LA RESTA BINARIA CON COMPLEMENTOS
Las computadoras actuales utilizan complementos para efectuar la operación resta y para la representación de números negativos. Los complementos se usan en las computadoras para simplificar y hacer más rápidas las operaciones aritméticas. Existen dos clases de complementos para cada sistema de base r: (1) el complemento r y (2) el complemento r-1. Cuando se sustituye el valor de la base por 2 y 10, los tipos reciben los nombres de complementos 2 y 1, correspondientes a los números binarios, y complemento 10 y 9 para losnúmeros decimales.
1. El complemento r. Dado un número positivo N en base r con parte entera de n dígitos, se define el complemento r de N como rn-N para N diferente de 0 y 0 para N=0.
Los siguientes ejemplos numéricos ayudan a comprender mejor la situación:
- Complemento 10 de 52,52010. Como r=10 y n=5, entonces:105 - 52,520 = 100,000 - 52,520 = 47480- Complemento 10 de 0.326710. El valor de r=10 y n=0, 100=1, por tanto:1 - 0.3267 = 0.6733- Complemento 10 de 25.63910. El valor de r es 10 y n es 2, por tanto:102 - 25.639 = 100 - 25.639 = 74.361- Complemento 2 de 1011002. r=2 y n=6, entonces:(26)10 - 1011002 = (1000000 - 101100)2 = 0101002- El complemento 2 de 0.01102 es (1 - 0.0110)2 = 0.10102
Por la definición y los ejemplos, es claro que el complemento 10 de un número decimal puede formarse dejando todos los CEROS menos significativos inalterados, restando el primer número diferente de CERO menos significativo de 10 y luego sustraer el resto de dígitos más significativos de 9. El complemento 2, puede obtenerse dejando todos los ceros menos significativos y el primer dígito diferente de cero sin cambio y luego reemplazar unos por ceros y ceros por unos, en el resto de dígitos más significativos.
2. El complemento r-1. Dado un número positivo N en base r con una parte entera de n dígitos y una parte fraccionaria de m dígitos, se define el complemento (r-1) de N como rn - rm -N.
Ejemplos:- El Complemento 9 de 5252010 es : 105 - 1 - 52520 = 47479Como no hay parte fraccionaria, entonces 10-m = 100 = 1- El complemento 9 0,326710 es: 1 - 10-4 - 0.3267 = 0.9999 - 0.3267 = 0.6732Como no hay parte entera, entonces 10n = 100 = 1- El complemento 9 de 25.63910 es: 102 - 10-3 - 25.539 = 99.999 - 25.639 = 74.360- El complemento 1 de 1011002 es: (26 - 1)10 - 1011002 = 1111112 - 1011002 = 010011- El complemento 1 de 0.01102 es: (1 - 2-4)10 - 0.01102 = (0.1111 - 0.0110)2 = 0.1001
De estos ejemplos, se ve que el complemento 9 de un número decimal, se forma simplemente sustrayendo cada dígito de 9. El complemento 1 de un número binario, se expresa en una forma más sencilla: Los unos se cambian a ceros y los ceros se cambian a unos.
De las definiciones y de la comparación de los resultados obtenidos en los ejemplos, se desprende que el complemento r puede obtenerse del complemento r-1, después de sumar r-m al dígito menos significativo.
Cabe la pena mencionar que el complemento del complemento deja al número en su valor original. El complemento r de N es rn - N y el complemento r de (rn - N) es rn - (rn - N) = N; de la misma manera ocurre con el complemento r-1.
SUSTRACCIÓN con COMPLEMENTO r. La resta de dos números positivos (M-N), ambos de base r, puede realizarse de la siguiente manera:
1. Se suma el minuendo M al complemento r del sustraendo N.
2. Se inspeccionan los datos obtenidos en el paso 1 para un acarreo final.
a) Si ocurre un acarreo final, se debe descartar. Significa que M > N y por tanto la resta es positiva.
b) Si no ocurre un acarreo final, se toma el complemento r del número obtenido en el paso 1 y se coloca el signo negativo al frente. Indica que M < N y por tanto la resta es negativa.
Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento:
1. Usando el complemento 10, obtener la resta 72532-3250 M=72532 72532 N=03250 + complemento 10 de N=96750 96750 acarreo final 1 69282 RESPUESTA: 69282 2. Sustraer: (3250-72532)10 M=03250 03250 N=72532 + complemento 10 de N=27468 27468 sin acarreo final 30718 RESPUESTA: -(complemento 10 de 30718) = -69282 3. Usar el complemento 2 para restar M-N a) M=1010100 1010100 N=1000100 + complemento 2 de N=0111100 0111100 acarreo final 1 0010000 RESPUESTA: 10000 b) M=1000100 1000100 N=1010100 + complemento 2 de N=0101100 0101100 sin acarreo final 1110000 RESPUESTA: -(complemento 2 de 1110000) = -10000
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