ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4. Estas cuatro fracciones son números racionales.

Los números racionales son todos aquellos números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;¹​ es decir, una fracción común ${\displaystyle a/b}$ con numerador ${\displaystyle a}$ y denominador ${\displaystyle b}$ distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjuntode los números racionales se denota por Q (o bien ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), y es un subconjunto de los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimalfinito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.

Un número real que no es racional se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.²​

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Históricamente los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios.

Historia[editar]

Los egipcios calculaban la resolución de problemas prácticos utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son los primeros números racionales utilizados para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.⁴​

Los matemáticos de la antigua Grecia consideraban que dos magnitudes eran conmensurables si era posible encontrar una tercera tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tuvieran una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales.⁵​

Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos números enteros, palabra cuya raíz proviene del latín ratio,⁶​⁷​ y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de la antigua Grecia a estos números.⁸​ La notación ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ empleada para nombrar el conjunto de los números racionales proviene de la palabra italiana quoziente, derivada del trabajo de Giuseppe Peano en 1895.⁹​

Aritmética de los números racionales[editar]

Véase también: Fracción § Aritmética con fracciones

Relaciones de equivalencia y orden[editar]

Inmersión de enteros[editar]

Cualquier entero n se puede expresar como el número racional n/1 debido a eso se escribe frecuentemente ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$(técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros).

Equivalencia[editar]

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ si y solo si ${\displaystyle ad=bc.}$

Orden[editar]

Cuando ambos denominadores son positivos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$ si y solo si ${\displaystyle ad$

Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:

${\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}$

y

${\displaystyle {\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}.}$

Operaciones[editar]

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se les llama operaciones racionales.¹⁰​

Suma[editar]

Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\cfrac {ad}{bd}}+{\cfrac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

para poder sumar números fraccionarios tiene que hacer los siguientes pasos

con igual denominador

1.se suman los numeradores y los denominadores se dejan

EJ:5/7 + 7/7=12/7

con diferente denominador 1.se saca el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego se multiplican incluyendo con el numerador

EJ: 2/3 + 4/12 = 2/3 * 4/4=8/12 4/12 * 1/1=4/12

m.c.m = 12

entonces quedaría 8/12 + 4/12

2.se suman

8/12 + 4/12=12/12

Resta[editar]

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.¹⁰​

${\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)}$.

Multiplicación[editar]

La multiplicación o producto de dos números racionales:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}}$.

División[editar]

Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al producto ${\displaystyle r\times s^{-1}}$. En otra notación,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}$.

Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación s·x=r, s≠0.

Inversos[editar]

Los inversos aditivo y multiplicativo existen en los números racionales:

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{y}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0.}$

Escritura decimal[editar]

Número racional en base decimal[editar]

Véanse también: Representación decimal, Número decimal y Número decimal periódico.

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. De esta manera, el valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {8}{5}}=1,6}$

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\cfrac {1}{7}}&=&0,142857142857\dots \\&=&0,{\overline {142857}}\end{array}}}$

• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\cfrac {1}{60}}&=&0,01666\dots \\&=&0,01{\overline {6}}\end{array}}}$

De la misma manera se aplica la representación de un número racional en un sistema de numeración posicionalen bases distintas de diez.

Número racional en otras bases[editar]

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.

Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma ${\displaystyle 2^{n}\cdot 5^{p}}$ (${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle p}$ enteros), así como en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Construcción formal[editar]

Construcción formal de los números racionales como pares ordenados.

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

${\displaystyle 2,5={\frac {25}{10}}={\frac {10}{4}}={\frac {5}{2}}}$

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.

Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros (a,b), con b≠0, con la siguiente relación de equivalencia:

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim (c,d){\text{ si y solo si }}ad=bc}$,

donde el espacio de equivalencia de clases es el espacio cociente ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})/\sim }$. Las operaciones de suma y multiplicación se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right)+(c,d)&=(ad+bc,bd)\\\left(a,b\right)\times (c,d)&=(ac,bd)\end{aligned}}}$

Se verifica que las dos operaciones definidas son compatibles con la relación de equivalencia, indicando de manera que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ se puede definir como el conjunto cociente ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})/\sim }$, con la relación de equivalencia descrita antes.

Téngase en cuenta que las operaciones definidas no son más que la formalización de las operaciones habituales entre fracciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&={\frac {ad+bc}{bd}}\\{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}&={\frac {ac}{bd}}\end{aligned}}}$

Se denota como [(a,b)] a la clase de equivalencias que corresponde con las distintas representaciones de un mismo número racional ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {ka}{kb}}}$, con k≠0, en forma de fracción. Es decir :

${\displaystyle [(a,b)]=\{\cdots ,(-2a,-2b),(-a,-b),(a,b),(2a,2b),\cdots \}.}$

Se toma como representante canónico el par (a,b) tal que mcd(a,b)= 1. Cualquier otro par se puede usar en el caso de operaciones.¹⁰​ Por ejemplo, ${\displaystyle [(1,2)]=\{(1,2),(2,4)(3,6)...\}}$ es la clase de equivalencia del número racional ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

Con las operaciones anteriores, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es un cuerpo, donde la clase (0,1) desempeña el papel de cero, y la clase (1,1) de uno. El elemento opuesto de la clase (a,b) es la clase (-a,b). Además, si a≠0, la clase (a,b) es distinta de cero, luego (a,b) es invertible (inverso multiplicativo) y su inverso corresponde a la clase (b,a).

También se puede definir una orden total en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de la siguiente manera:

${\displaystyle (a,b)\leq (c,d){\text{ si y solo si }}(bd>0{\text{ y }}ad\leq bc){\text{ ó }}(bd<0 ad="" annotation="" bc="" geq="" text="" y="">$.

El conjunto de los números racionales puede también construirse como el cuerpo de cocientes de los números enteros, esto es,

${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathrm {Frac} (\mathbb {Z} ).}$

Propiedades[editar]

Algebraicas[editar]

El conjunto de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ equipado con las operaciones de suma y producto cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, es decir:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}}$ (conmutativa)

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)+{\frac {e}{f}}={\frac {a}{b}}+\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)}$ (asociativa)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)={\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\times {\frac {e}{f}}}$ (distributiva).¹⁰​

Existen los elementos neutros para la suma y producto. Para la suma, el cero, denotado por 0, ya que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+0={\tfrac {a}{b}}}$ para cualquier ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$. Para el producto es el 1, que puede ser representado por ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}=1}$, con n distinto de 0, ya que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\times 1={\tfrac {a}{b}}}$.

Posee elementos simétricos para las operaciones de suma y producto. Así, el elemento simétrico respecto de la suma para cualquier número racional ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ es ${\displaystyle -{\tfrac {a}{b}}}$, llamado elemento opuesto, puesto que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+(-{\tfrac {a}{b}})=0}$. Lo mismo ocurre en el caso del elemento simétrico respecto del producto, para todo número racional ${\displaystyle q={\tfrac {a}{b}}}$, distinto de 0, existe ${\displaystyle q^{-1}={\tfrac {b}{a}}}$, llamado inverso multiplicativo tal que ${\displaystyle q\times q^{-1}={\tfrac {a}{b}}\times {\tfrac {b}{a}}=1}$.

El conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, con las operaciones de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo, el cuerpo de cocientes de los enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula. Cualquier otro cuerpo de característica nula contiene una copia de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

La clausura algebraica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, es el conjunto de los números algebraicos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: ${\displaystyle q=up_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{n}^{\alpha _{n}}}$ donde ${\displaystyle p_{i}\in \mathbb {N} }$ son números enteros primos, ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {Z} }$ (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y ${\displaystyle u\in \{1,-1\}}$. Por ejemplo ${\displaystyle 260/693=2^{2}3^{-2}5^{1}7^{-1}11^{-1}13^{1}\,}$.

Conjuntistas[editar]

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre ${\displaystyle \mathbb {N} }$ y ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los números reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

Topológicas[editar]

• El conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ forma un subconjunto denso de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$por construcción misma de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (propiedad arquimediana): todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
• Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
• Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.
• Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
• Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.

Número p-ádico[editar]

Artículo principal: Número p-ádico

Sea ${\displaystyle p}$ un número primo y para todo entero no nulo ${\displaystyle a}$, sea ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$ donde ${\displaystyle p^{n}}$ es la mayor potencia de ${\displaystyle p}$ que divide a ${\displaystyle a}$.

Si ${\displaystyle |0|_{p}=0}$ y para cada número racional ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ , ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$ entonces la función multiplicativa ${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$ define una métrica sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

El espacio métrico ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$ no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.

Números Racionales

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Definición de números racionales

Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.

Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:

Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.

A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.

ab+cd=ef

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab+cd=cd+ab

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab+0=ab

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Esta además aplica con la división

ab÷cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab 

 ab÷1=ab

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

57

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:

3=31

Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:

155=3

También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:

−6=−61

0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:

2499