ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

fracción irreducible es una fracción que no se puede simplificar (reducir), es decir, que el numerador y el denominador no comparten factores en común (otro que la unidad). Una fracción está escrita en su mínima expresión (es una fracción irreducible) cuando no existe otra fracción equivalente que se pueda escribir en términos más sencillos. Una fracción que no es irreducible se dice que es reducible, o que no está escrita en su mínima expresión.

Ejemplos de fracciones irreducibles son los siguientes:

${\displaystyle {\cfrac {1}{2}}\;,\quad {\cfrac {3}{5}}\;,\quad {\cfrac {4}{9}}}$

Definición rigurosa[editar]

Una fracción:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

con a y b números enteros, es irreducible si y sólo si no existe otra fracción:

${\displaystyle {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}}$

con c y d números enteros, tal que:

${\displaystyle |c|<|a|\quad {\hbox{o}}\quad |d|<|b|}$

Otra definición es que a/b es una fracción irreducible si y solo si a y b son números primos entre sí. En otras palabras:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\ \ {\frac {a}{b}}\ {\text{es irreducible}}\Longleftrightarrow \operatorname {mcd} (a,b)=1\;}$

Cuando no podemos simplificar más una fracción decimos que es irreducible.

La fracción 6/12 se ha simplificado a 3/6 y esta se ha podido simplificar a su vez a 1/2, pero ya no podemos simplificarla más. La fracción 1/2 es irreducible. 

En general, una fracción no se puede reducir más cuando sus términos no tienen ningún divisor común excepto el 1.

Es bueno seguir un orden lógico para hallar una fracción irreducible:

1. Dividir sus términos (numerador y denominador) por los números primo 2, 3, 5, 7 etc mientras sea posible.
2. Pasar a dividir por el siguiente número primo hasta que no sea posible por más.

Un método mejor es, sin duda, dividir por el mcd de ambos términos. Hallamos así la fracción irreducible.

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En matemáticas, el mediante de dos fracciones

${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ y ${\displaystyle {\frac {b}{d}}}$

(con c > 0, d > 0) es¹​

${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}}$

El numerador y el denominador de la fracción mediante son la suma de los numeradores y los denominadores de las fracciones dadas, respectivamente.

El árbol de Stern-Brocot enumera todos los números racionales positivos, representados por su fracción irreducible, mediante la computación iterativa de la mediante de acuerdo con un algoritmo simple.

 número decimal periódico es un número racional con parte fraccionaria caracterizado por tener un período (cifras que se repiten infinitamente ) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como estas:

${\displaystyle {\cfrac {1}{3}}=0,{\boldsymbol {3}}\,333\dots \;;\quad {\cfrac {1}{7}}=0,{\boldsymbol {142857}}\,142857\dots }$

${\displaystyle {\cfrac {2}{3}}=0,{\overset {\frown }{6}}\;;\quad {\cfrac {12}{11}}=1,{\overset {\frown }{09}}}$=

Tipos de números periódicos[editar]

• Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 0,777\dots =0,{\overset {\frown }{7}}}$
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 1.91222\dots =1.91{\overset {\frown }{2}}}$, en donde 91 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico[editar]

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,3333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,07407407407445...\\{\cfrac {7}{12}}=0,58333333333...\end{array}}}$

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}x&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\9x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\\x&=&{\cfrac {3}{9}}={\cfrac {1}{3}}&{\text{(simplificando)}}\end{array}}}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\;\;\;2,85636363\ldots \\100x&=&285,63636363\ldots \\99x&=&282,78\end{array}}}$

${\displaystyle x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571}{550}}}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

${\displaystyle 5,34\ 34\dots ={\frac {534-5}{99}}={\frac {529}{99}}}$

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

${\displaystyle 12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}}$

Tipo de número periódico resultante[editar]

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}}$

como:

${\displaystyle 20=2\cdot 2\cdot 5}$

será exacta; en efecto

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}}$

como:

${\displaystyle 25=5\cdot 5}$

será exacta; en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}\;{\cfrac {2\cdot 2}{2\cdot 2}}={\cfrac {7\cdot 2\cdot 2}{(5\cdot 2)(5\cdot 2)}}={\cfrac {28}{100}}=0,28}$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {5}{21}}}$

como:

${\displaystyle 21=3\cdot 7}$

será periódica pura; en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {5}{21}}=0,238095\ 238095\ 238095\dots }$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {5}{42}}}$

como:

${\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7}$

será periódica mixta, en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {5}{42}}=0,1\ 190476\ 190476\ 1904767\dots }$

mas no es seguro un resultado próximo.

Números Decimales Exáctos, Periódicos Puros, Periódico Mixto

•  53

Se dice que un número decimal es exacto cuando tiene un número determinado de cifras decimales. También podemos decir que hallaremos una cifra en el cociente que al multiplicar por el divisor obtengamos un cero como resto.
Ejemplo:

Si divides observarás que el cociente es: 0,4375. El resto es cero.

Este número decimal es exacto.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO

Si divides  verás que los restos se repiten y hacen que las cifras del cociente sean iguales y esto se repite indefinidamente.

Si divides  verás que siempre se repiten las mismas cifras.

La cifra o cifras  que se repiten se les llama período o parte periódica y se escribe:

Cuando la parte periódica comienza inmediatamente después de la coma decimal nos referimos a un decimal periódico puro.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

Si divides 

Si divides 

Si divides 

Vemos que en estos tres casos, el período no comienza después de la coma.

Cuando la parte periódica o período no comienza inmediatamente después de la coma, estamos refiriéndonos a un decimal periódico mixto (que tiene mezcla de puro y otro u otros valores).
Podemos decir que los decimales periódicos son de dos clases:
a) Decimales periódicos puros, si la parte periódica o período comienza inmediatamente después de la coma.
b) Decimales periódicos mixtos, si la parte periódica o período no comienza inmediatamente después de la coma.

5.51    Di a qué tipo de número decimal corresponden:

Respuestas: a) Decimal mixto, b) Decimal mixto, c) Decimal puro y d) Decimal exacto.