FÍSICA - ESTUDIOS Y EJEMPLOS

Movimiento de caída de los cuerpos

En este programa se van a estudiar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la aceleración de la gravedad.
Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los cursos de Física, desde los más elementales, persisten algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la posición del móvil con espacio recorrido.
Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento rectilíneo, y que para describir un movimiento se han de seguir los siguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual tiene lugar el movimiento
2. El valor y signo de la aceleración
3. El valor y el signo de la velocidad inicial
4. La posición inicial del móvil
5. Escribir las ecuaciones del movimiento
6. A partir de los datos, despejar las incógnitas

Descripción

Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0 con velocidad v0, determinar las ecuaciones del movimiento, la altura máxima y el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen.En primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el eje X. Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la velocidad inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura. Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento.

Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se sustituye en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el suelo.

El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0, resolviendo una ecuación de segundo grado.

Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen. Si colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x₀ es cero, pero el suelo se encuentra en la posición -x₀ respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora desde el techo del edificio, no desde el origen.

	Signo de la aceleración:Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=-g,  g=9.8 ó 10 m/s2
	Signo de la velocidad inicial:Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es inicialmente lanzado hacia arriba el signo de la velocidad inicial es positivo, en caso de ser lanzado hacia abajo el signo es negativo
	Situación del origen:Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el que es lanzado el móvil en el instante inicial. Esto no tiene que ser siempre así, si un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio podemos situar el origen en el suelo, la posición inicial del móvil correspondería a la altura del edificio h. Si situamos el origen en el techo del edificio y lanzamos el móvil desde el suelo, la posición inicial sería -h.

Actividades

Vamos a practicar el movimiento de la caída de los cuerpos mediante un programa interactivo
Se proponen ahora un conjunto de ejercicios sencillos para practicar con el programa interactivo, se pueden resolver primero numéricamente y después comprobar su respuesta en dicho programa.

1.-Se deja caer un objeto desde un edificio de 300 m de altura, calcular la velocidad y el tiempo que tarda en llegar al suelo.
2.-Se lanza un objeto, situado inicialmente en el origen, hacia arriba con una velocidad de 60 m/s, calcular la máxima altura que alcanza.
3.-Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s, desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Calcúlese la máxima altura sobre el suelo y la velocidad con que retorna al mismo.
4.-Se lanza un objeto hacia abajo, con velocidad inicial de 10 m/s, desde una altura de 300 m. Calcular la velocidad con que llega al suelo.

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Se introduce en los controles de edición

• la posición inicial x₀
• la velocidad inicial v₀

Se pulsa el botón titulado Empieza para iniciar el movimiento, y se observa el movimiento de la partícula en la parte izquierda, y la representación de su posición en función del tiempo en la parte derecha.
Se puede detener el movimiento en cualquier momento, pulsando en el botón titulado Pausa, o se puede observar el movimiento paso a paso, pulsando en el botón tituladoPaso. Para restablecer el movimiento se pulsa en el botón titulado Continua que es el mismo que el botón Pausa.

Regresión lineal

• Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo
• Para calcular la constante elástica de un muelle, colocando pesas en un platillo que cuelga de su extremo libre y midiendo la deformación del muelle
• etc.

El programa interactivo al final de esta página, está diseñado para que sea usado, en el Laboratorio de Física para cualquier experiencia que lo requiera. Nos proporciona los valores de:

• La pendiente a de la recta de regresión y el error cometido Da
• La ordenada en el origen b
• El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos experimentales a la recta

Descripción

Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas, esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea lineal x=x₀+vt. Donde x₀ es la posición del móvil en el instante t=0.

Si medimos las posiciones del móvil x₁ y x₂ en los instantes t₁ y t₂, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x₀ y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.
Si efectuamos n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura más abajo, los puntos de color azul representan los datos experimentales. La relación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.
Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un importante error. Para una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas, se deberán utilizar las n medidas tomadas.
Supongamos una magnitud física y, relacionada con otra x, mediante la función y=ax+b. Una recta de pendiente a cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones e de los valores de y, véase la figura, serán

• e₁=y₁-(ax₁+b)
• e₂=y₂-(ax₂+b)
• ...................
• e_i=y_i-(ax_i+b)
• ...................
• e_n=y_n-(ax_n+b)

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones
E(a,b)=(y₁-ax₁-b)²+(y₂-ax₂-b)²+...(y_i-ax_i-b)²+...+(y_n-ax_n-b)²

Los valores que minimizan a E(a,b) son aquellos para los que

Se obtiene así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es
 
Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a, Da y el error de b,  Db

 
La pendiente de la recta se escribirá a±Da, y la ordenada en el origen b±Db. Véase las reglas para expresar una medida y su error de una magnitud.
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.

• Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa.
• Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa
• Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los valores X e Y

Ejemplo
Un vehículo que se mueve supuestamente con velocidad constante. Los datos de las medidas del tiempo en cuatro posiciones separadas 900 m  son las siguientes

Tiempo t (s)	Posición x (m)
17.6	0
40.4	900
67.7	1800
90.1	2700

Ajustar los datos a la línea recta
x=x₀+vt
y estimar el mejor valor de la velocidad v aplicando el procedimiento de mínimos cuadrados
Introduciendo los datos en el programa interactivo, la pendiente es a=36.71 y el error de la pendiente Da=1.001. La velocidad se escribe (véase la página Errores en las medidas)
v=37±1 m/s