Matemáticas - Polinomios

polinomios de Chebyshev, nombrados en honor a Pafnuti Chebyshev,¹ son una familia de polinomios ortogonales que están relacionados con la fórmula de De Moivre y son definidos de forma recursiva con facilidad, tal como ocurre con los números de Fibonacci o los números de Lucas. Usualmente se hace una distinción entre polinomios de Chebyshev de primer tipo que son denotados T_n y polinomios de Chebyshov de segundo tipo, denotados U_n. La letra T es usada por la transliteración alternativa del nombre Chebyshov como Tchebychef o Tschebyscheff.

Los polinomios de Chebyshov T_n o U_n son polinomios de grado n y la sucesión de polinomios de Chebyshov de cualquier tipo conforma una familia de polinomios.

Los polinomios de Chebyshov son importantes en la teoría de la aproximación porque las raíces de los polinomios de Chebyshov de primer tipo, también llamadas nodos de Chebyshov, son usadas como nodos en interpolación polinómica. El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y entrega una aproximación cercana del polinomio a la mejor aproximación a una función continua bajo la norma maximal. Esta aproximación conduce directamente al método de la cuadratura de Clenshaw-Curtis.

En el estudio de ecuaciones diferenciales surgen como la solución a las ecuaciones diferenciales de Chebyshov

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}$

y

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}$

para polinomios del primer y segundo tipo, respectivamente. Estas ecuaciones son casos particulares de la ecuación diferencial de Sturm-Liouville.

Definición

polinomios de Chebyshov de primer tipo T_n

Los polinomios de Chebyshov de primer tipo son definidos mediante la relación de recurrencia

${\displaystyle T_{0}(x)=1\,\!}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x\,\!}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,\!}$

Un ejemplo de función generatriz para T_n es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

polinomios de Chebyshov de segundo tipo U_n

Los polinomios de Chebyshov de segundo tipo son definidos mediante la relación de recurrencia

${\displaystyle U_{0}(x)=1\,\!}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x\,\!}$

${\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,\!}$

Un ejemplo de función generatriz para U_n es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

Definición trigonométrica

Los polinomios de Chebyshov de primer tipo pueden ser definidos por la identidad trigonométrica:

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}$

de donde:

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,\!}$

para n = 0, 1, 2, 3,..., mientras que los polinomios de segundo tipo satisfacen:

${\displaystyle U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}\,\!}$

que es estructuralmente similar al núcleo de Dirichlet.

Ese cos(nx) es un polinomio de grado n-ésimo en cos(x) que puede obtenerse observando que cos(nx) es la parte real de un lado de la fórmula de De Moivre, y que la parte real del otro lado es un polinomio en cos(x) y sin(x), en el que todas las potencias de sin(x) son pares, luego reemplazables vía la identidad cos²(x) + sin²(x) = 1.

Esta identidad es muy útil en conjunto con la fórmula generatriz recursiva, permitiendo calcular el coseno de cualquier integral múltiple de un ángulo únicamente en términos del coseno del ángulo basal. Evaluando los dos primeros polinomios de Chebyshov:

${\displaystyle T_{0}(x)=\cos \ 0x\ =1\,\!}$

y:

${\displaystyle T_{1}(\cos(x))=\cos \ (x)\,\!}$

uno puede directamente determinar que:

${\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos \theta \cos \theta -\cos(0\theta )=2\cos ^{2}\,\theta -1\,\!}$

${\displaystyle \cos(3\theta )=2\cos \theta \cos(2\theta )-\cos \theta =4\cos ^{3}\,\theta -3\cos \theta \,\!}$

y así sucesivamente. Para probar trivialmente si los resultados parecen razonables, basta sumar los coeficientes en ambos lados del signo igual (es decir, fijando theta igual a cero, caso en que el coseno equivale a la unidad), obteniendo que 1 = 2 - 1 en la primera expresión y 1 = 4 - 3 en la segunda.

Un corolario inmediato es la identidad de composición

${\displaystyle T_{n}(T_{m}(x))=T_{n\cdot m}(x).\,\!}$

Explícitamente

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}$

(sin olvidar que los cosenos hiperbólicos inversos de x y −x difieren por la constante π). A partir de un razonamiento similar al anterior, es posible desarrollar una forma cerrada para la generatriz de polinomios de Chebyshov de tercer tipo:

${\displaystyle \cos(n\theta )={\frac {e^{in\theta }+e^{-in\theta }}{2}}={\frac {(e^{i\theta })^{n}+(e^{i\theta })^{-n}}{2}}\,\!}$

la cual, combinada con la fórmula de De Moivre:

${\displaystyle \!e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta =\cos \theta +i{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta +{\sqrt {\cos ^{2}\theta -1}}\,\!}$

entrega:

${\displaystyle \cos(n\theta )={\frac {\left(\cos \theta +{\sqrt {\cos ^{2}\theta -1}}\right)^{n}+\left(\cos \theta +{\sqrt {\cos ^{2}\theta -1}}\,\right)^{-n}}{2}}\,\!}$

expresión que, por supuesto, es una forma mucho más expedita para determinar el coseno de N veces un ángulo dado que iterar cerca de N veces en la forma recursiva. Finalmente, si reemplazamos ${\displaystyle \cos(\theta )}$ por x, podemos escribir:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}+\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{-n}}{2}}.}$

Definición a partir de la ecuación de Pell

Los polinomios de Chebyshov también pueden ser definidos como las soluciones a la ecuación de Pell

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!}$

en un anillo R[x] (e.g., ver Demeyer (2007), p.70). De este modo, pueden ser generados por la técnica estándar para la ecuaciones de Pell consistente en tomar potencias de una solución fundamental:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}$

Relación entre los polinomios de Chebyshov de primer y segundo tipo

Los polinomios de Chebyshov de primer y segundo tipo están relacionados a través de las siguientes ecuaciones

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }$

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).}$

La relación de recurrencia para la derivada de los polinomios de Chebyshov puede ser obtenida de estas relaciones

${\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,\ldots }$

Esta relación es usada en el método espectral de Chebyshov de resolución de ecuaciones diferenciales.

Equivalentemente, las dos sucesiones pueden también ser definidas a partir de un par de ecuaciones de recurrencia mutua:

${\displaystyle T_{0}(x)=1\,\!}$

${\displaystyle U_{-1}(x)=0\,\!}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)\,}$

Estas pueden ser obtenidas desde fórmulas trigonométricas; por ejemplo, si ${\displaystyle \scriptstyle x=\cos \vartheta }$, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=T_{n+1}(\cos(\vartheta ))\\&=\cos((n+1)\vartheta )\\&=\cos(n\vartheta )\cos(\vartheta )-\sin(n\vartheta )\sin(\vartheta )\\&=T_{n}(\cos(\vartheta ))\cos(\vartheta )-U_{n-1}(\cos(\vartheta ))\sin ^{2}(\vartheta )\\&=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x).\\\end{aligned}}}$

Notar que tanto estas ecuaciones como las trigonométricas adquieren una forma más simple si seguimos la convención alternativa de escribir U_n (el polinomio de grado n) como U_n+1.

Propiedades

Ortogonalidad

Tanto T_n como U_n forman una familia de polinomios ortogonales. Los polinomios de primer tipo son ortogonales con respecto al peso

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\,\!}$

en el intervalo [−1,1], i.e. tenemos:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!}$

Esto puede ser demostrado tomando x= cos(θ) y usando la identidad T_n (cos(θ))=cos(nθ). Similarmente, los polinomios de segundo tipo son ortogonales con respecto al peso

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!}$

en el intervalo [−1,1], i.e. tenemos:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}\,\!}$

(que, al ser normalizado para formar una medida de probabilidad, es la distribución semicircular de Wigner).

Norma mínima ${\displaystyle \infty }$

Dado cualquier ${\displaystyle 1\leq n}$, entre los polinomios de grado ${\displaystyle n}$ con primer coeficiente 1, ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}$ es tal que el valor absoluto máximo en el intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$ es mínimo. Este valor absoluto maximal es ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$ y ${\displaystyle |f(x)|}$ alcanza este máximo exactamente ${\displaystyle n+1}$ veces: en ${\displaystyle -1}$ y ${\displaystyle 1}$ y los otros ${\displaystyle n-1}$ puntos extremos de ${\displaystyle f}$.

Diferenciación e integración

Las derivadas de los polinomios pueden ser menos directas. Diferenciando los polinomios en sus formas trigonométricas, es fácil mostrar que:

${\displaystyle {\frac {dT_{n}}{dx}}=nU_{n-1}\,}$

${\displaystyle {\frac {dU_{n}}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\,}$

Las dos últimas fórmulas pueden ser numéricamente problemáticas debido a la división por cero (0/0 forma indeterminada, específicamente) en x = 1 y x = −1. Puede ser demostrado que:

${\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}{\Bigg |}_{x=1}\!\!={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}{\Bigg |}_{x=-1}\!\!=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}}$

En cuanto a la integración, la primera derivada de T_n implica que

${\displaystyle \int U_{n}\,dx={\frac {T_{n+1}}{n+1}}\,}$

y la relación de recurrencia para los polinomios de primer tipo involucrando derivadas establece que

${\displaystyle \int T_{n}\,dx={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {nT_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.\,}$

Raíces y extremos

Un polinomio de Chebyshov de cualquier tipo con grado n tiene n raíces simples distintas, llamadas nodos de Chebyshov, en el intervalo [−1,1]. Usando la definición trigonométrica y dado que

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}\,(2k+1)\right)=0}$

es fácil demostrar que las raíces de T_n son

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2k-1}{n}}\right){\mbox{ , }}k=1,\ldots ,n.}$

Similarmente, las raíces de U_n son

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}k=1,\ldots ,n.}$

Una propiedad única de los polinomios de Chebyshov de primer tipo es que en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 todos los valores extremos tienen valores iguales a −1 o 1. Tanto los de primer y segundo tipo tienen extremos en los puntos de borde, dados por:

${\displaystyle T_{n}(1)=1\,}$

${\displaystyle T_{n}(-1)=(-1)^{n}\,}$

${\displaystyle U_{n}(1)=n+1\,}$

${\displaystyle U_{n}(-1)=(n+1)(-1)^{n}\,}$

Otras propiedades

Los polinomios de Chebyshov son un caso especial de los polinomios de Gegenbauer, que a su vez son un caso especial de los polinomios de Jacobi.

Por cada entero no negativo n, T_n(x) y U_n(x) son ambos polinomios de grado n. Son funciones pares o impares de x si n is par o impar, entonces al ser escritos como polinomios de x sólo tiene términos pares o impares respectivamente.

El primer coeficiente de T_n es 2^n − 1 si 1 ≤ n, pero 1 si 0 = n.

Polinomios de Chebyshev

En esta página, estudiamos las sorprendentes propiedades de los polinomios de Chebyshev

Definimos un conjunto de polinomios T_n(x)=cos(nθ) de grado n, donde cosθ=x en el intervalo -1≤x≤1.

Para determinar la forma de estos polinomios recordaremos la fórmula cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

{cos((n+1)θ)=cos(nθ)cosθ−sin(nθ)sinθcos((n−1)θ)=cos(nθ)cosθ+sin(nθ)sinθcos((n+1)θ)+cos((n−1)θ)=2cos(nθ)cosθTn+1(x)+Tn−1(x)=2xTn(x)${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\cos \left((n+1)\theta \right)=\cos \left(n\theta \right)\cos \theta -\sin \left(n\theta \right)\sin \theta \\ \cos \left((n-1)\theta \right)=\cos \left(n\theta \right)\cos \theta +\sin \left(n\theta \right)\sin \theta \end{array}\\ \cos \left((n+1)\theta \right)+\cos \left((n-1)\theta \right)=2\cos \left(n\theta \right)\cos \theta \\ T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x)=2x{T}_n(x)\end{array}}$

Los primeros polinomios son:

T₀(x)=cos(0)=1
T₁(x)=cosθ=x;

El resto de polinomios se obtiene empleando la relación de recurrencia:

T_n+1(x)=2xT_n(x)-T_n-1(x)

T₂(x)=cos(2θ)=2x²-1
T₃(x)=cos(3θ)=2x(2x²-1)-x=4x³-3x
T₄(x)= cos(4θ)=2x(4x³-3x)-( 2x²-1)=8x⁴-8x²+1
T₅(x)= cos(5θ)=2x(8x⁴-8x²+1)-(4x³-3x)=16x⁵-20x³+5x
T₆(x)= .....

Creamos una función recursiva que nos devuelve el valor del polinomio T_n(x) de grado n para valores dados de x.

function y=chebyshev(n,x)
    if n==0
        y=ones(1,length(x));
    elseif n==1
        y=x;
    else
        y=2*x.*chebyshev(n-1,x)-chebyshev(n-2,x);
    end
end

Otra forma equivalente de crear una función que nos devuela el valor del polinomio T_n(x) de grado n para valores dados de x es la siguiente:

function T=chebyshev(n,x)
    m=length(x);
    T=zeros(1,m);
    T1=ones(1,m);
    T2=x;
    for j=2:n
        T=2*x.*T2-T1;
        T1=T2;
        T2=T;
    end    
end

Mediante el siguiente script, representamos gráficamente los polinomios T₁(x), T₂(x), T₃(x) y T₄(x)

hold on
for n=1:4
    f=@(x) chebyshev(n,x);
    fplot(f,[-1,1])
end
title('Polinomios de Chebyshev')
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
hold off 

Se puede obtener los polinomios de Chebyshev T₀(x), T₁(x), T₂(x), T₃(x), T₄(x) para valores de x mediante el siguiente código.

n=5;    
x=-1:0.01:1; %vector de valores de x
m=length(x);
T=zeros(m,n);
T(:,1)=ones(1,m);  %T0(x)
T(:,2)=x;          %T1(x)
hold on
for j=3:n           %de T2(x) a T4(x)
    T(:,j)=2*x'.*T(:,j-1)-T(:,j-2);
end

Creamos una función que nos devuelve el vector de los coeficientes, [a₁,a₂,...a_n,a_n+1], (de mayor a menor grado) del polinomio T_n(x).

function p=chebypoly(n) %n es grado 0,1,2...
    p=zeros(n+1,1);
    p1=[1];
    p2=[1 0];
    if n==0
        p=p1;
     elseif n==1
       p=p2;
    else
       for i=2:n
            p=2*[p2 0]-[0 0 p1];
            p1=p2;
            p2=p;
        end   
    end       
end

La función poly2sym de Math Symbolic convierte los coeficientes del polinomio en la expresión algebraica a₁xⁿ+a₂x^n-1+...a_nx+a_n+1. La función ezplot representa gráficamente los polinomios

hold on
for n=1:4
     Tk=poly2sym(chebypoly(n));
     ezplot(Tk,[-1,1]);
end
hold off
title('Polinomios de Chebyshev')
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on

Propiedades de los polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev están definidos en el intervalo [-1,1].

Simetría

Los polinomios de índice par son funciones pares f(x)=f(-x) y los polinomios de índice impar son funciones impares f(x)=-f(-x)

Raíces

Las raíces del polinomio T_n(x), se obtienen igualando cos(nθ)=0

nθ=(2k−1)π2 k=1,2,3....nθ=(2k−1)π2n k=1,2,3....nxk=cos((2k−1)π2n) k=1,2....n${\displaystyle \begin{array}{l}n\theta =(2k-1)\frac{\pi }{2}k=\mathrm{1,2,3....}n\\ \theta =(2k-1)\frac{\pi }{2n}k=\mathrm{1,2,3....}n\\ x_k=\cos \left(\frac{(2k-1)\pi }{2n}\right)k=\mathrm{1,2....}n\end{array}}$

Observamos que

x1=cos(π2n)xn=cos((2n−1)π2n)=cos(π−π2n)=−x1x2=cos(3π2n)xn−1=cos((2(n−1)−1)π2n)=cos(π−3π2n)=−x2xk=−xn+1−k${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_1=\cos \left(\frac{\pi }{2n}\right)\\ x_n=\cos \left(\frac{\left(2n-1\right)\pi }{2n}\right)=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{2n}\right)=-x_1\\ x_2=\cos \left(\frac{3\pi }{2n}\right)\\ x_{n-1}=\cos \left(\frac{\left(2(n-1)-1\right)\pi }{2n}\right)=\cos \left(\pi -\frac{3\pi }{2n}\right)=-x_2\\ x_k=-x_{n+1-k}\end{array}}$

Obtenemos las raíces del polinomio T₅(x) de tres formas distintas:

• Mediante la fórmula que hemos deducido anteriormente,
• Mediante la función roots de MATLAB, si disponemos del vector de los coeficientes del polinomio, que calculamos mediante la función chebypoly
• Mediante la función solve de Math Symbolic que nos proporciona las raíces exactas del polinomio

>> k=1:5;
>> cos((2*k-1)*pi/(2*5))
ans =    0.9511    0.5878    0.0000   -0.5878   -0.9511

>> roots(chebypoly(5))
ans =
         0
   -0.9511
   -0.5878
    0.9511
    0.5878

>> T5=poly2sym(chebypoly(5))
T5 =16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
>> r=solve(T5)
r =
                        0
  (5^(1/2)/8 + 5/8)^(1/2)
  (5/8 - 5^(1/2)/8)^(1/2)
 -(5^(1/2)/8 + 5/8)^(1/2)
 -(5/8 - 5^(1/2)/8)^(1/2)
>> double(r)
ans =
         0
    0.9511
    0.5878
   -0.9511
   -0.5878

Representamos las raíces del polinomio de grado 5, T₅(x), mediante puntos de color rojo a lo largo del eje X

n=5;
k=1:n;
ang=(2*k-1)*pi/(2*n);
xk=cos(ang);
yk=sin(ang);
hold on
plot(cosd(1:180),sind(1:180),'b')
for i=1:length(xk)
    line([0,xk(i)],[0,yk(i)])
    hg=line([xk(i),xk(i)],[0,yk(i)]);
    set(hg,'linestyle','--');
end
line([-1,1],[0,0])
plot(xk,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
hold off
axis equal
title('Raíces')

Máximos y mínimos

Los extremos (máximo o mínimo) del polinomio T_n(x)=cos(nθ) donde cosθ=x son 1 y -1, respectivamente.

dTn(x)dx=−nsin(nθ)dθdx=nsin(nθ)sinθ${\displaystyle \frac{d{T}_n(x)}{dx}=-n\sin \left(n\theta \right)\frac{d\theta }{dx}=\frac{n\sin \left(n\theta \right)}{\sin \theta }}$

se producen cuando sin(nθ)=0, es decir nθ=kπ, k=1,2…n-1. En las posiciones.

x′k=cos(kπn) k=1,2...n−1${\displaystyle x_k^{\text{'}}=\cos \left(\frac{k\pi }{n}\right)k=\mathrm{1,2...}n-1}$

Se excluye k=0 y k=n por que

limθ→0,πsin(nθ)sinθ=n${\displaystyle \underset{\theta \to \mathrm{0,}\pi }{\lim }\frac{\sin (n\theta )}{\sin \theta }=\mathrm{n}}$

>> k=1:4;
>> cos(k*pi/5)
ans = 0.8090    0.3090   -0.3090   -0.8090

>> T5=poly2sym(chebypoly(5)) 
T5 =16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
>> dT5=diff(T5) %calcula la derivada
dT5 =80*x^4 - 60*x^2 + 5
>> r=solve(dT5)
r =
   5^(1/2)/4 + 1/4
   5^(1/2)/4 - 1/4
   1/4 - 5^(1/2)/4
 - 5^(1/2)/4 - 1/4
>> y=subs(T5,x,r); %valor del polinomio T5 para cada una de las raíces r.
>> simplify(y) 
ans =
 -1
  1
 -1
  1
>> double(r)
ans =
    0.8090
    0.3090
   -0.3090
   -0.8090

Relaciones entre dos polinomiosT_i(x) y T_j(x),

∫−11Ti(x)Tj(x)1−x2−−−−−√dx=⎧⎩⎨⎪⎪0 i≠jπ i=j=0π2 i=j≠0${\displaystyle {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_i(x)T_j(x)}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\{\begin{array}{l}0i\ne j\\ \pi i=j=0\\ \frac{\pi }{2}i=j\ne 0\end{array}}$

>> syms x;
>> T5=poly2sym(chebypoly(5))
T5 =16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
>> T4=poly2sym(chebypoly(4))
T4 =8*x^4 - 8*x^2 + 1
>> f=T4*T5/sqrt(1-x^2);
>> int(f,x,-1,1)
ans =0
 
>> f=T5*T5/sqrt(1-x^2);
>> int(f,x,-1,1)
ans =pi/2
 
>> f=1/sqrt(1-x^2);
>> int(f,x,-1,1)
ans =pi

Relación de ortogonalidad

Como hemos visto, las raíces del polinomio de grado n, T_n(x) son

xk=cos((2k−1)π2n) k=1,2....n${\displaystyle x_k=\cos \left(\frac{(2k-1)\pi }{2n}\right)k=\mathrm{1,2....}n}$

Sean dos polinomios, T_i(x) y T_j(x), i,j vamos a comprobar que se cumple la siguiente relación que es importante para la aproximación de funciones f(x)

∑k=1nTi(xk)Tj(xk)=⎧⎩⎨⎪⎪0 i≠jn i=j=0n2 i=j≠0${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^n{T}_i(x_k)T_j}(x_k)=\{\begin{array}{l}0i\ne j\\ ni=j=0\\ \frac{n}{2}i=j\ne 0\end{array}}$

Esta es una relación análoga a la existente en las series de Fourier

n=7;
k=1:n;
xk=cos((2*k-1)*pi/(2*n));
y5=chebyshev(5,xk);
y4=chebyshev(4,xk);
suma=sum(y5.*y4)
suma=sum(y5.*y5)
suma=sum(y4.*y4)

En la ventana de comandos obtenemos el siguiente resultado

suma = -2.4980e-015
suma =    3.5000
suma =    3.5000

De otra forma, mediante la función chebpoly

>> n=7;
>> k=1:n;
>> xk=cos((2*k-1)*pi/(2*n));
>> T5=chebypoly(5);
>> T4=chebypoly(4);
>> suma=sum(polyval(T5,xk).*polyval(T4,xk))
suma = -1.2768e-015
>> suma=sum(polyval(T5,xk).*polyval(T5,xk))
suma =    3.5000
>> suma=sum(polyval(T4,xk).*polyval(T4,xk))
suma =    3.5000

Utilizando Math Symbolic obtenemos valores exactos

>> syms x;
>> T5=poly2sym(chebypoly(5));
>> T4=poly2sym(chebypoly(4));
>> n=sym('7');  %raices del polinomio T7
>> k=1:n;
>> xk=cos((2*k-1)*pi/(2*n));
>> suma=sum(subs(T5,x,xk).*subs(T4,x,xk))
suma =0 
>> suma=sum(subs(T5,x,xk).*subs(T5,x,xk));
>> simplify(suma)
ans =cos(pi/7) - cos((2*pi)/7) + cos((3*pi)/7) + 3
>> double(ans)
ans =    3.5000  %que es n/2
>> suma=sum(subs(T4,x,xk).*subs(T4,x,xk));
>> simplify(suma)
ans =cos((2*pi)/7) - cos(pi/7) - cos((3*pi)/7) + 4
>> double(ans)
ans =    3.5000 %que es n/2