Matemáticas - Polinomios

 binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos monomios.

Ejemplos

1. ${\displaystyle a+b}$.
2. ${\displaystyle a^{2}b^{5}c^{2}d-b^{3}c^{9}d^{2}}$.
3. ${\displaystyle 3\tan ^{2}\phi \,-\,{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}}$ es una diferencia de expresiones trigonométricas.

Operaciones sobre binomios

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

${\displaystyle c(a+b)=ca+cb}$

o realizando la operación:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &&c\\\hline &ca&+cb\end{array}}}$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

${\displaystyle 3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy}$

Suma por diferencia

El binomio ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$.

Demostración:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&-b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}}$

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: ${\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}}$.

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales ${\displaystyle (ax+b)}$ ${\displaystyle (cx+d)}$ es:

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}$.

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:${\displaystyle (a+b)^{n}}$, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: ${\displaystyle (p+q)^{2}}$

Cuadrado de un binomio

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

${\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}}$.

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&+b\\\hline &+ab&+b^{2}&\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}}$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&+b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}}$

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática ${\displaystyle y=x^{2}}$, se desarrolla el binomio ${\displaystyle {(x+h)}^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}}$. El coeficiente del término en ${\displaystyle h}$ que es ${\displaystyle 2x}$ es la derivada de ${\displaystyle x^{2}}$. Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de ${\displaystyle h}$, el término lineal es ${\displaystyle 2xh}$.

Igualmente, para ${\displaystyle y=x^{3}}$ se desarrolla ${\displaystyle (x+h)^{3}}$. En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de ${\displaystyle h}$ es ${\displaystyle 3x^{2}}$, que es la derivada de ${\displaystyle x^{3}}$.

Un binomio es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x² + 3x

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x - 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² + 12 x + 9

Binomio al cubo

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x + 5) · (2x - 5)

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

El desarrollo de un un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.

a² + 2 a b + b² = (a + b)²

a² − 2 a b + b² = (a − b)²