MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

identidad de Jacobi es la propiedad que una operación binaria puede satisfacer en términos con el orden de evaluación para la operación dada. A diferencia de las operaciones asociativas, el comportamiento en el orden de evaluación es importante para las operaciones que satisfacen la identidad de Jacobi.

La identidad fue llamada en honor al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).

Definición[editar]

Si se define el conmutador de dos operadores A y B como:

${\displaystyle \left[A,B\right]=AB-BA}$,

la identidad de Jacobi es el nombre para la ecuación siguiente, nombrada en honor de Carl Gustav Jakob Jacobi:

${\displaystyle \left[X,\,[Y,Z]\,\right]+\left[Y,\,[Z,X]\,\right]+\left[Z,\,[X,Y]\,\right]=0;\,{\text{para todo}}\,\,X,Y,Z}$.

Las álgebras de Lie son el ejemplo primario de un álgebra que satisface la identidad de Jacobi. Pero observe que un álgebra puede satisfacer la identidad de Jacobi y no por ello ser anticonmutativa.

En su forma más sencilla, se puede expresar por la igualdad vectorial : ${\displaystyle a\times (b\times c)+c\times (a\times b)+b\times (c\times a)=0}$.

identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:

Para cualesquiera números ${\displaystyle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}}$ se cumple: ${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}$

La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.

Si ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ son números (reales o complejos) entonces ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}+\sum _{1\leq i$

En anillos conmutativos[editar]

La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no sólo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.

mostrarPrueba mediante desarrollo algebraico

Interpretación vectorial[editar]

Si consideramos los números ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ como componentes de vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$,

entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto punto, pues

${\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert =\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right),\qquad \Vert \mathbf {b} \Vert =\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)}$

y

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$

de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:

Si ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ son dos vectores de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces ${\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+\sum _{1\leq i$

Sin embargo, cuando ${\displaystyle n=3}$, la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto cruz de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:

Si ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$ son dos vectores de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, entonces ${\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}}$  Identidad de Euler es una igualdad algebraica entre polinomios, para todos los valores de las ocho variables que recorren su campo de definición polinomial. Construida por Leonhard Euler: ${\displaystyle {\begin{matrix}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})=\\(-aw+bx+cy+dz)^{2}+(ax+bw+cz-dy)^{2}+\\(ay-bz+cw+dx)^{2}+(az+by-cx+dw)^{2}\end{matrix}}}$ Euler comunicó este resultado a Goldbach en una carta fechada el 12 de abril de 1749. La identidad no sólo es válida para números reales, sino para cualquier anillo conmutativo (como en los números enteros, racionales, reales o complejos). En particular, de la identidad se puede concluir que cualquier número entero positivo se puede escribir como suma de a lo más cuatro cuadrados si y sólo si cada primo puede ser escrito de esa forma. Este último resultado se atribuye a Lagrange. identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita ${\displaystyle q}$, entonces ${\displaystyle \|x\|^{2}=(x,x)=\sum _{i=1}^{q}\left|(v_{i},x)\right|^{2}}$ El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial. La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer. Demostración[editar] Sea ${\displaystyle B=\{v_{1};v_{2};...;v_{q}\}}$ una base ortogonal de un espacio producto interno ${\displaystyle \mathrm {V_{\mathbb {K} }} }$ de cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, ${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {K} =\mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} {\bigr )}}$ Se demuestra que ${\displaystyle \forall x\in \mathrm {V_{\mathbb {K} }} }$: ${\displaystyle x\doteq \sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}v_{i}}$ entonces ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {(v_{i},x)}{||v_{i}||^{2}}}}$ , con ${\displaystyle i=1,2,...,q}$ donde ${\displaystyle \alpha _{i}}$ son las coordenadas en base ${\displaystyle B}$ del vector ${\displaystyle x}$. Entonces ${\displaystyle x\doteq \sum _{i=1}^{q}{\frac {(v_{i},x)}{||v_{i}||^{2}}}v_{i}}$ Si la base ${\displaystyle B}$ es ortonormal, ${\displaystyle ||v_{i}||=1}$, entonces resulta: ${\displaystyle x\doteq \sum _{i=1}^{q}{(v_{i},x)}{}v_{i}}$ Para este caso, puede calcularse: ${\displaystyle ||x||^{2}=(x,x)={\Bigl (}\sum _{i=1}^{q}(v_{i},x)v_{i},\sum _{i=1}^{q}(v_{i},x)v_{i}{\Bigr )}={\Bigl (}(v_{1},x)v_{1},(v_{1},x)v_{1}{\Bigr )}+{\Bigl (}(v_{2},x)v_{2},(v_{2},x)v_{2}{\Bigr )}+...+{\Bigl (}(v_{q},x)v_{q},(v_{q},x)v_{q}{\Bigr )}}$ Por dos de los axiomas del producto interno, ${\displaystyle (x,zy)={\bar {z}}(x,y)}$, con ${\displaystyle z\in \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle (x,y)={\overline {(y,x)}}}$ resulta ${\displaystyle (z'x,zy)={\overline {z'{\bar {z}}(y,x)}}=z{\bar {z'}}{\overline {(y,x)}}}$ con ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle z'\in \mathbb {K} }$ , entonces: ${\displaystyle ||x||^{2}={\Bigl (}{\overline {(v_{1},x)}}(v_{1},x)(v_{1},v_{1}){\Bigr )}+{\Bigl (}{\overline {(v_{2},x)}}(v_{2},x)(v_{2},v_{2}){\Bigr )}+...+{\Bigl (}{\overline {(v_{q},x)}}(v_{q},x)(v_{q},v_{q}){\Bigr )}}$ Como ${\displaystyle (v_{i},v_{i})=||v_{i}||^{2}}$, y la base ${\displaystyle B}$ es ortonormal ${\displaystyle \Rightarrow ||v_{i}||=1}$. Además, usando la propiedad de los número complejos, ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}}$, con ${\displaystyle z\in \mathbb {K} }$ Entonces: ${\displaystyle ||x||^{2}=|(v_{1},x)|^{2}+|(v_{2},x)|^{2}+...+|(v_{q},x)|^{2}}$ quedando entonces la expresión ${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{q}\left|(v_{i},x)\right|^{2}}$ Relación con series de Fourier[editar] Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real. Forma compleja (o exponencial): ${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$ Forma real (o trigonométrica): ${\displaystyle {\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}$ Siendo  el periodo y , ,  los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que  , en otro caso el coeficiente de  será diferente). la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 (Savchev y Andreescu, 2002, p. 66). Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos, 1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N, y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente): ${\displaystyle A_{1}$ Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente): ${\displaystyle B_{1}>B_{2}>\cdots >B_{N}.}$ Entonces la suma ${\displaystyle |A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+\cdots +|A_{N}-B_{N}|}$ es siempre igual a N2. Ejemplo[editar] Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son: A1 = 2, A2 = 3, y A3 = 5; B1 = 6, B2 = 4, y B3 = 1. La suma es ${\displaystyle |A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+|A_{3}-B_{3}|=|2-6|+|3-4|+|5-1|=4+1+4=9,}$ la cual indica que es igual a 32.