CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

La Transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolución de Circuito RLC. La ecuación diferencial que esta en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio en campo s, dominio de Laplace. Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, se aplica la Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo.

Las técnicas de Transformada de Laplace son muy útiles para resolver ecuaciones con condiciones iniciales.

Definición[editar]

Para un ${\displaystyle t\geq \;0}$ la Transformada de Laplace se define como:

${\displaystyle L[f(t)]=\int _{0}^{\infty \;}f(t)e^{-st}\,dt=F(s)}$

Función[editar]

Transformaciones[editar]

Aplicando la Transformada de Laplace se puede mostrar la equivalencia de una resistencia una bobina y un condensador en función de sus condiciones iniciales en serie:

Resistencia[editar]

${\displaystyle v(t)=i(t)R\;\Leftrightarrow \;V(s)=I(s)R\;}$

Bobina[editar]

${\displaystyle v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}\Leftrightarrow \;V(s)=sLI(s)-Li(0)}$

${\displaystyle i(0)}$ es la corriente de la bobina en el instante ${\displaystyle t=0^{-}}$

Condensador[editar]

${\displaystyle v(t)={1 \over C}\int i(t)dt\Leftrightarrow \;V(s)={1 \over s\,C}I(s)+{1 \over s}v(0)}$

${\displaystyle v(0)}$ es el voltaje en el condensador en el instante ${\displaystyle t=0^{-}}$

Aplicación[editar]

Para analizar un circuito RLC usando la transformada de Laplace hay dos métodos:

1º Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace y finalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa.

2º Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en él (con atención a las condiciones iniciales).

Si el objetivo es conocer la respuesta en frecuencia no es necesario volver al dominio temporal.

Ejemplo 1[editar]

Hallar ${\displaystyle i(t)\;}$; para ${\displaystyle t\geq \;0}$, siendo ${\displaystyle v(t)=2e^{-}3t,\;R=3,\;L=1,\;C=0.5\;}$cuyas condiciones iniciales son ${\displaystyle i(0)=4A\;y\;V(0)=8V}$

Solución

${\displaystyle I(s)={\frac {{\frac {2}{s+3}}+4-{\frac {8}{s}}}{3+s+{\frac {2}{s}}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2s+4s^{2}+12s-8s-24}{(s^{2}+3s+2)(s+3)}}}$

${\displaystyle I(s)={\frac {4s^{2}+6s-24}{(s+1)(s+2)(s+3)}}}$

Mediante Fracciones Parciales se tiene:

${\displaystyle I(s)={\frac {4s^{2}+6s-24}{(s+1)(s+2)(s+3)}}}$${\displaystyle ={\frac {A}{s+1}}+{\frac {B}{s+2}}+{\frac {C}{s+3}}}$

Desarrollando

${\displaystyle A={\frac {4s^{2}+6s-24}{(s+2)(s+3)}}{\Bigg |}_{s=-1}=-13}$

${\displaystyle B={\frac {4s^{2}+6s-24}{(s+1)(s+3)}}{\Bigg |}_{s=-2}=20}$

${\displaystyle C={\frac {4s^{2}+6s-24}{(s+1)(s+2)}}{\Bigg |}_{s=-3}=-3}$

Entonces

${\displaystyle I(s)={\frac {-13}{s+1}}+{\frac {20}{s+2}}+{\frac {-3}{s+3}}}$

Aplicando la Transformada Inversa de Laplace obtenemos la solución del problema en el dominio del tiempo

${\displaystyle i(t)\;=\;-13e^{-t}+20e^{-2t}-3e^{-3t}}$

Ejemplo 2: reparto de carga entre dos condensadores[editar]

Enunciado: supongamos dos condensadores: C1 y C2 que contienen una carga inicial expresada por los voltajes ${\displaystyle v_{o1}}$ y ${\displaystyle v_{o2}}$. Los condensadores están conectados a través de una resistencia R y un interruptor ideal (sin resistencia y que conmuta instantáneamente). Si el interruptor se cierra en el instante t=0, calcular: la corriente máxima y el voltaje final.

Solución:

${\displaystyle {1 \over sC_{1}}I(s)+{v_{o1} \over s}+I(s)R+{1 \over sC_{2}}I(s)-{v_{o2} \over s}=0}$

Despejando la corriente I(s) resulta:

${\displaystyle I(s)\left(R+{1 \over sC_{1}}+{1 \over sC_{2}}\right)={v_{o2}-v_{o1} \over s}\Rightarrow I(s)={v_{o2}-v_{o1} \over sR+{1 \over C}}}$

Donde ${\displaystyle C={C_{1}C_{2} \over C_{1}+C_{2}}}$, es decir el equivalente serie de los dos condensadores. Note que los condensadores están conectados en serie a través de tierra.

Utilizando una tabla de transformadas inversas se puede volver al dominio del tiempo: ${\displaystyle i(t)={v_{o2}-v_{o1} \over R}e^{-{1 \over RC}t}}$. Ahora ya podemos responder a la primera pregunta: la corriente en el instante t=0 es ${\displaystyle {v_{o2}-v_{o1} \over R}}$, es decir: la diferencia de voltajes iniciales entre la resistencia.

El voltaje final puede calcularse por el principio de conservación de la carga. Sin embargo, aquí lo vamos a obtener utilizando Laplace. Nótese que la corriente final es cero, es decir, después de un cierto tiempo los voltajes v1 y v2 convergen. Así que podemos calcular el voltaje final a través de v1 o v2 indistintamente. La ecuación para ${\displaystyle V_{2}(s)}$ es:

${\displaystyle V_{2}(s)={1 \over sC_{2}}I(s)+{v_{o2} \over s}\Rightarrow V_{2}(s)={1 \over sC_{2}}{v_{o2}-v_{o1} \over sR+{1 \over C}}+{v_{o2} \over s}}$

Para calcular la transformada inversa hace falta descomponer la primera fracción como se explica en el ejemplo 1. Sin embargo no es necesario para calcular el valor final de ${\displaystyle v_{2}}$ puesto que podemos aplicar el teorema del valor final ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v_{2}(t)=\lim _{s\to 0}sV_{2}(s)}$. Al resolver el límite el voltaje final queda:

${\displaystyle v_{2,final}={(v_{o1}-v_{o2})C \over C_{2}}+v_{o2}={v_{o1}C_{1}+v_{o2}C_{2} \over C_{1}+C_{2}}}$

que es el mismo resultado que se obtiene aplicando el principio de conservación de la carga.

 transformada de Mellin es una transformada integral que puede ser considerada como una versión multiplicativa de la transformada bilateral de Laplace. Esta transformada integral está íntimamente relacionada con la teoría de las series de Dirichlet, y es usada habitualmente en teoría de números y la teoría de series asintóticas; también está fuertemente relacionada con la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la teoría de la función gamma, y forma parte de las funciones especiales.

La transformada de Mellin de una función f está definida como:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx.}$

y su transformada inversa:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$

La notación anterior implica que la integral debe calcularse como una integral de línea tomada sobre una línea vertical en el plano complejo. Las condiciones en las cuales es posible esta inversión están recogidas en el teorema de inversión de Mellin.

La transformada es llamada así en honor al matemático finés Hjalmar Mellin.

Relación con otras transformadas[editar]

La transformada de Laplace bilateral puede ser definida en términos de la transformada de Mellin mediante

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

e inversamente, se puede obtener la transformada de Mellin de la transformada bilateral de Laplace por medio de

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$

La transformada de Mellin puede ser pensada como una integración usando un kernel x^s con respecto de la Medida de Haar multiplicativa, ${\displaystyle {\frac {dx}{x}}}$, que es invariante sobre la dilación ${\displaystyle x\mapsto ax}$, tal que ${\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}}$; la transformada bilateral de Laplace se integra con respecto de la medida de Haar aditiva ${\displaystyle dx}$, que es una traslación invariante, así ${\displaystyle d(x+a)=dx}$.

También se puede definir la transformada de Fourier en términos de la transformada de Mellin y viceversa; tomando la transformada bilateral de Laplace, definida arriba, entonces

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is).}$

De la misma manera, se puede hacer el proceso a la inversa y obtener

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is).}$

La tansformada de Mellin también conecta las series de Newton o transformada binomial junto con la función generadora de Poisson, por medio de la Nörlund–Rice integral.

Ejemplos[editar]

Integral de Cahen-Mellin[editar]

Para ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$ e ${\displaystyle y^{-s}}$ sobre la rama principal, se tiene que

${\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}$

donde ${\displaystyle \Gamma (s)}$ es la función gamma. Esta integral es conocida como la integral de Cahen-Mellin.¹​

Teoría de números[editar]

Una aplicación importante en teoría de números incluye la función simple ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1 a="" amp="" x="">1,\end{cases}},}$ para la cual

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)={\frac {1}{s+a}}.}$