ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA - SUPERFICIES

Esfera cornuda de Alexander.

En topología, la esfera consciente de Alexander es una 2-esfera embebida en R³, cuyo exterior no es homeomorfo al exterior de la 2-esfera canónica en R³.

Fue descubierta en 1924 por el matemático estadounidense James Alexander (1888–1971) como un ejemplo patológico que mostraba la imposibilidad de generalizar el Teorema de la curva de Jordan-Schönflies a dimensiones superiores.

Descripción informal[editar]

Descrita de modo informal, se construye, como muestra la figura, sacando dos "cuernos" a una esfera, aproximándolos, dividiendo en dos cada uno de los cuernos anteriores y volviéndolos a aproximar, repitiendo el proceso indefinidamente.

Representa un objeto topológicamente equivalente a la 2-esfera canónica de R³, pero embebido en R³ de forma muy diferente. Si nos fijamos en el exterior de la esfera cornuda de Alexander, encontraremos que la esfera se encuentra anudada. En una esfera canónica siempre podremos liberar una cuerda atada en su exterior, pero en la esfera cornuda de Alexander será imposible liberar una cuerda que tenga que pasar a través de los cuernos entrelazados.

Así, del mismo modo que todos los nudos como espacios topológicos son homeomorfos a una circunferencia, pero nudos no equivalentes pueden tener exteriores no homeomorfos, la esfera canónica de R³ y la esfera cornuda de Alexander son homeomorfas y sus exteriores no.

Un poco de historia[editar]

En 1909 se completó la demostración del Teorema de la curva de Jordan-Schönflies. Como consecuencia directa del mismo, quedaba demostrado que cualquier curva cerrada simple dividía el plano en dos regiones: la interior, homeomorfa al interior del disco unidad, y la exterior, homeomorfa al exterior del mismo disco.

En 1921, J. W. Alexander buscaba un análogo en dimensión superior de este teorema. Cuando creía tener probado este resultado, descubrió un fallo. En 1924 descubrió como contraejemplo la esfera cornuda: su exterior no era homeomorfo al exterior de la esfera canónica.

Un esferoide oblato.

Un esferoide es un elipsoide de revolución, es decir, la superficie que se obtiene al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes principales. Por convenio, el eje de simetría se denomina c y se sitúa en el eje de coordenadas cartesianas z;¹​ el eje perpendicular al de simetría se denomina a.

Si a > c (el eje de simetría es el menor), la superficie se llama esferoide oblato o simplemente esferoide.

Si a < c (el eje de simetría es el mayor), la superficie se llama esferoide prolato u oblongo.

Nota Si a = c (el eje de simetría es igual), la superficie es una esfera; la esfera es un caso especial de esferoide en donde la curva generatriz es una elipse de ejes iguales, es decir, una circunferencia.

Esferoide oblato

Un esferoide oblato es un elipsoide rotacionalmente simétrico en el cual los ejes polares son más pequeños que el diámetro de su círculo ecuatorial, como una lenteja.²​

Varios planetas y otros objetos astronómicos tienen formas de esferoides oblatos, por ejemplo Saturno y Altair, así como en menor grado la misma Tierra (véase Forma de la Tierra).

Esferoide prolato u oblongo

Un esferoide prolato es un esferoide en el cual su eje polar es mayor que su diámetro ecuatorial, como una pelota de rugby.

Ecuación cartesiana[editar]

Un esferoide prolato.

La ecuación de un esferoide, en coordenadas cartesianas, con su centro en el origen de coordenadas, es:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

siendo a y c los semiejes, estando el segmento c en el eje de coordenadas z.

Área[editar]

El área de la superficie de un esferoide puede expresarse de diversas formas:

${\displaystyle S=2\pi a(a+{\frac {b}{e}}{\text{arcsen}}\ e)}$.

siendo e la excentricidad de la elipse: ${\displaystyle e={\sqrt {1-(b^{2}/a^{2})}}.}$

${\displaystyle S=\pi \left[2a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\right]}$

siendo e la excentricidad de la elipse: ${\displaystyle e={\sqrt {1-(b^{2}/a^{2})}}.}$

a y b son los semiejes, estando situado b en el eje de coordenadas z.

Volumen[editar]

El volumen de un esferoide es:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b}$

siendo a y b los semiejes, estando situado b en el eje de coordenadas z.

Usos[editar]

El esferoide prolato es la forma del balón en varios deportes, por ejemplo el rugby, el fútbol australiano o el fútbol americano. En este último se usa un esferoide prolato más puntiagudo.³​

Varias lunas del sistema solar tienen formas aproximadas a las de esferoides prolatos, por ejemplo Mimas, Encélado, y Tetis (todas satélites de Saturno) y Miranda (un satélite de Urano) así como el planeta enanoHaumea.

En análisis complejo, una función meromorfa sobre un subconjunto abierto D del plano complejo es una función que es holomorfa en todo D excepto en un conjunto de puntos aislados, llamados polos de la función. (La terminología viene del Griego clásico “meros”, que significa parte, en contrapunto a “holos”, que significa todo.) Dichas funciones son a veces conocidas como funciones regulares o regulares sobre D.

Toda función meromorfa sobre D puede ser expresada como el cociente entre dos funciones holomorfas (no siendo el denominador la función constante 0) definidas sobre D: los polos de la función meromorfa ocurren en los ceros del denominador.

La función gamma es meromorfa en todo el plano complejo.

Intuitivamente, una función meromorfa es un cociente de dos "buenas" funciones (holomorfas). Dicha función seguirá siendo "buena" excepto en los puntos en el que el denominador se anula, en los cuales el valor tiende a infinito.

Desde un punto de vista algebraico, si D es un espacio conexo, entonces el conjunto de funciones meromorfas es un cuerpo de fracciones del dominio de integridad del conjunto de funciones holomorfas. Esta relación es análoga a la existente entre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, los racionales, y ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, los enteros.

Ejemplos[editar]

• Toda función racional como

f(z) = (z³ − 2z + 1)/(z⁵ + 3z − 1)

es meromorfa en todo el plano complejo.

• Las funciones

f(z) = exp(z)/z and f(z) = sin(z)/(z − 1)²

así como la función gamma y la función zeta de Riemann son meromorfas en todo el plano complejo.

• La función

f(z) = exp(1/z)

está definida en todo el plano complejo exceptuando el origen, z=0. Sin embargo, el punto z=0 no es un polo de la función sino una singularidad esencial. Por tanto, esta función no es meromorfa en todo el plano complejo. Sin embargo, es meromorfa (incluso holomorfa) en C-{0}.

• La función f(z) = ln(z) no es meromorfa en todo el plano complejo, ya que no puede ser definida de forma continua en todo el plano y ni siguiera quitando un conjunto de puntos aislados.

Propiedades[editar]

Como los polos de una función meromorfa son aislados, como mucho puede haber una cantidad numerable de ellos. El conjunto de polos puede ser infinito, como se puede ver en la función

f(z)=1/sin(z).

Mediante la Extensión analítica para eliminar las singularidades evitables, las funciones meromorfas pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas, y el cociente f/g está bien definido a no ser que g(z) = 0 sobre una componente conexa de D. Por lo que, si D es conexo, las funciones meromorfas constituyen un cuerpo, de hecho constituyen una extensión de los complejos.

Funciones meromorfas sobre superficies de Riemann[editar]

En una superficie de Riemann todo punto admite un entorno abierto que es isomorfo a un subconjunto abierto del plano complejo. De este modo la noción de función meromorfa puede ser definida para toda superficie de Riemann.

Cuando el conjunto D es la esfera de Riemann, el cuerpo de funciones meromorfas es simplemente el cuerpo de funciones racionales de una variable sobre el plano complejo, por lo que se puede demostrar que toda función meromorfa sobre la esfera es racional.

Para toda superficie de Riemann, una función meromorfa es lo mismo que una función holomorfa cuyo espacio de llegada es la esfera de Riemann y que no toma el valor ∞ en todo punto. Los polos corresponden a aquellos números complejos cuya imagen es ∞.

En una superficie de Riemann no compacta, toda función meromorfa puede ser expresada como el cociente de dos (globalmente definidas) funciones holomorfas. En cambio, sobre una superficie de Riemann compacta toda función holomorfa es constante, mientras que siempre existen funciones meromorfas no constantes.

Las funciones meromorfas sobre una curva elíptica se les conoce como funciones elípticas.

Diversas variables[editar]

Con múltiples variables complejas, una función meromorfa se define como el cociente local de dos funciones holomorfas. Por ejemplo, f(z₁,z₂)=z₁/z₂ es una función meromorfa sobre el espacio afín complejo de dos dimensiones. En este nuevo contexto, no es cierto que cada función meromorfa puede ser pensada como una función holomorfa con valores dentro de la esfera de Riemann: hay un conjunto de indeterminación de codimensión 2 (en el ejemplo que se ha mostrado, este conjunto consiste en el origen (0,0)). A diferencia de una sola dimensión, en dimensiones más altas existen variedades complejas sobre las cuales no hay ninguna función meromorfa no constante.