CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

Transformación de Radon. Aplicación f en el dominio (x, y) en f en el dominio (α, s)

Transformada de Radon de la función indicatriz de dos cuadrados que se muestra en la imagen a continuación. Las regiones más claras indican valores de la función más altos. El color negro indica valor cero.

La función original es igual a uno en la región blanca y cero en la región oscura.

En matemáticas, la transformada de Radon bidimensional, llamada así por Johann Radon, es una transformación integral que consiste en la integral de una función sobre el conjunto de rectas.

Por ejemplo, si una línea la representamos por ${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =s}$, donde ${\displaystyle s}$ es la mínima distancia desde la recta al origen y ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo que forma el eje ${\displaystyle x}$con el vector posición del punto de la recta más cercano al origen, entonces

${\displaystyle {\mathcal {R}}[f](\theta ,s)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -s)\,dx\,dy.}$

En un espacio ${\displaystyle n}$-dimensional la transformada de Radon es la integral de una función sobre hiperplanos. La integral de una función sobre un conjunto de rectas en un espacio ${\displaystyle n}$-dimensional se le denomina transformada de rayos-X, aunque a veces este término es adoptado por la transformada de Radon.

En el contexto de las tomografías la transformada de Radon se le suele llamar senograma puesto que la transformada de Radon de una función delta tiene como respuesta característica un seno. En consecuencia, la representación gráfica de la transformada de Radon de un conjunto de pequeños objetos parece una colección de senos con diferentes fases y amplitudes.

Esta transformada en su versión bidimensional y tridimensional fue introducida en un artículo en 1917 por Johann Radon, quien, a su vez, generó una formulación para la transformación inversa. Posteriormente, la antitransformada fue generalizada en el contexto de la geometría integral.

La transformada de Radon es útil en los TAC's (tomografía axial computarizada) y en la solución de ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas.

Teorema de las secciones de Fourier[editar]

La transformada de Radon está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Para una función de una variable, se define la transformada de Fourier de la siguiente forma

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{(2\pi )}^{1/2}}}\int f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}$

y para una función de bidimensional de variable ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}$

por conveniencia cambiamos la nomenclatura de la siguiente forma

${\displaystyle \ R_{\theta }[f](s)=R[f](s,\theta )}$

puesto que tomaremos la transformada de Fourier respecto la variable ${\displaystyle s}$ variable. El teorema de las secciones de Fourier se enuncia de la siguiente forma:

${\displaystyle {\widehat {R_{\theta }[f]}}(\sigma )={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\theta ))}$

donde

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta )=(\cos \theta ,\sin \theta )}$

Este resultado da una fórmula explícita para la inversión de la transformada de Radon, y además nos da las condiciones para conocer en qué espacios de funciones la transformada de Radon es invertible. Sin embargo, esta igualdad no es útil desde un punto de vista numérico.

Retroproyección filtrada[editar]

Fantasma de Shepp-Logan; Transformada de Radon; y Transformada de Radon inversa

Existe un algoritmo inverso de la transformada de Radon computacionalmente eficiente para el caso bidimensional llamado retroproyección filtrada. Primeramente consideremos el operador adjunto de ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R^{*}[g](\mathbf {x} )=\int _{\theta =0}^{2\pi }g(\theta ,\mathbf {n} (\theta )\cdot \mathbf {x} )\,d\theta ,}$

Este operador recibe el nombre de 'retroproyector' puesto que coge las proyecciones sobre las rectas y las 'esparce' o retroproyecta para producir una imagen. Se puede observar como este operador no es la transformada inversa de Radon.

Definimos el siguiente filtro rampa ${\displaystyle h}$ de una variable

${\displaystyle {\widehat {H[h]}}(\omega )=|{w}|{\hat {h}}({\omega })}$

si ahora aplicamos el teorema de las secciones de Fourier y cambiamos las variables de integración, observamos que para ${\displaystyle f}$ una función de dos variables, y ${\displaystyle g=R[f]}$

${\displaystyle f={\frac {1}{4\pi }}R^{*}H[g]}$

lo que significa que la imagen original ${\displaystyle f}$ puede ser recuperada del 'sinograma' ${\displaystyle g}$ aplicando un filtro rampa (sobre la variable ${\displaystyle s}$) y entonces retroproyectando. Como que el paso de filtrado puede ser implementado de forma eficiente (mediante técnicas de procesamiento digital de señales) y la retroproyección no es más que una acumulación de valores en los píxeles de la imagen, resulta un algoritmo altamente eficiente, por lo que se trata de un algoritmo ampliamente usado.

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s),}$

donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Forma integral[editar]

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)\,ds,}$

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s).

 transformada Z convierte una señal real o complejadefinida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Definición[editar]

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral[editar]

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

${\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\ }$

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

${\displaystyle z=Ae^{j\omega }}$

donde A es el módulo de z, y ω es el argumento de ese complejo que bien podría representar la frecuencia angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral[editar]

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateralse define como

${\displaystyle X^{+}(z)=Z^{+}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}\ }$

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo ${\displaystyle |z|>R}$ ; es decir que converge "hacia afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

Transformada Z inversa[editar]

La Transformada Z inversa se define

${\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\ }$

donde ${\displaystyle C\ }$ es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, ${\displaystyle C\ }$, debe contener todos los polos de ${\displaystyle X(z)\ }$.

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando ${\displaystyle C\ }$ es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega \ }$

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

Región de convergencia (ROC)[editar]

La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando ${\displaystyle x[n]z^{-n}}$ es absolutamente sumable.

${\displaystyle ROC=\{z:\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}<\infty \}\ }$

Propiedades de la Región de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n].

• La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.

• Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.

• Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el último polo desde x[z].

• Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo más cercano en x[z].

• Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que está restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)[editar]

Sea ${\displaystyle x[n]=0.5^{n}\ }$. Expandiendo ${\displaystyle x[n]\ }$ en ${\displaystyle (-\infty ,\infty )\ }$ obtenemos

${\displaystyle x[n]=\{...,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},...\}=\{...,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},...\}\ }$

Siendo la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}<\infty \ }$

No hay ningún valor de ${\displaystyle z\ }$ que satisfaga esta condición.

Ejemplo 2 (ROC causal)[editar]

La ROC se muestra en azul, el círculo unidad en gris y el círculo ${\displaystyle \left|z\right|=0.5}$ en negro.

Sea ${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }$ (donde ${\displaystyle u}$ es la función escalón). Expandiendo ${\displaystyle x[n]\ }$ en ${\displaystyle (-\infty ,\infty )\ }$ obtenemos

${\displaystyle x[n]=\{...,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},...\}\ }$

Siendo la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}\ }$

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad solo se conserva si ${\displaystyle \left|0.5z^{-1}\right|<1 annotation="">$, lo cual puede ser reescrito para definir ${\displaystyle z\ }$ de modo ${\displaystyle \left|z\right|>0.5\ }$. Por lo tanto, la ROC es ${\displaystyle \left|z\right|>0.5\ }$. En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)[editar]

La ROC se muestra en azul, el círculo unitario en gris y el círculo ${\displaystyle \left|z\right|=0.5}$ en negro.

Sea ${\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }$ (donde ${\displaystyle u}$ es la función escalón). Expandiendo ${\displaystyle x[n]\ }$ entre ${\displaystyle (-\infty ,\infty )\ }$ obtenemos

${\displaystyle x[n]=\{...,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,...\}\ }$

Siendo la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{-n}\ }$

${\displaystyle =-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {z}{z-0.5}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}\ }$

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad solo se mantiene si ${\displaystyle \left|0.5^{-1}z\right|<1 annotation="">$, de modo que podemos definir ${\displaystyle z\ }$ como ${\displaystyle \left|z\right|<0 .5="" annotation="">$. Aquí, la ROC es ${\displaystyle \left|z\right|<0 .5="" annotation="">$, es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Conclusión de los ejemplos[editar]

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada ${\displaystyle X(z)\ }$ de ${\displaystyle x[n]\ }$ es única si y solo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye ${\displaystyle \left|z\right|=\infty \ }$, mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye ${\displaystyle \left|z\right|=0\ }$.

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni ${\displaystyle \left|z\right|=\infty \ }$ ni ${\displaystyle \left|z\right|=0\ }$. La ROC crea una región circular. Por ejemplo, ${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]\ }$ tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será ${\displaystyle 0.5<\left|z\right|<0 .75="" annotation="">$, la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal ${\displaystyle 0.5^{n}u[n]\ }$ y otro anticausal ${\displaystyle -(0.75)^{n}u[-n-1]\ }$.

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. ${\displaystyle \left|z\right|=1\ }$) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque ${\displaystyle \left|z\right|>0.5\ }$ contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un ${\displaystyle x[n]\ }$ ambiguo) podemos determinar una única señal ${\displaystyle x[n]\ }$en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

• Estabilidad
• Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo ${\displaystyle x[n]\ }$ que sea única.

Propiedades[editar]

Propiedades de la Transformada Z

	Dominio del tiempo	Espacio Z	Demostración	ROC
Notación	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		ROC: ${\displaystyle r_{2}<|z|$
Linealidad	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Al menos la intersección de ROC1 y ROC2
Expansión en el tiempo	${\displaystyle x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}}$ r: integral	${\displaystyle X(z^{k})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rk}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{aligned}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{k}}}$
Desplazamiento en el tiempo	${\displaystyle x[n-k]}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0 aligned="" amp="" annotation="" end="" k="" z="">$	ROC, excepto z =0 si k > 0 y z = ∞ si k < 0
Escalamiento en el espacio Z	${\displaystyle a^{n}x[n]\ }$	${\displaystyle X(a^{-1}z)\ }$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{a^{n}x[n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\ }$
Inversión en el tiempo	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\ }$
Conjugación compleja	${\displaystyle x^{*}[n]\ }$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})\ }$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}$	ROC
Parte Real	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$		ROC
Parte Imaginaria	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$		ROC
Diferenciación	${\displaystyle nx[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}$	ROC
Convolución	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Al menos la intersección de ROC1 y ROC2
Correlación cruzada	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}$		Al menos la intersección de ROC de ${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}$ y ${\displaystyle X_{2}(z)}$
Primera diferencia	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)}$		Al menos la intersección de ROC de X1(z) y ${\displaystyle |z|>0}$
Acumulación	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}$
Multiplicación	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}$		-
Relación de Parseval	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Teorema de valor inicial Si x[n] causal

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Teorema de valor final Si los polos de ${\displaystyle (z-1)X(z)}$ están dentro del círculo unitario, entonces

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Tabla con los pares más habituales de la transformada Z[editar]

	Señal, ${\displaystyle x(n)}$	Transformada Z, ${\displaystyle X(z)}$	ROC
1	${\displaystyle \delta (n)\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\mbox{todo }}z\,}$
2	${\displaystyle u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
3	${\displaystyle a^{n}u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
4	${\displaystyle na^{n}u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
5	${\displaystyle -a^{n}u(-n-1)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
6	${\displaystyle -na^{n}u(-n-1)\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
7	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
8	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
9	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
10	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u(n)\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$

Relación con Laplace[editar]

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

${\displaystyle x(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\ }$

donde ${\displaystyle x(t)\ }$ es la señal continua muestreada, ${\displaystyle x[n]=x(nT)\ }$ la n-ésima muestra, ${\displaystyle T\ }$ el período de muestreo, y con la sustitución ${\displaystyle z=e^{sT}\ }$.

Del mismo modo, la TZ unilateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

Relación con Fourier[editar]

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ ${\displaystyle X(z)\ }$ en ${\displaystyle z=e^{j\omega }\ }$ o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes[editar]

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal, basada en la ecuación de la media autorregresiva.

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\ }$

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por ${\displaystyle \alpha _{0}\ }$, si no es cero, normalizando ${\displaystyle \alpha _{0}=1\ }$ la ecuación LCCD puede ser escrita

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}\ }$

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual ${\displaystyle y[{n}]\ }$ se define en función de las salidas anteriores ${\displaystyle y[{n-p}]\ }$, la entrada actual ${\displaystyle x[{n}]\ }$, y las entradas anteriores ${\displaystyle x[{n-q}]\ }$.

Función de transferencia[editar]

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\ }$

y dividiendo

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+...+z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+...+z^{-N}\alpha _{N}}}\ }$

Ceros y polos[editar]

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})...(1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})...(1-p_{N}z^{-1})}}\ }$

donde ${\displaystyle q_{k}\ }$ es el k-ésimo cero y ${\displaystyle p_{k}\ }$ es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistema[editar]

Si por un sistema ${\displaystyle H(z)\ }$ pasa una señal ${\displaystyle X(z)\ }$ entonces la salida será ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)\ }$. Haciendo una descomposición en fracciones simples de ${\displaystyle Y(z)\ }$ y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida ${\displaystyle y[n]\ }$.