Eponimos relacionados con las matemáticas

distribución de Laplace es una densidad de probabilidad continua, llamada así en honor a Pierre-Simon Laplace. Es también conocida como distribución doble exponencial puesto que puede ser considerada como la relación las densidades de dos distribuciones exponenciales adyacentes. La distribución de Laplace resulta de la diferencia de dos variables exponenciales aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas.

Caracterización

Densidad de probabilidad

Una variable aleatoria posee una distribución de Laplace(μ, b) si su densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$

Siendo μ un parámetro de localización y b > 0 un parámetro de escala. Si μ = 0 y b = 1, la distribución de Laplace se dice que es estándar y su restricción a los números reales positivos es la distribución exponencial de parámetro 1/2.

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace recuerda la de la distribución normal, pero mientras la distribución normal se expresa en términos de la diferencia al cuadrado ${\displaystyle (x-\mu )^{2}}$, la distribución de Laplace hace intervenir la diferencia absoluta ${\displaystyle |x-\mu |}$. Así la distribución de Laplace presenta colas más gruesas que la distribución normal.

Función de distribución acumulativa

La integral de la distribución de Laplace se obtiene con facilidad gracias al uso del valor absoluto. Su función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F(x)\,}$	${\displaystyle =\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u}$
	${\displaystyle =\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$
	${\displaystyle =0.5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].}$

La inversa de la función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}$

Generación de una variable aleatoria con la distribución de Laplace

Dada una variable aleatoria U, generada por una distribución uniforme continua dentro del intervalo (-1/2, 1/2], la variable aleatoria

${\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)}$

presenta una distribución de Laplace de parámetros μ y b. Esto resulta de la inversa de la función de distribución acumulativa y del método de la transformada inversa.

Una variable Laplace(0, b) puede también generarse como la diferencia de dos variables exponenciales, de parámetros 1/b, independientes. Así mismo, un distribución de Laplace(0, 1) puede obtenerse como el logaritmo del cociente de dos variables uniformes independientes.

Estimación de los parámetros

Dada una muestra de N variables independientes e idénticamente distribuidas (iid) x₁, x₂, ..., x_N, un estimador ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ de ${\displaystyle \mu }$ es la mediana empírica,¹ y un estimador para máxima verosimilitud de b es

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.}$

Momentos

${\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{k!(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}k!\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}}$

Distribuciones relacionadas

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} (0,b)\,}$ entonces ${\displaystyle |X|\sim \mathrm {Exponencial} (b^{-1})\,}$ es una distribución exponencial;
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponencial} (\lambda )\,}$ y ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} (0.5)\,}$ independiente de ${\displaystyle X\,}$, entonces ${\displaystyle X(2Y-1)\sim \mathrm {Laplace} (0,\lambda ^{-1})\,}$;
• Si ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exponencial} (\lambda _{1})\,}$ y ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Exponencial} (\lambda _{2})\,}$ independientes de ${\displaystyle X_{1}\,}$, entonces ${\displaystyle \lambda _{1}X_{1}-\lambda _{2}X_{2}\sim \mathrm {Laplace} \left(0,1\right)\,}$.
• Si ${\displaystyle V\sim \mathrm {Exponencial} (1)\,}$ y ${\displaystyle Z\sim \mathrm {N} (0,1)\,}$ independiente de ${\displaystyle V}$, entonces ${\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$.
• La distribución normal generalizada (version 1) iguala a la distribución de Laplace cuando su parámetro ${\displaystyle \beta }$ es igual a 1. El parámetro de escala ${\displaystyle \alpha }$ es entonces igual a ${\displaystyle b}$.

Laplace
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \mu \,}$ Parámetro de localización (real) ${\displaystyle b>0\,}$ Parámetro de escala (real)
Dominio	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,}$
Función de distribución (cdf)	ver texto
Media	${\displaystyle \mu \,}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,}$
Moda	${\displaystyle \mu \,}$
Varianza	${\displaystyle 2\,b^{2}}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 0\,}$
Curtosis	${\displaystyle 3\,}$
Entropía	${\displaystyle \log(2\,e\,b)}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!}$ for ${\displaystyle |t|<1 annotation="" b="">$
Función característica	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!}$

Distribución de Laplace

Se dice que una variable aleatoria  sigue una distribución de Laplace de parámetros  y , , si su función de densidad es 

La función generatriz de momentos de esta distribución tiene la expresión 

de donde se deduce que  y .La distribución Laplace es una alternativa a la normal para medir los errores de la media.













distribución Pareto, formulada por el sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía.¹ En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Pareto
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  conxm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0\,}$ escala (real) ${\displaystyle \alpha >0\,}$ forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x>x_{m}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!}$
Media	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,}$
Mediana	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
Moda	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,}$
Entropía	${\displaystyle \ln \left({\frac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0 annotation="">$
Función característica	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}$

Probabilidad acumulada

Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:

${\displaystyle Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{si }}x$

donde x_m es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, x_m y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.

Función de densidad

A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{si }}x>x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{si }}x$

Propiedades

• La media o valor esperado de una variable aleatoria X, que sigue una distribución de Pareto con parámetro α > 1 es

${\displaystyle E(X)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,}$

(si α ≤ 1, el valor esperado no existe).

• La varianza es

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}.}$

(Si α ≤ 2, la varianza no existe).

• Los momentos son

${\displaystyle \mu _{n}'={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}},\,}$

pero el n-ésimo momento existe sólo para n < α.

• La función generadora de momentos sólo está definida para valores no positivos de t ≤ 0 según:

${\displaystyle M\left(t,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=E(e^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.\,}$

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\delta (x-x_{\mathrm {m} }).\,}$

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:²

${\displaystyle f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}.\end{cases}}}$

Distribución Generalizada de Pareto

Pareto Generalizado
Parámetros	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$ localización (real) ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}$ escala (real) ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}$ forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$ ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0 annotation="">$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}$ where ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Media	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1 annotation="">$
Mediana	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1 annotation="">$
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La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros ${\displaystyle \mu ,\sigma \,}$ y ${\displaystyle \xi \,}$.

La función de probabilidad acumulada es

${\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}}$

Para ${\displaystyle x\geqslant \mu }$, con ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$, y ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ con ${\displaystyle \xi <0 annotation="">$, donde ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ es el parámetro localización, ${\displaystyle \sigma >0\,}$ es el parámetro escala y ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como ${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$.

La función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.}$

o

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.}$

de nuevo, para ${\displaystyle x\geqslant \mu }$, y ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ si ${\displaystyle \xi <0 annotation="">$