ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Características[editar]

Para mayor claridad, sea:

${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}}$

donde: ${\displaystyle m$. Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función ${\displaystyle B(x)\,}$ de la forma:

${\displaystyle B(x)=(x+a_{n})(x+a_{n-1})...(x+a_{1})(x+a_{0})\,}$

o

${\displaystyle B(x)=(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})(a_{n-1}x^{2}+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})(a_{0}x^{2}+b_{0}x+c_{0})\,}$

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos[editar]

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos[editar]

Donde ningún par de factores es idéntico.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1},A_{2},...,A_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidos[editar]

Donde los pares de factores son idénticos.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1},A_{2},...,A_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos[editar]

Donde ningún par de factores es igual.

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1}x+B_{1},A_{2}x+B_{2},...,A_{n}x+B_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos[editar]

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1}x+B_{1},A_{2}x+B_{2},...,A_{n}x+B_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Cómputo de las constantes[editar]

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

${\displaystyle A_{k}=\left[{\frac {A(x)}{B(x)}}(x+a_{k})\right]_{x=-a_{k}}}$

en donde ${\displaystyle k=(1,2,...,n)\,}$

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las ${\displaystyle A_{k}\,}$, la resolución del sistema proporciona los valores de los ${\displaystyle A_{k}\,}$.

Ejemplo 1[editar]

Sea ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}}$ Se puede descomponer en ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}}$

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}}$

Simplificando

${\displaystyle x+3=a(x+2)+b(x+1)}$

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-2&\;{\mbox{lo que produce}}\\-2+3&=a(-2+2)+b(-2+1)&\;calculando\\1&=-b&\;{\mbox{ es decir}}\\b&=-1\end{array}}}$

Para el caso de a observamos que ${\displaystyle x=-1}$ nos facilita el proceso

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-1&{}\\-1+3&=a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&=a&{}\\a&=2&{}\end{array}}}$

Siendo el resultado, el siguiente

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}}$

Ejemplo 2[editar]

Sea ${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}}$

Se puede descomponer de esta manera

${\displaystyle {\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}}$

multiplicando por ${\displaystyle (x+1)^{3}}$, tenemos

${\displaystyle {\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}={\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}}$

Simplificando

${\displaystyle x^{2}+3x+1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c}$

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{array}{lrclr}Sea&x&=&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&=&a+b+c&{}\\Sea&x&=&1&{}\\{}&5&=&4a+2b+c&{}\\Sea&x&=&-1&{}\\{}&-1&=&0+0+c&{}\end{array}}}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}}$

Ejemplo 3[editar]

Tenemos ${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}}$ que se puede convertir en ${\displaystyle {\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}}$

Multiplicamos por ${\displaystyle x(x^{2}+1)}$

Tenemos ${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}}$

Simplificando

${\displaystyle 1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x}$

Ahora podemos asignar valores a x

${\displaystyle {\begin{array}{lrcl}Si&x&=&0\\{}&1&=&a\\Si&x&=&1\\{}&1&=&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&=&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&=&b+c\\Si&x&=&-1\\{}&1&=&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&=&b-c\end{array}}}$

Resolviendo el sistema, resulta ${\displaystyle a=1\;b=-1\;c=0}$

Y el problema se resuelve de esta manera

${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}}$

Método de descomposición en fracciones simples

Tratamos de resolver integrales de la forma 

donde y  son polinomios.

Si el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado el polinomio del denominador  , entonces lo primero que habrá que hacer es dividir los polinomios de manera que

 es el cociente de la división y  será el resto. Es evidente que en  se verifica .

Por lo tanto

La primera integral no tiene ninguna dificultad, es la integración de un polinomio, en cuanto a la segunda, veremos a continuación los procedimientos a seguir para resolverla.

Lo que haremos será descomponer el denominador  en fracciones simples de alguno de los tipos anteriores (1,2,3).

En vez de perdernos en desarrollos teóricos pasaremos a estudiar el método a través de la resolución de un ejemplo.

Ejemplo 7.7.: Resolver

En nuestra integral el grado del numerador es 3 y el del denominador es 4, por lo tanto estamos en disposición de descomponer el integrando en fracciones simples.

Aplicando Ruffini obtenemos la descomposición del denominador, que en nuestro caso es

Se observa que hay una raíz doble en  y el polinomio  es irreducible.

La técnica consiste en descomponer el integrando en fracciones tipo 1, 2, ó 3 de acuerdo con las siguientes normas:

1. Por cada raíz simple  del denominador tendremos una fracción simple del tipo 1.

2. Por cada raíz múltiple  de multiplicidad , tendremos una suma de  fracciones de la forma

Observamos que el primer sumando es una fracción del tipo 1 y el resto de fracciones son del tipo 2.

3. Por cada polinomio irreducible de segundo grado de la forma

Tendremos una fracción de la forma

Que es del tipo 3.

Resumiendo, tenemos que descomponer nuestra función integrando en tantas fracciones de los tipos anteriores como sea necesario según las raíces simples, múltiples o polinomios de segundo grado irreducibles como sea necesario según la descomposición del denominador en factores. Posteriormente habrá que determinar las constantes.

En nuestro ejemplo por la raíz doble habrá que poner dos fracciones y otra por el polinomio irreducible, es decir

Nuestro problema será ahora determinar las constantes . Para ello efectuamos la suma de las fracciones reduciendo a común denominador,

Igualando este resultado a nuestra fracción integrando

Tenemos dos fracciones iguales cuyos denominador es el mismo (esto siempre sucede por la descomposición factorial del denominador)y por lo tanto los numeradores deben coincidir.

Igualando numeradores, tenemos

Tenemos dos polinomios iguales, (dos polinomios son iguales si lo son los correspondientes coeficientes) con lo cual en nuestro caso tendremos

Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que siempre va a tener solución como consecuencia de la teoría de la descomposición de una fracción en fracciones simples. (Por supuesto esta descomposición lleva por detrás un amplio desarrollo teórico que nosotros hemos obviado, en aras de la simplicidad).

Otro método para determinar las constantes, consiste en dar como valores a  las propias raíces del denominador, con lo que el primer término de la ecuación

se anularía y el segundo se simplifica. Si solamente, como en nuestro caso, tenemos una raíz real habría que dar tres valores más a  (cualesquiera) para obtener tres ecuaciones más, para completar un sistema de cuatro ecuaciones con las cuatro incógnitas.

Proponemos como ejercicio la resolución del sistema, cuyas soluciones son

Con lo cual nuestra integral se habrá transformado en la suma de tres integrales de los tipos 1, 2, y 3 respectivamente.

Las dos primeras son inmediatas

En cuanto a la tercera tenemos que separarla en dos

En definitiva el resultado final será

4. Algunas integrales particulares (Utilizadas habitualmente después)

1. Algunas integrales trigonométricas

Ambas se resuelven teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas siguientes:

2. Alguna integral irracional

Para resolver estas integrales hacemos el cambio 

Ejemplo 7.8.: Resolver

Hacemos en nuestro caso el cambio  con lo cual  sustituyendo en la integral, tendremos

Deshaciendo el cambio de variables  y sustituyendo en el resultado