vert c _ {\ alpha} \ vert ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha},}

el valor de expectativa retiene permanentemente el conocimiento del estado inicial en la forma de los coeficientes $${\ displaystyle c _ {\ alpha}}.

En principio, por lo tanto, es una cuestión abierta si un sistema mecánico cuántico aislado, preparado en un estado inicial arbitrario, se aproximará a un estado que se asemeje al equilibrio térmico, en el cual un puñado de observables son adecuados para hacer predicciones exitosas sobre el sistema. Sin embargo, una variedad de experimentos en gases atómicos fríos han observado la relajación térmica en sistemas que, en una aproximación muy buena, están completamente aislados de su entorno y para una amplia clase de estados iniciales. ^[4] [5] La tarea de explicar esta aplicabilidad observada experimentalmente de la mecánica estadística del equilibrio a sistemas cuánticos aislados es el objetivo principal de la hipótesis de termalización del estado propio.

Declaración [ editar ]

Supongamos que estamos estudiando un sistema de muchos cuerpos aislado, cuántico y mecánico . En este contexto, "aislado" se refiere al hecho de que el sistema no tiene interacciones (o al menos despreciables) con el entorno externo a él. Si el hamiltoniano del sistema se denota$${\ displaystyle {\ hat {H}}}, luego se proporciona un conjunto completo de estados básicos para el sistema en términos de los estados propios del Hamiltoniano,

$${\ displaystyle {\ hat {H}} | E _ {\ alpha} \ rangle = E _ {\ alpha} | E _ {\ alpha} \ rangle,}

dónde $${\ displaystyle | E _ {\ alpha} \ rangle}es el estado propio del hamiltoniano con valor propio $${\ displaystyle E _ {\ alpha}}. Nos referiremos a estos estados simplemente como "estados propios de energía". Para simplificar, supondremos que el sistema no tiene degeneración en sus valores propios de energía y que es de alcance finito, de modo que los valores propios de energía forman un espectro discreto, no degenerado (esto no es una suposición irrazonable, ya que cualquier "El sistema de laboratorio tenderá a tener suficiente desorden e interacciones lo suficientemente fuertes como para eliminar casi toda la degeneración del sistema, y ​​por supuesto será de tamaño finito ^[6] ). Esto nos permite etiquetar los estados propios de energía en orden de aumentar el valor propio de energía. Además, considere algún otro observable mecánico-cuántico$${\ displaystyle {\ hat {A}}}, sobre el que deseamos hacer predicciones termicas. Los elementos de la matriz de este operador, expresados ​​en una base de estados propios de energía, se denotarán por

$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} \ equiv \ langle E _ {\ alpha} | {\ hat {A}} | E _ {\ beta} \ rangle.}

Ahora imaginamos que preparamos nuestro sistema en un estado inicial para el cual el valor esperado de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}está lejos de su valor predicho en un conjunto microcanónico apropiado para la escala de energía en cuestión (suponemos que nuestro estado inicial es una superposición de estados propios de energía que están lo suficientemente "cerca" en energía). La hipótesis de la termalización del estado propio dice que para un estado inicial arbitrario, el valor de expectativa de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}en última instancia, evolucionará en el tiempo hasta su valor predicho por un conjunto microcanónico, y posteriormente mostrará solo pequeñas fluctuaciones alrededor de ese valor, siempre que se cumplan las siguientes dos condiciones: ^[4]

1. Los elementos de la matriz diagonal. $${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}} varían suavemente en función de la energía, con la diferencia entre los valores vecinos, $${\ displaystyle A _ {\ alpha +1, \ alpha +1} -A _ {\ alpha, \ alpha}}, volviéndose exponencialmente pequeño en el tamaño del sistema.
2. Los elementos de la matriz fuera de la diagonal. $${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta}}, con $${\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}, son mucho más pequeños que los elementos de la matriz diagonal y, en particular, son exponencialmente pequeños en el tamaño del sistema.

Estas condiciones se pueden escribir como

$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} \ simeq {\ overline {A}} \ delta _ {\ alpha \ beta} + {\ sqrt {\ frac {\ overline {A ^ {2}}} {\ mathcal { D}}}} R _ {\ alpha \ beta},}

dónde $${\ displaystyle {\ overline {A}}} y $${\ displaystyle {\ overline {A ^ {2}}}} Son funciones suaves de la energía, $${\ displaystyle {\ mathcal {D}} = e ^ {sV}} es la dimensión espacial de muchos cuerpos de Hilbert, y $${\ displaystyle R _ {\ alpha \ beta}}Es una variable aleatoria con media cero y varianza unitaria. A la inversa, si un sistema de muchos cuerpos cuánticos satisface la ETH, se espera que la representación matricial de cualquier operador local en la base de energía propia siga las respuestas anteriores.

Equivalencia de los conjuntos diagonal y microcanónico [ editar ]

Podemos definir un promedio a largo plazo del valor esperado del operador $${\ displaystyle {\ hat {A}}} segun la expresion

$${\ displaystyle {\ overline {A}} \ equiv \ lim _ {\ tau \ to \ infty} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {A}} | \ Psi (t) \ rangle ~ dt.

Si usamos la expresión explícita para la evolución temporal de este valor de expectativa, podemos escribir

$${\ displaystyle {\ overline {A}} = \ lim _ {\ tau \ to \ infty} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \ left [\ sum _ {\ alpha, \ beta = 1} ^ {D} c _ {\ alpha} ^ {*} c _ {\ beta} A _ {\ alpha \ beta} e ^ {- i \ left (E _ {\ beta} -E_ { \ alpha} \ right) t / \ hbar} \ right] ~ dt.}

La integración en esta expresión se puede realizar explícitamente, y el resultado es

$${\ displaystyle {\ overline {A}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha} + i \ hbar \ lim _ { \ tau \ to \ infty} \ left [\ sum _ {\ alpha \ neq \ beta} ^ {D} {\ frac {c _ {\ alpha} ^ {*} c _ {\ beta} A _ {\ alpha \ beta} } {E _ {\ beta} -E _ {\ alpha}}} \ left ({\ frac {e ^ {- i \ left (E _ {\ beta} -E _ {\ alpha} \ right) \ tau / \ hbar} -1} {\ tau}} \ derecha) \ derecha].}

Cada uno de los términos en la segunda suma se reducirá a medida que el límite se lleve al infinito. Suponiendo que la coherencia de fase entre los diferentes términos exponenciales en la segunda suma no se vuelva lo suficientemente grande como para rivalizar con esta caída, la segunda suma irá a cero, y encontramos que el promedio a largo plazo del valor de expectativa viene dado por ^{[ 6]}

$${\ displaystyle {\ overline {A}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha}.}

Esta predicción para el tiempo promedio de lo observable. $${\ displaystyle {\ hat {A}}}se menciona como su valor predicho en el conjunto diagonal , ^[7] El aspecto más importante del conjunto diagonal es que depende explícitamente del estado inicial del sistema, por lo que parece que retiene toda la información relacionada con la preparación de el sistema. En contraste, el valor predicho en el conjunto microcanónico está dado por el promedio igualmente ponderado de todos los estados propios de energía dentro de una ventana de energía centrada alrededor de la energía media del sistema ^[5]

$${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ text {mc}} = {\ frac {1} {\ mathcal {N}}} \ sum _ {\ alpha '= 1} ^ {\ mathcal {N}} A_ {\ alpha '\ alpha'},}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}es el número de estados en la ventana de energía apropiada, y el cebado en los índices de suma indica que la suma está restringida a esta ventana microcanónica apropiada. Esta predicción no hace absolutamente ninguna referencia al estado inicial del sistema, a diferencia del conjunto diagonal. Debido a esto, no está claro por qué el conjunto microcanónico debe proporcionar una descripción tan precisa de los promedios a largo plazo de los observables en una variedad tan amplia de sistemas físicos.

Sin embargo, supongamos que los elementos de la matriz $${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}son efectivamente constantes sobre la ventana de energía relevante, con fluctuaciones que son suficientemente pequeñas. Si esto es cierto, este único valor constante A puede extraerse efectivamente de la suma, y ​​la predicción del conjunto diagonal es simplemente igual a este valor,

$${\ displaystyle {\ overline {A}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} A _ {\ alpha \ alpha} \ approx A \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {D} | c _ {\ alpha} | ^ {2} = A,}

donde hemos asumido que el estado inicial se normaliza adecuadamente. Asimismo, la predicción del conjunto microcanónico se convierte en

$${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ text {mc}} = {\ frac {1} {\ mathcal {N}}} \ sum _ {\ alpha '= 1} ^ {\ mathcal {N}} A_ {\ alpha '\ alpha'} \ approx {\ frac {1} {\ mathcal {N}}} \ sum _ {\ alpha '= 1} ^ {\ mathcal {N}} A = A.}

Los dos conjuntos están por lo tanto de acuerdo.

Esta constancia de los valores de $${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}Sobre las pequeñas ventanas de energía es la idea principal que subyace a la hipótesis de termalización del estado propio. Tenga en cuenta que, en particular, indica que el valor esperado de $${\ displaystyle {\ hat {A}}} en un solo estado propio de energía es igual al valor predicho por un conjunto microcanónico construido en esa escala de energía. Esto constituye una base para la mecánica estadística cuántica que es radicalmente diferente de la construida sobre las nociones de ergodicidad dinámica. ^[1]

Pruebas [ editar ]

Varios estudios numéricos de pequeños sistemas de celosía parecen confirmar tentativamente las predicciones de la hipótesis de termalización del estado propio en sistemas que interactúan y que se espera que se termalicen. ^[5] Del mismo modo, los sistemas que son integrables tienden a no obedecer la hipótesis de termalización del estado propio. ^[5]

También se pueden obtener algunos resultados analíticos si se hacen ciertas suposiciones sobre la naturaleza de los estados propios de energía altamente excitados. El artículo original de 1994 sobre el ETH de Mark Srednicki estudió, en particular, el ejemplo de un gas de esfera dura cuántica en una caja aislada. Este es un sistema que se sabe que exhibe el caos clásico ,. ^[1] Para estados de energía suficientemente alta, la conjetura de Berry dice que las funciones propias de la energía en este sistema de muchos cuerpos de partículas de esfera dura parecerán comportarse como superposiciones de ondas planas , con las ondas planas entrando en la superposición con fases aleatorias y distribuidas en Gauss. amplitudes ^[1](La noción precisa de esta superposición aleatoria se aclara en el documento). Bajo este supuesto, se puede demostrar que, hasta las correcciones que son insignificantes en el límite termodinámico , la función de distribución de momento para cada individuo, partícula distinguible es igual a la distribución de Maxwell-Boltzmann ^[1]

$${\ displaystyle f_ {MB} \ left (\ mathbf {p}, T _ {\ alpha} \ right) = \ left (2 \ pi mkT \ right) ^ {- 3/2} e ^ {- \ mathbf {p } ^ {2} / 2mkT _ {\ alpha}},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {p}}es el momento de la partícula, m es la masa de las partículas, k es la constante de Boltzmann y la " temperatura "$${\ displaystyle T _ {\ alpha}}se relaciona con la energía del estado propio según la ecuación de estado usual para un gas ideal ,

$${\ displaystyle E _ {\ alpha} = {\ frac {3} {2}} NkT _ {\ alpha},}

donde N es el número de partículas en el gas. Este resultado es una manifestación específica de la ETH, ya que da como resultado una predicción del valor de un estado propio observable en una energía que está de acuerdo con la predicción derivada de un conjunto microcanónico (o canónico). Tenga en cuenta que no se ha promediado el promedio de los estados iniciales, ni se ha invocado nada parecido al teorema H. Además, también se pueden obtener las distribuciones apropiadas de Bose-Einstein o Fermi-Dirac , si se imponen las relaciones de conmutación adecuadas para las partículas que forman el gas. ^[1]

Actualmente, no se comprende bien cuán alta debe ser la energía de un estado propio del gas de esfera dura para que obedezca la ETH. ^[1] Un criterio aproximado es que la longitud de onda térmica promedio de cada partícula sea lo suficientemente más pequeña que el radio de las partículas de esfera dura, de modo que el sistema pueda sondear las características que resultan en un caos clásico (a saber, el hecho de que las partículas tengan una tamaño finito ^[1] ). Sin embargo, es concebible que esta condición pueda ser relajada, y quizás en el límite termodinámico , estados propios de energía de energías arbitrariamente bajas satisfarán el ETH (aparte del estado fundamental).en sí, que se requiere para tener ciertas propiedades especiales, por ejemplo, la falta de nodos ^[1] ).

Alternativas [ editar ]

A menudo se proponen tres explicaciones alternativas para la termalización de sistemas cuánticos aislados:

1. Para los estados iniciales de interés físico, los coeficientes $${\ displaystyle c _ {\ alpha}}exhiben grandes fluctuaciones de estado propio a estado propio, de una manera que no está correlacionada completamente con las fluctuaciones de$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}del estado propio al estado propio. Debido a que los coeficientes y los elementos de la matriz no están correlacionados, la suma en el conjunto diagonal está realizando efectivamente un muestreoimparcial de los valores de$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}sobre la ventana de energía apropiada. Para un sistema suficientemente grande, este muestreo imparcial debe dar como resultado un valor cercano a la media verdadera de los valores de$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}sobre esta ventana, y reproducirá efectivamente la predicción del conjunto microcanónico . Sin embargo, este mecanismo puede ser desfavorecido por la siguiente razón heurística. Normalmente, uno está interesado en situaciones físicas en las que el valor de expectativa inicial de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}está lejos de su valor de equilibrio. Para que esto sea cierto, el estado inicial debe contener algún tipo de información específica sobre$${\ displaystyle {\ hat {A}}}y, por lo tanto, se vuelve sospechoso si el estado inicial representa o no una muestra imparcial de los valores de $${\ displaystyle A _ {\ alpha \ alpha}}sobre la ventana de energía apropiada. Además, ya sea que esto fuera verdad o no, todavía no proporciona una respuesta a la pregunta de cuándo los estados iniciales arbitrarios llegarán al equilibrio, si es que alguna vez lo hacen.
2. Para los estados iniciales de interés físico, los coeficientes $${\ displaystyle c _ {\ alpha}}son efectivamente constantes , y no fluctúan en absoluto. En este caso, el conjunto diagonal es exactamente el mismo que el conjunto microcanónico, y no hay ningún misterio en cuanto a por qué sus predicciones son idénticas. Sin embargo, esta explicación está desfavorecida por las mismas razones que la primera.
3. Se ha demostrado que los sistemas cuánticos integrables se termalizan bajo la condición de una simple dependencia de parámetros de tiempo regular, lo que sugiere que la expansión cosmológica del Universo y la integrabilidad de las ecuaciones de movimiento más fundamentales son las responsables finales de la termalización. ^[8]

Fluctuaciones temporales de los valores de expectativa [ editar ]

La condición que impone la ETH sobre los elementos diagonales de un observable es responsable de la igualdad de las predicciones de los conjuntos diagonal y microcanónico. ^[6] Sin embargo, la igualdad de estos promedios a largo plazo no garantiza que las fluctuaciones en el tiempo alrededor de este promedio sean pequeñas. Es decir, la igualdad de los promedios a largo plazo no garantiza que el valor esperado de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}se establecerá en este valor promedio de larga duración y luego permanecerá allí la mayoría de las veces.

Para deducir las condiciones necesarias para que el valor de expectativa del observable muestre pequeñas fluctuaciones temporales alrededor de su promedio de tiempo, estudiamos la amplitud de la media al cuadradode las fluctuaciones temporales, definida como ^[6]

$${\ displaystyle {\ overline {\ left (A_ {t} - {\ overline {A}} \ right) ^ {2}}} \ equiv \ lim _ {\ tau \ to \ infty} {\ frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \ left (A_ {t} - {\ overline {A}} \ right) ^ {2} dt,}

dónde $${\ displaystyle A_ {t}} es una notación abreviada para el valor esperado de $${\ displaystyle {\ hat {A}}}en el momento t. Esta expresión se puede calcular explícitamente, y se encuentra que ^[6]

$${\ displaystyle {\ overline {\ left (A_ {t} - {\ overline {A}} \ right) ^ {2}}} = \ sum _ {\ alpha \ neq \ beta} | c _ {\ alpha} | ^ {2} | c _ {\ beta} | ^ {2} | A _ {\ alpha \ beta} | ^ {2}.}

Las fluctuaciones temporales sobre el promedio a largo plazo serán pequeñas siempre que los elementos fuera de la diagonal satisfagan las condiciones impuestas por el ETH, es decir, que se vuelvan exponencialmente pequeños en el tamaño del sistema. ^[6] [5] Observe que esta condición permite la posibilidad de tiempos de resurgimiento aislados , en los cuales las fases se alinean de manera coherente para producir grandes fluctuaciones lejos del promedio a largo plazo. ^[4] Se garantiza que la cantidad de tiempo que el sistema pasa lejos del promedio a largo plazo es pequeña siempre que la amplitud al cuadrado media anterior sea lo suficientemente pequeña. ^[6] [4]

Las fluctuaciones cuánticas y fluctuaciones térmicas [ editar ]

El valor esperado de un observable mecánico cuántico representa el valor promedio que se mediría después de realizar mediciones repetidas en un conjunto de estados cuánticos preparados de forma idéntica . Por lo tanto, aunque hemos estado examinando este valor de expectativa como el principal objeto de interés, no está claro en qué medida esto representa cantidades físicamente relevantes. Como resultado de las fluctuaciones cuánticas , el valor de expectativa de un observable no suele ser lo que se medirá durante un experimento en un sistema aislado . Sin embargo, se ha demostrado que para un observable que satisface la ETH, las fluctuaciones cuánticasen su valor esperado, normalmente será del mismo orden de magnitud que las fluctuaciones térmicasque se predecirían en un conjunto microcanónico tradicional . ^[6] [5] Esto da mayor credibilidad a la idea de que la ETH es el mecanismo subyacente responsable de la termalización de los sistemas cuánticos aislados.

Validez general [ editar ]

Actualmente, no se conoce ninguna derivación analítica de la hipótesis de termalización del estado propio para sistemas de interacción general. ^[5] Sin embargo, se ha verificado que es cierto para una amplia variedad de sistemas interactivos que utilizan técnicas numéricas de diagonalización exacta , dentro de la incertidumbre de estos métodos. ^[4] [5] También se ha demostrado que es cierto en ciertos casos especiales en el límite semiclásico , donde la validez de la ETH se basa en la validez del teorema de Shnirelman, que establece que en un sistema que es clásicamente caótico, el valor esperado de un operador$${\ displaystyle {\ hat {A}}}en un estado propio de energía es igual a su promedio microcanónico clásico en la energía apropiada. ^[9] Si se puede demostrar o no que es verdad de manera más general en sistemas cuánticos interactivos sigue siendo una pregunta abierta. También se sabe que falla explícitamente en ciertos sistemas integrables , en los que la presencia de un gran número de constantes de movimiento evita la termalización . ^[4]

También es importante tener en cuenta que el ETH hace afirmaciones sobre observables específicos caso por caso; no hace ningún reclamo sobre si todo observable en un sistema obedecerá a ETH. De hecho, esto ciertamente no puede ser verdad. Dada una base de estados propios de energía, siempre se puede construir explícitamente un operador que viola el ETH, simplemente escribiendo el operador como una matriz en esta base cuyos elementos no obedecen explícitamente las condiciones impuestas por el ETH. Por el contrario, siempre es posible encontrar trivialmente operadores, que hacensatisfacer ETH, escribiendo una matriz cuyos elementos se eligen específicamente para obedecer a ETH. A la luz de esto, uno puede ser llevado a creer que la ETH es algo trivial en su utilidad. Sin embargo, la consideración importante a tener en cuenta es que estos operadores así construidos pueden no tener ninguna relevancia física. Si bien se pueden construir estas matrices, no está claro que correspondan a observables que puedan medirse de manera realista en un experimento, o que tengan alguna semejanza con cantidades físicamente interesantes. Un operador hermitiano arbitrario en el espacio de Hilbert del sistema no necesita corresponder a algo que es un observable físicamente medible. ^[10]

Normalmente, se postula que el ETH es válido para "operadores de pocos cuerpos" ^[4] observables que involucran solo un pequeño número de partículas. Ejemplos de esto incluirían la ocupación de un momento dado en un gas de partículas, ^[4] [5] o la ocupación de un sitio particular en un sistema de partículas de celosía . ^[5]Observe que mientras el ETH se aplica típicamente a operadores "simples" de pocos cuerpos como estos, ^[4]estos observables no necesitan ser locales en el espacio ^[5] : el impulso El operador numérico en el ejemplo anterior no representa una cantidad local . ^[5]

También ha habido un interés considerable en el caso en que los sistemas cuánticos aislados, no integrables, no logran termalizarse, a pesar de las predicciones de la mecánica estadística convencional. Los sistemas desordenados que muestran una localización de muchos cuerpos son candidatos para este tipo de comportamiento, con la posibilidad de estados propios de energía excitada cuyas propiedades termodinámicas se parecen más a las de los estados fundamentales. ^[11] [12] Sigue siendo una pregunta abierta si un sistema completamente aislado, no integrable sin desorden estático, puede fallar en termalizarse. Una posibilidad intrigante es la realización de "Líquidos Desenredados Cuánticos". ^[13] También es una pregunta abierta si todosLos estados propios deben obedecer el ETH en un sistema de termalización.