MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

identidad de Bézout o Lema de Bézout es un teorema elemental de teorías de números el cual enuncia que si a y b son números enteros diferentes de cero con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e ytales que:

${\displaystyle ax+by=d\,}$.

Dicho de otra manera, para todo a y b, existen un x y un y tales que:

${\displaystyle ax+by=MCD(a,b)\,}$.

Donde d es el máximo común divisor de (a,b).

Más aún, MCD(a,b) es el elemento mínimo positivo del conjunto de combinaciones lineales enteras {ax + by}.

La identidad fue nombrada en honor del matemático francés Étienne Bézout (1730-1783).

Algoritmo[editar]

Los números x e y de la identidad de Bézout pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca, ya que:

${\displaystyle a(x-kb)+b(y+ka)=ax-kba+by+kba=ax+by\,}$.

Para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

${\displaystyle x^{\prime }=x-kb\qquad y^{\prime }=y+ka\,}$,

se tiene que:

${\displaystyle ax^{\prime }+by^{\prime }=ax+by\,}$.

Demostración[editar]

La demostración clásica inicia considerando el conjunto de las combinaciones lineales enteras ax + by de los enteros a, b dados, y elige el mínimo elemento positivo, digamos d, de ese conjunto. Procede entonces a demostrar que ese elemento mínimo es el MCD(a,b). La demostración de esto se basa en el algoritmo de la división: primero se demuestra que d divide a ambos números y, como d es del conjunto S, se llega a que cualquier otro divisor común de a y b tiene que dividir a d; de aquí que d sea el MCD(a,b) .

Sea d el mínimo positivo de S={ax + by|x,y∈Z}. Consideremos ahora la división a/d. Por el algoritmo de la división deben existir q y r enteros, con 0 ≤ r y menor que d, tales que a=qd + r . Es decir, r=a - qd. Pero, como a y d son de S , r es también de S. Y se tiene que concluir que r=0 , pues d es el mínimo positivo. Esto demuestra que d divide a a. De manera similar, d divide a b .

Finalmente, sea d' cualquier otro divisor común de a y b. Debería ser claro que d' divide a cada uno de los elementos de S. En particular divide a d. Por tanto, d'≤d . Es decir, d es el MCD(a,b)=ax0+by0, para algunos enteros x0,y0.

Algoritmo de Euclides[editar]

A este teorema lo podemos asociar con el algoritmo de Euclides, el cual es un procedimiento para poder calcular el m.c.d. de dos números.

Los pasos son:

1. Se divide el número mayor entre el menor.
2. Si:

1. La división es exacta, el divisor es el m.c.d.

2. La división no es exacta: dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD).

Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal.

Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras. Con unas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.

El algoritmo de Euclides extendido permite, además de encontrar un m.c.d. de dos números enteros y expresarlo como la mínima combinación lineal de esos números, es decir, encontrar números enteros. Esto se generaliza también hacia cualquier dominio euclidiano.

Existen varias maneras de explicar el algoritmo de Euclides extendido, una de las más comunes consiste en la siguiente:

Usar el algoritmo tradicional de Euclides. En cada paso, en lugar de "a dividido entre b es q y de resto r" se escribe la ecuación a = bq + r.

Se despeja el resto de cada ecuación, se sustituye el resto de la última ecuación en la penúltima, y la penúltima en la antepenúltima y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación, y en todo paso se expresa cada resto como combinación lineal.

Dados dos números naturales, el dividendo, m, y el divisor, d, (que debe ser mayor que cero), llamamos cociente, q al mayor de los números que multiplicado por el divisor es menor o igual que el dividendo.

Llamamos resto, r, a la diferencia entre el dividendo y el producto del cociente y el divisor.

Ejemplo:

72|16 → 16|8 → m.c.d. (72,16) = 8

8 4 0 2

Ejemplo[editar]

Se puede ilustrar la no unicidad con un ejemplo:

${\displaystyle 12x+42y=6\,}$.

El máximo común divisor de 12 y 42 es 6. Una solución de la expresión anterior es:

12·(-3) + 42·1 = 6

Pero hay otras tales como:

12·4 + 42·(-1) = 6

12·11 + 42·(-3) = 6

12·18 + 42·(-5) = 6

etc.

El conjunto de soluciones se puede expresar como:

x = −3 + 7·k

y = 1 − 2·k

para cualquier valor entero de k.

Ejemplos[editar]

Dados dos números naturales m y n, coprimos entre sí, existen dos números enteros a y b tales que

a • m + b • n = 1

Esta identidad se demuestra fácilmente usando por ejemplo el algoritmo de Euclides: se trata de hacer la división entera de m entre n (supongamos por ejemplo que m>n), e ir repitiendo esta división ahora entre n y el resto obtenido anteriormente, hasta llegar a resto 1. Esto es posible exactamente si los números m y n son coprimos entre sí. Volviendo para atrás los pasos dados obtenemos la identidad de Bezout buscada.

Vamos a hacerlo con un ejemplo concreto:

Tomemos m=30 y n=13. Entonces

30=13•2+4

13=4•3+1

Por lo tanto

1=13 + 4•(-3)=13+ (30+13•(-2))•(-3)=(-3)•30+7•13

Luego los valores de a y b buscados son -3 y 7 respectivamente.

Dados dos números (502,110) hallar el par x,y:

Mediante el Algoritmo de Euclides expresamos la división como una combinación lineal.

502 = 110(4) + 62 → 62 = 502(1) - 110(4) → 62 = (502(1) + 110(-4)

110 = 62(1) + 48 → 48 = 110(1) - 62(1) → 48 = 110(1) + 62(-1)

62 = 48(1) + 14 → 14 = 62(1) - 48(1) → 14 = 62(1) + 48(-1)

48 = 14(3) + 6 → 6 = 48(1) - 14(3) → 6 = 48(1) + 14(-3)

14 = 6(2) + 2 → 2 = 14(1) - 6(2) → 2 = 14(1) + 6(-2)

Generalizaciones[editar]

La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si ${\displaystyle R}$ es un DIP, y ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son elementos de ${\displaystyle R}$, y ${\displaystyle d}$ es el máximo común divisor de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ entonces existen ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ elementos de ${\displaystyle R}$ tales que ${\displaystyle ax+by=d\,}$.

 identidad de Brahmagupta enuncia que el producto de dos números, cada uno de los cuales es la suma de dos cuadrados, también es la suma de dos cuadrados. Específicamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}}$

La identidad es cierta en cualquier anillo conmutativo, pero tiene su mayor utilidad en el anillo de los enteros.

La identidad fue nombrada en honor del matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-668).

Véase también la identidad de los cuatro cuadrados de Euler. Existe una identidad similar de ocho cuadrados que se deriva de los octoniones, pero no es especialmente interesante para los enteros porque todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados.

identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

donde:

• π (número pi) es un número irracional y trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física. ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$
• e (número de Euler) es la suma de la serie ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$, que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendente.
• i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cual se construye el conjunto de los números complejos.
• 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación.

Explicación[editar]

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x\,\!}$

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

${\displaystyle x=\pi \,\!}$

entonces

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\operatorname {sen} \pi \,\!}$

y ya que

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$

y que

${\displaystyle \operatorname {sen} \pi =0\,\!}$

se sigue que

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$

Lo cual implica la identidad

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$

---

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

${\displaystyle x=i\pi ,\,\!}$

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...,\,\!}$

para obtener:

${\displaystyle e^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+...,\,\!}$

simplificando (usando i² = -1):

${\displaystyle e^{i\pi }=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {i\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+...,\,\!}$

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

${\displaystyle i(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}-{\frac {\pi ^{7}}{7!}}+...)=0\quad ;\quad (1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-{\frac {\pi ^{6}}{6!}}+...)=-1\!}$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$

Logaritmos de números negativos[editar]

El logaritmo natural de un número complejo z = a+bi (donde a y b son números reales) se define como:

${\displaystyle \ln(z)=\ln |z|+i\arg(z)}$

Donde ${\displaystyle \arg(z)=\arg(a+bi)}$ es:

${\displaystyle \arg(a+bi)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)&\qquad a>0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi &\qquad a<0 0="" a="0,b" amp="" arctan="" b="" frac="" geq="" left="" pi="" qquad="" right="">0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b<0 a="0,b=0\end{cases}}}</annotation" amp="" indeterminado="" qquad="" text="">$

Notar que con esta definición, arg(z) está en el intervalo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ (el argumento en este intervalo es conocido como el "valor principal del argumento" o simplemente "argumento principal"). Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en [0, 2π), etc.

Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" :

${\displaystyle \log _{b}(z)={\frac {\ln(z)}{\ln(b)}}}$

Por ejemplo :

${\displaystyle \ln(-1)=\ln |-1|+i\arg(-1)=\ln(1)+i\pi =i\pi }$

Y también se cumple:

${\displaystyle \ln(-x)=\ln(x)+\ln(-1)=\ln(x)+i\pi ,x>0}$.

Lo anterior se puede deducir de la definición. También se puede obtener ${\displaystyle i\pi =\ln(-1)}$ a partir de la identidad de Euler, pero no es la razón de la deducción de ln(-1). Este detalle se explicará a continuación.

Se sabe que ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$, pero también es cierto que ${\displaystyle e^{-i\pi }=-1}$ o ${\displaystyle e^{3i\pi }=-1}$. De hecho en general:

${\displaystyle e^{i\pi (2k+1)}=-1,k\in \mathbb {Z} }$

El error que se puede cometer aquí, es que si ${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$, entonces a = b. Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple. Por ende si bien ${\displaystyle e^{i\pi }=e^{-i\pi }=-1}$, no es cierto que ${\displaystyle i\pi =-i\pi }$. De esta forma, se puede ver que:

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi \neq -i\pi =-\ln(-1)}$.

Antes se mencionó que si se puede obtener ${\displaystyle i\pi =\ln(-1)}$ con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si ${\displaystyle e^{a}=b}$ entonces a = ln(b).

Otro error es lo siguiente:

${\displaystyle \ln(-1)=\ln(-1/1)=\ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)=-i\pi }$.

El error aquí ocurre en ${\displaystyle \ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)}$. Esto último no es correcto y el motivo es que

${\displaystyle \ln(1/-1)=\ln(1*(-1)^{-1})=\ln(1)+\ln((-1)^{-1})\neq \ln(1)+(-1)\ln(-1)=-i\pi }$.

Porque ${\displaystyle \ln(a^{b})=b\ln(a)}$ solo se cumple de manera general si a es positivo. Por un lado ${\displaystyle \ln((-e)^{2})=\ln((e)^{2})=2}$, pero ${\displaystyle 2\ln(-e)}$ no es real, puesto que ln(-e) no es un número real.

Identidad Aumentada[editar]

El número áureo (también llamado número de oro​) es un número irracional,​ representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de sus propiedades es:

${\displaystyle \varphi -1=1/\varphi }$

Por tanto: ${\displaystyle \varphi -1/\varphi =1}$

Reemplazando '1' en la identidad de Euler, ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$, se tiene:

${\displaystyle e^{i\pi }+({\displaystyle \varphi -1/\varphi })=0}$

Por tanto:

${\displaystyle e^{i\pi }+{\displaystyle \varphi -1/\varphi }=0}$

${\displaystyle {\frac {\varphi \cdot e^{i\pi }+\varphi ^{2}-1}{\varphi }}=0}$

${\displaystyle \varphi \cdot e^{i\pi }+\varphi ^{2}-1=0}$

Ordenando los términos de la ecuación queda:

${\displaystyle \varphi ^{2}+\varphi \cdot e^{i\pi }-1=0}$

De esta manera se relacionan siete números muy utilizados, cinco operaciones de las matemáticas y la ecuación cuadrática.