SERIES MATEMÁTICAS

la prueba de Dirichlet es un método de prueba para la convergencia de una serie . Lleva el nombre de su autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y se publicó póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862.

Declaración [ editar ]

La prueba indica que si $${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}Es una secuencia de números realesy$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}una secuencia de números complejos que satisfacen

• $${\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq a_ {n}}

• $${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}

• $${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}por cada entero positivo N

donde M es una constante, entonces la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}

converge

Prueba [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}} y $${\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}.

De la suma por partes , tenemos que$${\ displaystyle S_ {n} = a_ {n + 1} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}.

Ya que $${\ displaystyle B_ {n}}está delimitado por M y$${\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}, el primero de estos términos se acerca a cero, $${\ displaystyle a_ {n + 1} B_ {n} \ a 0} como $${\ displaystyle n \ to \ infty}.

Por otro lado, desde la secuencia. $${\ displaystyle a_ {n}} está disminuyendo, $${\ displaystyle a_ {k} -a_ {k + 1}}no es negativo para todo k , entonces$${\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M (a_ {k} -a_ {k + 1})}. Es decir, la magnitud de la suma parcial de$${\ displaystyle B_ {n}}, multiplicado por un factor, es menor que el límite superior de la suma parcial $${\ displaystyle B_ {n}}(Un valor M ) multiplicado por el mismo factor.

Pero $${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}, que es una suma telescópica que es igual a$${\ displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})} y por lo tanto se acerca $${\ displaystyle Ma_ {1}} como $${\ displaystyle n \ to \ infty}. Así,$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})} converge

En turno, $${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}También converge por la prueba de comparación directa . Las series$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}También converge, por la prueba de convergencia absoluta . Por lo tanto$${\ displaystyle S_ {n}} converge

Aplicaciones [ editar ]

Un caso particular de la prueba de Dirichlet es la prueba de serie alterna más comúnmente utilizada para el caso

$${\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Rightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}

Otro corolario es que $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n} converge cuando $${\ displaystyle \ {a_ {n} \}} Es una secuencia decreciente que tiende a cero.

Además, la prueba de Abel puede considerarse un caso especial de la prueba de Dirichlet.

Integrales impropias [ editar ]

Una declaración análoga para la convergencia de integrales impropias se prueba mediante la integración por partes. Si la integral de una función f está limitada uniformemente en todos los intervalos, y g es una función no negativa decreciente monótonamente, entonces la integral de fg es una integral impropia convergente.

prueba integral de convergencia es un método utilizado para probar series infinitas de términos no negativos de convergencia . Fue desarrollado por Colin Maclaurin y Augustin-Louis Cauchy y, a veces, se le conoce como la prueba de Maclaurin-Cauchy .

La prueba integral aplicada a la serie armónica . Como el área bajo la curva y = 1 / x para x ∈ [1, ∞)es infinita, el área total de los rectángulos también debe ser infinita.

Declaración de la prueba [ editar ]

Considere un entero N y una función no negativa f definida en el intervalo ilimitado [ N , ∞) , en el que se reduce monotono . Entonces la serie infinita

$${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n)}

converge a un número real si y solo si la integral impropia

$${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

es finito En otras palabras, si la integral difiere, entonces la serie también difiere .

Observación [ editar ]

Si la integral incorrecta es finita, entonces la prueba también da los límites inferior y superior

$${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

( 1 )

Para las series infinitas.

Prueba [ editar ]

La prueba utiliza básicamente la prueba de comparación , comparando el término f ( n ) con la integral de f en los intervalos [ n - 1, n ) y [ n , n + 1) , respectivamente.

Como f es una función decreciente monótona, sabemos que

$${\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {para todos}} x \ en [n, \ infty)}

y

$${\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {para todos}} x \ en [N, n].}

Por lo tanto, para cada entero n ≥ N ,

$${\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}

( 2 )

y, para cada entero n ≥ N + 1 ,

$${\ displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}

( 3 )

Al sumar todos los n de N a un entero M más grande , obtenemos de ( 2 )

$${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ sum _ {n = N} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}

y de ( 3 )

$${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ sum _ {n = N + 1} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n-1 } ^ {n} f (x) \, dx} _ {\ geq \, f (n)} = f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}

Combinando estas dos estimaciones de rendimientos.

$${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}

Dejando que M tiende al infinito, los límites en ( 1 ) y el resultado siguen.

Aplicaciones [ editar ]

La serie armónica

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}}

diverge porque, utilizando el logaritmo natural , su antiderivada y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos

$${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {n}} \, dn = \ ln n {\ Bigr |} _ {1} ^ {M} = \ ln M \ to \ infty \ quad {\ text {for}} M \ to \ infty.}

Al contrario, la serie.

$${\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}}}

(cf. función zeta de Riemann ) converge para cada ε > 0 , porque según la regla de potencia

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \, dx = - {\ frac {1} {\ varepsilon x ^ {\ varepsilon} }} {\ biggr |} _ {1} ^ {M} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} {\ Bigl (} 1 - {\ frac {1} {M ^ {\ varepsilon}}} { \ Bigr)} \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} <\ infty \ quad {\ text {para todos}} M \ geq 1.}

De ( 1 ) obtenemos la estimación superior

$${\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \ leq {\ frac {1+ \ varepsilon} {\ varepsilon}},}

que puede compararse con algunos de los valores particulares de la función zeta de Riemann .

Frontera entre la divergencia y convergencia [ editar ]

Los ejemplos anteriores relacionados con la serie de armónicos plantean la cuestión de si existen secuencias monótonas de manera que f ( n ) disminuya a 0 más rápido que 1 / n pero más lento que 1 / n ^1+ ε en el sentido de que

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {1 / n}} = 0 \ quad {\ text {y}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty } {\ frac {f (n)} {1 / n ^ {1+ \ varepsilon}}} = \ infty}

para cada ε > 0 , y si la serie correspondiente de la f ( n ) todavía difiere. Una vez que se encuentra una secuencia de este tipo, se puede hacer una pregunta similar con f ( n ) tomando el rol de 1 / n , y así sucesivamente. De esta manera es posible investigar el límite entre la divergencia y la convergencia de series infinitas.

Usando la prueba integral de convergencia, se puede mostrar (ver más abajo) que, para cada número natural k , la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) \ ln _ {k} (n)}}}

( 4 )

todavía diverge (ver prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge para k = 1 ) pero

$${\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) (\ ln _ {k} (n)) ^ {1+ \ varepsilon}}}}

( 5 )

converge para cada ε > 0 . Aquí ln _k denota la composición de k- veces del logaritmo natural definido recursivamente por

{\ displaystyle \ ln _ {k} (x) = {\ begin {cases} \ ln (x) & {\ text {for}} k = 1, \\\ ln (\ ln _ {k-1} ( x)) & {\ text {for}} k \ geq 2. \ end {cases}}}

Además, N _k denota el número natural más pequeño, de modo que la composición de k- fold está bien definida y ln _k ( N _k ) ≥ 1 , es decir

$${\ displaystyle N_ {k} \ geq \ underbrace {e ^ {e ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {e}}}}} _ {k \ e '{\ text {s}}} = e \ uparrow \ uparrow k}

usando la tetración o la notación de flecha hacia arriba de Knuth .

Para ver la divergencia de la serie ( 4 ) utilizando la prueba integral, tenga en cuenta que al aplicar repetidamente la regla de la cadena

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k + 1} (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln (\ ln _ {k} (x)) = { \ frac {1} {\ ln _ {k} (x)}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}},}

por lo tanto

$${\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}} = \ ln _ {k + 1} (x) {\ bigr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} = \ infty.}

Para ver la convergencia de la serie ( 5 ), tenga en cuenta que según la regla de potencia , la regla de la cadena y el resultado anterior

$${\ displaystyle - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {( \ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}},}

por lo tanto

{\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} {\ biggr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} <\ infty}

y ( 1 ) da límites para las series infinitas en ( 5 ).