Matemáticas - Polinomios

 polinomios de Bernoulli ${\displaystyle B_{n}(x)}$ se definen mediante la función generatriz:

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli ${\displaystyle B_{n}}$ son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$.

La identidad ${\displaystyle B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^{k}\,}$ nos permite dar una forma cerrada de la suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{i^{k}}=1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}={\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}}}$

Polinomios de Bernoulli

Expresión explícita de polinomios de menor grado

${\displaystyle B_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle B_{1}(x)=x-1/2\,}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,}$

${\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,}$

${\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,}$

${\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\,}$ .

números y polinomios de Bernoulli.

Enunciado

1.  Se considera una sucesión de números reales Bn$B_n$ llamados números de Bernoulli definidos de la forma

B0=1 y ∑i=0i(−1)n(n+1i)Bi=0 para n≥1.$$B_0=1\text{ y }\sum _{i=0}^i(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i})B_i=0\text{ para }n\ge 1.$$

Calcular Bi$B_i$ para i=1,…,7.$i=1,\dots ,7.$ Demostrar que Bn$B_n$ es racional para todo n.$n.$

Solución.  1. Usando la relación de recurrencia dada, obtenemos

B0=1,B1=12,B2=16,B3=0,B4=−130,B5=0,B6=142,B7=0

 números y polinomios de Bernoulli.

Enunciado

1.  Se considera una sucesión de números reales Bn$B_n$ llamados números de Bernoulli definidos de la forma

B0=1 y ∑i=0i(−1)n(n+1i)Bi=0 para n≥1.$$B_0=1\text{ y }\sum _{i=0}^i(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i})B_i=0\text{ para }n\ge 1.$$

Calcular Bi$B_i$ para i=1,…,7.$i=1,\dots ,7.$ Demostrar que Bn$B_n$ es racional para todo n.$n.$

Solución.  1. Usando la relación de recurrencia dada, obtenemos

B0=1,B1=12,B2=16,B3=0,B4=−130,B5=0,B6=142,B7=0.

web de los polinomios de Bernoulli .- ........................................:https://docs.google.com/file/d/0B3qszAs7Gc9DVjNJbnc1ZEZROVE/preview

polinomio ciclotómico de orden n y se denota como Φ_n al polinomio unitario cuyas raíces son todas las raíces primitivas de orden n de la unidad, es decir, que verifican zⁿ = 1 .

Se suele tomar las raíces en el cuerpo de los complejos, (otras extensiones del cuerpo de los reales serían posibles), pero carece de consecuencia sobre los polinomios ciclotómicos, cuyos coeficientes son siempre enteros. El grado de Φ_n es dado por la función φ de Euler, y es lógicamente inferior o igual a n.

Las raíces primitivas son de la forma ω^r, con 0 ≤ r < n, r coprimo con n, y ${\displaystyle \scriptstyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{n}}}$. Entonces

${\displaystyle \Phi _{n}=\prod _{{}_{r}}(X-\omega ^{r})}$

Historia

Nacimiento de la noción

El tractat d'anàlisi dels polinomis ciclotòmics

Carl Friedrich Gauss utiliza en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicado en 1801, los polinomios ciclotómicos. Se hace una importante contribución a un problema abierto desde la antigüedad: la construcción con regla y compás de polígonos regulares. Estos trabajos sirven de referencia a lo largo del siglo. En este trabajo, Gauss determina con precisión la lista de polígonos construibles, y le da un método eficaz para su construcción hasta 256 lados del polígono. Este problema recibe una respuesta final por Pierre- Laurent Wantzel (1814 - 1848) en un artículo¹ en adelante célebre.

Este enfoque es innovador y, en muchos aspectos, prefigura álgebra moderna: Un polinomio ya no aparece como un objeto en sí mismo, sino como parte de un conjunto estructurado. Si el concepto del anillo de polinomios no se formaliza, la estructura euclidiana se encuentra y es la herramienta básica para el análisis de Gauss.

La resolución efectiva de la ecuación de Gauss ciclotómico llevó a considerar una estructura finita: las permutaciones de las raíces. Ahora se llaman periodo de Gauss. Sus propiedades algebraicas se utilizan para encontrar la solución. Este enfoque prevé el uso de la teoría de grupos en el álgebra y la teoría de Galois.

Las nuevas estructuras se definen a continuación. La división euclidiana introduce la noción de residuo y su conjunto tiene propiedades algebraicas fuertes. Tal estructura ahora se considera un caso especial de la finita si el divisor es un número primo. Gauss resalta tales conjuntos y utiliza el transporte de estructura para morfismos entre dos anillos para mostrar la irreductibilidad de polinomios ciclotómicos. En el mismo libro, él utiliza estas estructuras para resolver otro problema abordado por Fermat (1601 - 1685) y formalizado por Euler (1707 - 1783): la ley de reciprocidad cuadrática.

Por este tiempo, se proponen muchas aplicaciones. La utilización de la geometría no se limita a la construcción con la regla y el compás. El polinomio ciclotómico de índice cuatro permite la construcción de un nuevo conjunto de números algebraicos el de los enteros de Gauss. Una rama de la matemática surge: la teoría de números algebraicos, que simplifica la resolución de ecuaciones diofánticas y permite resolver nuevos.

Ecuación polinómica y algebraica ciclotómicos

Évariste Galois

La búsqueda de soluciones a la ecuación polinómica es un problema que se remonta a los primeros desarrollos en polinomios por los matemáticos árabes. Aunque en general se cita a Al- Khwarizmi ( 783-850 ) como precursor con la resolución de seis ecuaciones canónicas, Girolamo Cardano ( 1501-1576 ) para la resolución del caso de grado tres y Ludovico Ferrari ( 1522-1565 ) para el cuarto. El caso general continuó siendo durante mucho tiempo misterioso. Joseph - Louis Lagrange (1736 - 1813) incluye la resolución de este problema general está íntimamente relacionado con las propiedades de las permutaciones de raíces. El caso especial de los polinomios ciclotómicos lo muestra. El grupo de permutaciones buenas, ahora llamado grupo de Galois, no solo es conmutativa sino además cíclica. Esta propiedad, que se utiliza en torno al concepto de períodos de Gauss, permite una eficaz solución para este caso particular. Un análisis más profundo Ruffini Paolo ( 1765-1822 ), Niels Henrik Abel ( 1802-1829 ) y sobre todo por Evariste Galois ( 1811-1832 ) muestra que el aspecto conmutativa del grupo es, de hecho, una condición suficiente. Para ser precisos, la situación indica que el grupo debe ser dividido en una serie de grupos conmutativos anidadas. La pregunta natural que surge es determinar las extensiones del cuerpo de los números racionales cuyo grupo de Galois es conmutativa. Estas extensiones se llaman extensiones abelianas. La estructura del cuerpo asociado con el polinomio ciclotómico extensión llamada ciclotómico, es un ejemplo. Que sea única significa que toda ecuación algebraica resoluble por radicales se reduce de una manera u otra a un polinomio ciclotómico. La respuesta es que toda extensión abeliana del cuerpo de los racionales es un subcuerpo de una extensión ciclotómico. La prueba de este resultado ha necesitado casi medio siglo esfuerzo para terminar de ser demostrado. Los principales científicos para dicha demostración fueron Leopold Kronecker (1823 - 1891) y Heinrich Weber ( 1842-1913 ). Si el análisis de las extensiones abelianas finitas termina con el siglo XIX, se deja abierta una amplia gama de cuestiones, por ejemplo en aritmética. Parece necesario generalizar la noción de campo ciclotómico sobre extensiones infinitas. La cuestión la plantea David Hilbert ( 1862-1943 ).² Esta investigación se llama la teoría de las clases de cuerpo. Esta teoría es uno de los más exitosos en el siglo XX. Se puede citar por ejemplo el teorema de reciprocidad³ de Emil Artin ( 1898-62 ) que resuelve el noveno de los problemas de Hilbert, o más recientemente, dos laureados de la medalla Fields para sus trabajos sobre generalizaciones de la teoría: Vladimir Drinfeld 1990 o Laurent Lafforgue en 2002.

Propiedades

• El grado del n-ésimo polinomio ciclotómico viene dado por la función φ de Euler: ${\displaystyle \varphi (m)=\#\{n\in \mathbb {N} |n\leq m\land \mathrm {mcd} (m,n)=1\}}$.

En particular, siempre será menor o igual a n.

• ${\displaystyle \forall n\geq 1}$, el polinomio ciclotómico ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ es de coeficientes enteros, es decir, ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]}$.

• ${\displaystyle \forall n\geq 1}$, el polinomio ciclotómico ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]}$, es irreducible en ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ y en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$.

• ${\displaystyle \forall p>1,}$ p primo, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ tal que p no divide n, y ${\displaystyle \forall r\geq 1}$, se tiene: ${\displaystyle \Phi _{np^{r}}(X)=\Phi _{np}(X^{p^{r-1}}).}$

• ${\displaystyle \forall n\geq 3,}$ n impar, se tiene: ${\displaystyle \Phi _{2n}(X)=\Phi _{n}(-X).}$

• ${\displaystyle \forall p}$ primo y ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ tal que p no divide n, se tiene: ${\displaystyle \Phi _{np}(X)={\frac {\Phi _{n}(X^{p})}{\Phi _{n}(X)}}.}$

Cálculo de los polinomios ciclotómicos

El polinomio ${\displaystyle X^{n}-1}$ tiene por raíces todas las raíces n-ésimas de la unidad y toda raíz n-ésima de la unidad es raíz d-ésima primitiva para algún divisor d de n; de la misma manera, las raíces de ${\displaystyle \Phi _{d}(X)}$, para d divisor de n también son raíces de ${\displaystyle X^{n}-1}$. Se deduce pues la siguiente igualdad:

${\displaystyle X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X).}$

Mediante esta última, encontramos una primera manera recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)={\frac {X^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d$

Si queremos calcular el polinomio ciclotómico p-ésimo, donde p es un número primo, como p no es divisible por ningún número menor que él distinto de 1, todas las raíces de la unidad exceptuando el uno son raíces primitivas, por tanto:

${\displaystyle \Phi _{p}=\prod _{{}_{\zeta }}(X-\zeta )={\frac {X^{p}-1}{X-1}}=1+X+X^{2}+...+X^{p-1}.}$

Utilizando la función de Möbius, se obtiene otra manera no recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{d|n}(X^{d}-1)^{\mu (n/d)}=\prod _{d|n}(X^{n/d}-1)^{\mu (d)}.}$

Ejemplos

Calculemos los polinomios ciclotómicos de orden 2 y 3, al ser ambos números primos su cálculo es inmediato:

${\displaystyle \Phi _{2}={\frac {X^{2}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{2}-1}{X-1}}=X+1}$

${\displaystyle \Phi _{3}={\frac {X^{3}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{3}-1}{X-1}}=X^{2}+X+1}$

Ahora mediante las fórmulas anteriores y teniendo en cuenta que ${\displaystyle \Phi _{1}=X-1}$, calculamos los polinomios de orden mayor:

${\displaystyle \Phi _{4}={\frac {X^{4}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}}}={\frac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}=X^{2}+1}$

${\displaystyle \Phi _{5}={\frac {X^{5}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{5}-1}{X-1}}=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{6}={\frac {X^{6}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{3})\Phi _{2}}}={\frac {X^{6}-1}{(X^{3}-1)(X+1)}}={\frac {X^{3}+1}{X+1}}=X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{7}={\frac {X^{7}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{7}-1}{X-1}}=X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{8}={\frac {X^{8}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{4}}}={\frac {X^{8}-1}{X^{4}-1}}=X^{4}+1}$

${\displaystyle \Phi _{9}={\frac {X^{9}-1}{\Phi _{1}\Phi _{3}}}={\frac {X^{9}-1}{X^{3}-1}}=X^{6}+X^{3}+1}$

${\displaystyle \Phi _{10}={\frac {X^{10}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{5})\Phi _{2}}}={\frac {X^{10}-1}{(X^{5}-1)(X+1)}}={\frac {X^{5}+1}{X+1}}=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{12}={\frac {X^{12}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{3}\Phi _{6})\Phi _{4}}}={\frac {X^{12}-1}{(X^{6}-1)(X^{2}+1)}}={\frac {X^{6}+1}{X^{2}+1}}=X^{4}-X^{2}+1}$

${\displaystyle \Phi _{14}={\frac {X^{14}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{7})\Phi _{2}}}={\frac {X^{14}-1}{(X^{7}-1)(X+1)}}={\frac {X^{7}+1}{X+1}}=X^{6}-X^{5}+X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{15}={\frac {X^{15}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{5})\Phi _{3}}}={\frac {X^{15}-1}{(X^{5}-1)(X^{2}+X+1)}}={\frac {X^{10}+X^{5}+1}{X^{2}+X+1}}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{16}={\frac {X^{16}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{4}\Phi _{8}}}={\frac {X^{16}-1}{X^{8}-1}}=X^{8}+1}$

Calculemos ahora algunos polinomios ciclotómicos usando la función de Möbius

${\displaystyle \Phi _{4}={\frac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}=X^{2}+1}$

${\displaystyle \Phi _{6}={\frac {(X^{6}-1)(X-1)}{(X^{3}-1)(X^{2}-1)}}=X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{8}={\frac {X^{8}-1}{X^{4}-1}}=X^{4}+1}$

${\displaystyle \Phi _{10}={\frac {(X^{10}-1)(X-1)}{(X^{5}-1)(X^{2}-1)}}=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{12}={\frac {(X^{12}-1)(X^{2}-1}{(X^{6}-1)(X^{4}-1)}}=X^{4}-X^{2}+1}$

Ejemplos gráficos

En la imagen tenemos por un lado las raíces duodécimas de la unidad de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y las raíces séptimas por otro. De esta manera:

• si n=12: las raíces primitivas son las ${\displaystyle \zeta ^{k}}$, con k=1,5,7,11 ya que solo para estos valores de k tenemos: mcd(12,k)=1.

• si n=7: las raíces primitivas son las ${\displaystyle \zeta ^{k}}$, con k=1,2,3,4,5,6 ya que 7 és un número primo y por lo tanto todos los k cumplen: mcd(7,k)=1.

Cuerpos ciclotómicos

Una de las aplicaciones de los polinomios ciclotómicos es en el contexto del álgebra, cuando se usa para construir cuerpos ciclotómicos. Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado y k un subcuerpo de éste. Consideremos ${\displaystyle f(X)\in k[X]}$ un polinomio irreducible y ${\displaystyle \theta \in K}$ una raíz de ${\displaystyle f(X)}$. Resulta que ${\displaystyle k(\theta )\simeq k[X]/(f(X))}$ de manera que ${\displaystyle [k(\theta ):k]=\operatorname {gr} (f(X))}$, es decir, el grado del polinomio ${\displaystyle f(X)}$ será el grado de extensión ${\displaystyle k(\theta )}$ sobre k que es el mínimo cuerpo que contiene k y ${\displaystyle \theta }$.

Consideremos ahora, ${\displaystyle \zeta }$ una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Entonces tendremos que ${\displaystyle [\mathbf {Q} (\zeta ):\mathbf {Q} ]=\operatorname {gr} (\Phi _{n}(X))=\varphi (n)}$, y, como en la generalización, tendremos que el grado de la extensión del cuerpo de los racionales junto a la raíz primitiva n-ésima será el grado del polinomio ciclotómico n-ésimo.

Por otro lado, también es importante remarcar el resultado siguiente: Sean  números naturales primos entre sí. Entonces, el producto de las dos raíces primitivas  es una raíz mn-ésima primitiva de la unidad y se satisfacen las igualdades:  y .

Polinomios ciclotómicos

21 DE ENERO DE 2005 - 13:08 - CONCEPTOS

Hemos explicado en post recientes que las raíces de la unidad se distribuyen a lo largo de la circunferencia unidad en el plano complejo, dividiéndola en n partes iguales. Vimos que cada uno de los valores de la raíz n-ésima de la unidad se podía expresar mediante el número complejo ei(2PI/n)k. Dando valores a k desde 1 hasta n obtenemos todas las raíces. No lo dijimos en su momento, pero a dichos números complejos unitarios se les denomina números de Moivre .

Estas raíces son las soluciones de la ecuación polinómica :

xn=1

Pues bien, a aquellos polígonos irreducibles cuyas raíces son raíces de la unidad se llaman Polinomios ciclotómicos . Esta bella palabra significa etimológicamente “que corta a la circunferencia”; como podemos ver tienen el nombre muy bien puesto. No son ellos quienes cortan a la circunferencia en R 2, sino sus raíces en el plano complejo.

Nuestro polinomio genérico xn-1 no será ciclotómico para todo valor de n. De hecho lo será sólo para n=1. El motivo es que en la propia definición de Polinomio ciclotómico se expresa que dicho polinomio debe ser irreducible. 

Los polinomios son expresiones en forma de suma de potencias de ciertas variables, denominadas indeterminadas . Consideraremos únicamente polinomios racionales de una indeterminada. Su forma genérica es:

P(x)=anxn+an-1xn-1+ an-2xn-2+...+ a1x+a0 

Los números an son los coeficientes; que pertenecerán al cuerpo de los racionales.
Pues bien; el conjunto de todos los polinomios con la operación suma y producto habituales resulta ser un anillo, que llamaremos Z[x] o Q[x], para el caso de que los coeficientes sean enteros o racionales.
Z[x] o Q[x] resultan ser anillos y no cuerpos, y la relación de divisibilidad entre los polinomios se define al uso:

Diremos que un polinomio P(x) divide a otro Q(x) cuando existe un tercero 
Z(x) tal que Q(x)=Z(x)·P(x) 

Diremos que un polinomio es irreducible cuando no puede expresarse como producto de otros dos. Por lo tanto, obtendremos los sucesivos polinomios ciclotómicos factorizando los polinomios genéricos xn=1.

El primero de ellos provendrá de la ecuación x=1; y por lo tanto es 
F1(x)=x-1.

Para n=2, tenemos x2=1, que en forma de polinomio es x2-1 Ahora bien; este polinomio se puede expresar como (x+1)·(x-1). Como el segundo factor era el primer polinomio ciclotómico, el otro es nuestro segundo:
F2(x)=x+1.

Si continuamos, para n=3 tenemos que el polinomio x3-1 es divisible por (x-1), pudiendo ser factorizado así: x3-1=(x-1)·(x2+x+1)

Este último factor es por tanto el tercer polinomio ciclotómico:

P3(x)= x2+x+1

Esa es la pauta para la obtención de los sucesivos polinomios ciclotómicos

· F1(x) = x-1 
· F2(x) = x+1 
· F3(x) = x2+x+1 
· F4(x) = x2+1 
· F5(x) = x4+x3+x2+x+1 
· F6(x) = x2-x+1 

Si n es primo, entonces el polinomio ciclotómico Fn es completo de grado (n-1). En general, el grado de Fn(x) es igual al número de enteros menores que n y coprimos (sin divisores comunes) con n.

De hecho, una definición alternativa de los polinomios ciclotómicos es esta:



donde k toma sólo valores desde 1 hasta n que sean primos con el propio n.

Siendo  los correspondientes números de Moivre.

Lo curioso del asunto es que con tal definición, siempre resulten polinomios de coeficientes enteros.
Además, todos los coeficientes parecen ser igual a la unidad con signo más o menos, o cero.

Este extremo ilustra el papel relativamente poco significativo que representan las conjeturas en matemáticas, y que hemos resaltado muchas veces desde este blog. En efecto, es natural viendo que los primeros polinomios ciclotómicos tienen siempre sus coeficientes con estos valores, conjeturar que ocurre así para todo n. 

Si seguimos calculándolos, podremos comprobar que entre los cien primeros, ninguno incumple esta norma.

En las ciencias experimentales, cuando las observaciones dan la razón a la teoría, ésta sale reforzada. Esta forma de acceso a la verdad en matemáticas no es satisfactoria: en matemáticas las hipótesis no valen nada mientras no se demuestren. Y cien casos demuestran el caso general tan poco como diez mil o mil millones...

Lo extraordinario del caso es que nuestros polinomios ciclotómicos no cumplen la conjetura anterior: el primero que la incumple es el de puesto 105, que vale:

F105(x) = x48 + x47 + x46 - x43 - x42 - 2x41 - x40 - x39 +x36 + x35+x34 + x33+ x32 + x31 - x28 - x26 - x24 - x22 - x20 +x17 + x16+ x15 + x14 + x13 + x12 - x9 - x8 - 2x7 - x6 - x5 + x2 + x + 1

como pueden observar, dos de los coeficientes son sendos doses.

De hecho, se ha demostrado que existen coeficientes tan grandes como se quiera para polinomios de puesto suficientemente elevado.