genus (plural genera) tiene unos cuantos significados diferentes, pero estrechamente relacionados:
Topología[editar]
Superficie Orientable[editar]
El generador de una superficie orientable conectada es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de las curvas simples no intersectadas cerradas sin hacer que el colector resultante se desconecte.1 Es igual al número de asas o mangos que hay en el objeto (handle decomposition en Inglés). Alternativamente, pueda ser definido en términos de la característica de Euler χ, vía la relación χ = 2 − 2g para superficies cerradas, donde g es el genus. Para superficies con b componentes de frontera, la ecuación toma χ = 2 − 2g − b. En términos sencillos es el número de "agujeros" que un objeto tiene ("agujeros" interpretados en el sentido de agujeros de rosca, una esfera hueca sería considerada como sin agujeros en este sentido). Un donut (dona) o toro, tiene 1 agujero. Una esfera tiene 0 mientras un círculo tiene 1. Notar que esto no se podría trabajar para la 4.ª dimensión y superiores ya que es difícil visualizar un 4.º agujero dimensional.
- La esfera S2 y un disco ambos tienen genus cero.
- Un torus tiene un genus , tal como tiene la superficie de una taza de café con un asa. Esto es la fuente del chiste que "un topólogo es alguien quién no puede contar su donut de su taza de café."
Una construcción explícita de superficies de genus g está dado en el artículo en el polígono fundamental.2
- Genus of orientable surfaces
En términos sencillos, el valor del genus de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene.3
Superficies no-orientables[editar]
El genus no-orientable , semigenus, o Euler genus de un conectado, la superficie no-orientable cerrada es un entero positivo representando el número de tapas transversales que sujetaron a una esfera. Alternativamente, este puede ser definido para una superficie cerrada en términos decaracterística Euler χ, vía la relación χ = 2 − k, donde k es el genus no-orientable .
- Un plano projectivo el avión tiene un genus no-orientable.
- Unabotella de Klein tiene dos genus no-orientables.
Nudo[editar]
El genus de un nudo K está definido como el mínimo genus de todo Seifert superficies para K. Un Seifert superficie de un nudo es aun así un colector con borde, siendo la frontera el nudo , i.e. homeomorfa a la unidad del círculo.4 El genus de tal superficie está definida para ser el genus del duo-colector, el cual está obtenido por unión de la unidad del disco a lo largo del borde.
Cubo con asas[editar]
El genus de un l cubo con asas tri-dimensiona es un entero que representa el número máximo de recortes a lo largo de discos incrustados sin representación el colector resultante desconectado. Es igual al número de asas encima lo.
- Una pelota ha genus cero.
- Un sólido torus D2 × S1 ha genus uno.
Teoría de grafos[editar]
El genus de un graph es el entero mínimo n tal que el graph puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con n mangos (i.e. una superficie orientada de genus n). Así, un planar graph ha genus 0, porque pueda ser dibujado en una esfera sin self-cruzando.
El no-orientable genus de un graph es el entero mínimo n tal que el graph puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con n cruz-gorras (i.e. un no-orientable superficie de (no-orientable) genus n). (Este número es también llamó el demigenus.)
El Euler genus es el entero mínimo n tal que el graph puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con n cruz-gorras o en una esfera con n/2 mangos.5
En la teoría de grafos topológica allí es varias definiciones del genus de un grupo. Arthur T. Blanco introducido el concepto siguiente. El genus de un G de grupo es el mínimo genus de un (conectado, undirected) Cayley graphpara G.
Geometría algebraica[editar]
hay dos relacionó definiciones de genus de cualquier projective esquema algebraico X: la aritmética genus y el geométrico genus.6 Cuándo X es una curva algebraica con campo de definición los números complejos, y si Xtiene no puntos singulares, entonces estas definiciones están de acuerdo y coincidir con la definición topológica aplicó al Riemann superficie de X (su colector de puntos complejos). La definición de elliptic la curva de geometría algebraica está conectada no-singular projective curva de genus 1 con un punto racional dado encima lo.
En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:
Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadas como x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente.
Paraboloide hiperbólico[editar]
Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario:
- .
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por lo que se puede construir a partir de rectas. Por su apariencia, también se lo denomina superficie de silla de montar.
Paraboloide elíptico[editar]
Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo:
Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloide de revolución, que es la superficie resultante de girar una parábola en torno a su eje de simetría. Las antenas parabólicas son paraboloides de revolución, y tienen la propiedad de reflejar los rayos paralelos entrantes hacia su foco, punto donde se ubica el receptor.
Una pompa de jabón o burbuja de jabón es una capa de líquido con dos películas muy finas de jabón y agua que forma una esfera hueca, y exhiben superficies iridiscentes. Normalmente las pompas de jabón o burbujas de jabón duran sólo unos segundos y luego estallan por sí solas o por contacto con otro objeto. A menudo se usan como objeto de juego para los niños, pero su uso en espectáculos artísticos demuestra que también pueden ser fascinantes para los adultos. Las pompas de jabón pueden ayudar a resolver problemas matemáticos complejos sobre el espacio, ya que siempre buscan la menor área de superficie entre puntoso aristas.
Estructura[editar]
La «piel» de la burbuja consiste en una fina capa de agua atrapada entre dos capas de moléculas tensoactivas, a menudo jabón. Estos tensoactivos tienen cabezas hidrófilas y colas hidrófobas. Las cabezas hidrófilas son atraídas por la capa fina de agua y mantienen intacta a la pompa. Cuando se agitan las colas hidrófobas, la pompa estalla.
Física[editar]
Tensión superficial y forma[editar]
Una pompa puede existir porque la capa superficial de un líquido(normalmente agua) tiene cierta tensión superficial, lo que hace que la capa se comporte parecido a una hoja elástica. Sin embargo, una pompa hecha solo con líquido puro no es estable y se necesita un tensoactivodisuelto, como el jabón, para estabilizarla. Una equivocación común es creer que el jabón aumenta la tensión superficial del agua. En realidad, el jabón hace justo lo contrario, disminuyendo la tensión superficial hasta aproximadamente un tercio de la tensión superficial del agua pura. El jabón no refuerza las pompas, sino que las estabiliza mediante el mecanismo llamado efecto Marangoni. Al estirarse la película de jabón, la concentración de jabón disminuye, lo que hace que aumente la tensión superficial. Así, el jabón refuerza selectivamente las partes más débiles de la pompa y evita que se estiren más. Además, el jabón reduce la evaporación haciendo que las pompas duren más, aunque este efecto es relativamente pequeño.
Su forma esférica también está causada por la tensión superficial. La tensión hace que la pompa forme una esfera porque la esfera tiene la menor área superficial para un volumen dado. Esta forma puede distorsionarse visiblemente por las corrientes de aire, y por supuesto por un soplido. Sin embargo, si se deja caer una pompa en aire quieto, permanece casi esférica, más que la típica representación caricaturizada de una gota de lluvia. Cuando un cuerpo en caída ha alcanzado su velocidad terminal, la fuerza de arrastre que actúa sobre él es igual a su peso, y como el peso de una pompa es mucho más pequeño en relación a su tamaño que el de una gota de lluvia, su forma se distorsiona mucho menos. (La tensión superficial que se opone a la distorsión es similar en ambos casos: el jabón reduce la tensión superficial del agua aproximadamente hasta un tercio de la original, pero se dobla efectivamente porque la película tiene una superficie interna y otra externa).
Congelación[editar]
Las pompas de jabón creadas en aire a una temperatura por debajo de -15 °C (5 °F) se congelarán cuando toquen una superficie. El aire del interior se perderá gradualmente por difusión, haciendo que la pompa se arrugue bajo su propio peso.
A temperaturas inferiores, digamos -25 °C (−13 °F), las pompas se congelarán en el aire y se pueden hacer añicos al caer al suelo. Cuando, a una temperatura tan baja, se hace una pompa de jabón con aire caliente de los pulmones, primero la pompa se congela en forma de una esfera casi perfecta, pero cuando el aire caliente se enfría y por tanto pierde volumen, se produce un colapso parcial de la pompa. Una pompa que se sople con éxito a esta temperatura siempre será de pequeño tamaño: se congelará rápidamente y seguir soplando solo hará que se rompa.
Unión[editar]
Cuando dos pompas se unen, se aplican los mismos principios físicos, y las pompas adoptarán la forma con la menor área posible. Su pared común se desplazará e integrará con la pompa de mayor tamaño, ya que las pompas más pequeñas tienen una presión interna mayor. Si las pompas son de igual tamaño, la pared será plana.
Si se encuentran dos o más pompas, se colocan de manera que sólo se tocan tres paredes en una misma línea, separadas por ángulos de 120°. Esta es, de nuevo, la elección más eficiente, y es la razón por la que las celdas de un panal usan ángulos de 120°, formando hexágonos. Sólo cuatro paredes de pompas se pueden encontrar en un mismo punto, en el que las líneas donde se encuentran los tripletes de paredes están separadas por 109,47°.
Interferencia y reflexión[editar]
El color iridiscente de las pompas de jabón son efecto de la interferencia entre las ondas de luz. Cuando la luz incide en la película, parte de ella es reflejada por la parte exterior de la superficie mientras que otra parte entra dentro de la película y resurge tras ser reflejada varias veces por las dos superficies. La reflexión total que se observa está determinada por la interferencia de todas estas reflexiones. Como cada vez que se atraviesa la película se produce un desfase proporcional al grosor de la película e inversamente proporcional a la longitud de onda, el resultado de la interferencia depende de estas dos cantidades. Por tanto, para un grosor dado, la interferencia será constructiva para algunas longitudes de onda y destructiva para otras, de manera que la luzblanca que incide en la película es reflejada con una tonalidad que cambia con el grosor.
Se puede observar un cambio de color cuando la pompa se hace más fina por evaporación. Las paredes más gruesas cancelan longitudes de onda rojas (más largas), causando una reflexión azul-verde. Luego, las paredes más finas cancelan el amarillo (dejando luz azul), luego el verde (dejando magenta) y luego el azul (dejando el amarillo). Finalmente, cuando la pared de la pompa se hace mucho más fina que la longitud de onda de la luz visible, todas las ondas de la región visible se cancelan unas a otras y no se percibe ninguna reflexión. Cuando se observa este estado, la pared es más fina que unos 25 nanómetros, y probablemente está a punto de estallar.
Los efectos de interferencia también dependen del ángulo en el que la luz incide sobre la película, un efecto llamado iridiscencia. Por tanto, aunque la pared de la pompa tuviera un grosor uniforme, se seguirían viendo variaciones de color debido a la curvatura y/o al movimiento. Sin embargo, el grosor de la pared cambia continuamente porque la gravedad atrae al líquido hacia la parte baja, de manera que normalmente también se pueden observar bandas de color que se mueven hacia abajo.
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Propiedades matemáticas[editar]
Las pompas de jabón también son una ilustración física del problema de la superficie mínima, un problema matemático complejo. Por ejemplo, aunque se sabe desde 1884 que una pompa de jabón esférica es la forma de encerrar un cierto volumen de aire con la menor área (un teorema de H. A. Schwarz), se demostró en el año 2000 que dos pompas de jabón unidas proporcionan la manera óptima de encerrar dos ciertos volúmenes de aire con la menor área de superficie. Esto se ha venido a llamar teorema de la pompa doble.
Las películas de jabón buscan minimizar su área de superficie, esto es, minimizar su energía de superficie. La forma óptima para una pompa aislada es una esfera. Los grupos de muchas burbujas en una espuma tienen formas mucho más complicadas. Véase estructura de Weaire-Phelanpara una explicación de esto (llamado problema de Kelvin), y leyes de Plateau para una explicación de la estructura de las películas.
Pompas de colores[editar]
Añadir tintes de colores a las mezclas jabonosas no consigue producir pompas de colores, porque el tinte se enlaza con las moléculas de agua en lugar del tensoactivo. Por tanto, se forma una pompa sin color y el tinte cae hacia la base. El químico de tintes Ram Sabnis ha desarrollado una tinte de lactona que se enlaza con los tensoactivos, permitiendo la formación de pompas de colores brillantes. Un ejemplo de este tinte es la lactona violeta cristal. Dichas mezclas nuevas solo se venden en EE. UU. bajo la marca Zubbles.
Cómo hacer pompas de jabón[editar]
La manera más fácil es usar un fluido jabonoso comercial (vendido como juguete) o simplemente poner en agua algo de líquido lavavajillas. Sin embargo, esto último puede no funcionar como se espera. Hay varios trucos para mejorar la fórmula:
Aditivos[editar]
- Algo que reduzca la tensión superficial del agua, como el jabón líquido o el champú para bebés. Estos funcionarán mejor cuanto más puro sea el jabón (cuanto menos perfume y otros aditivos tenga), o quizás con jabones más caros.
- Algo para espesar el agua. El más utilizado es la glicerina (disponible en farmacias) que también hace que las pompas sean más coloridas. El azúcar, azúcar glasé o el jarabe de maíz tienen efectos similares. Puede ser más cómodo disolver el azúcar en agua caliente. Sin embargo, la mezcla jabonosa puede ser bastante espesa de por sí, así que es importante no añadir demasiada cantidad de estas sustancias espesantes.
- Agua destilada. Como el agua del grifo contiene iones de calcio, y estos se enlazan con el jabón, el agua destilada funciona mejor.
Procedimiento[editar]
- Dejar la mezcla jabonosa en un recipiente abierto durante toda la noche lo hace más espeso. Pero, de nuevo, si la solución se hace demasiado espesa luego será difícil hacer pompas.
- Debe evitarse la formación de burbujas o espuma en la superficie de la mezcla removiendo con suavidad, retirándolas o simplemente esperando a que desaparezcan.
- La facilidad con la que se puedan hacer pompas de jabón depende de un gran número de factores. Cada jabón es distinto, y las condiciones ambientales influyen en la calidad también. Por ejemplo, el aire polvoriento es desfavorable, al igual que el viento. Cuanto más húmedo sea el aire, mejor, lo que significa que es más fácil hacer pompas de jabón en días lluviosos. En conjunto, el mejor procedimiento para hallar la mejor solución es el método del ensayo y error.
Historia de las pompas como juguetes[editar]
Hay pinturas flamencas del siglo XVII que muestran a niños soplando con tubos de arcilla. Esto significa que las pompas de jabón como juguetes tienen al menos 400 años. La empresa londinense A. & F. Pears creó una famosa campaña de publicidad para sus jabones en 1886usando una pintura de Millais en la que un niño juega con pompas. Una empresa de Chicago llamada Chemtoy empezó a vender líquido para pompas en la década de 1940, y desde entonces han cautivado a los niños. De acuerdo con una estimación de la industria, los fabricantes venden unos 200 millones de botes anualmente, quizás más que ningún otro juguete.
Sopladores para pompas[editar]
La manera más fácil es utilizar uno de los sopladores de plástico que se venden con la mayoría de los líquidos de pompas comerciales. Sin embargo, como el diámetro del soplador determina el tamaño de la pompa de jabón, puede ser necesario construir uno.
La mayoría de las estructuras con forma de aro funcionarán. Se puede hacer un soplador doblando un alambre lo bastante grueso como para que se quede rígido. Se puede mejorar envolviendo el alambre con hilo o vendaspara que el agua jabonosa se adhiera mejor al aro.
La compañía Klutz Press popularizó un soplador para «pompas gigantes», inventado por un hombre llamado David Stein, que usaba un aro de tela sujeto a un palo de plástico, con un pasador que permitía abrir o cerrar suavemente el aro. Klutz vende libros sobre pompas que ofrecen tutoriales e ideas divertidas, normalmente junto con un aro para pompas listo para utilizar.
Se pueden hacer pompas con un tubo para pompas, que está hecho de plástico y normalmente tiene la forma de una pipa de fumar y que a veces contiene varias cazoletas. La mezcla jabonosa se vierte dentro de la cazoleta de la pipa; cuando alguien sopla por la boquilla, salen pompas de la cazoleta.
Fórmulas de ejemplo[editar]
- Fórmula de propósito general:
- Otra fórmula de propósito general:
- 100 g de azúcar
- 2 o 3 cucharadas soperas de sal
- 1,4 l de agua (el agua destilada es mejor)
- 150 ml de jabón para vajilla
- 12 ml de glicerina
- Otra fórmula de propósito general más:
- 1 parte de jabón para vajilla
- 2 partes de glicerina
- 3 partes de agua
- Para pompas de larga duración:
- 1/3 de una taza de mezcla comercial para pompas
- 1/3 de una taza de agua
- 1/3 de una taza de glicerina
- Para pompas de jabón sin lágrimas:
- 60 ml de champú para bebés
- 200 ml de agua
- 3 cucharadas soperas de sirope de maíz
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