martes, 30 de abril de 2019

MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL, CONTINUACIÓN

Resolviendo ecuaciones algebraicas editar ]

Un problema típico de álgebra.
Las siguientes secciones presentan ejemplos de algunos de los tipos de ecuaciones algebraicas que se pueden encontrar.

Ecuaciones lineales con una variable editar ]

Las ecuaciones lineales se llaman así, porque cuando se trazan, describen una línea recta. Las ecuaciones más simples de resolver son ecuaciones lineales que tienen una sola variable. Contienen solo números constantes y una sola variable sin un exponente. Como ejemplo, considere:
Problema en palabras: si doblas la edad de un niño y sumas 4, la respuesta resultante es 12. ¿Qué edad tiene el niño?
Ecuación equivalente:  dónde  representar la edad del niño
Para resolver este tipo de ecuación, la técnica es sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número para aislar la variable en un lado de la ecuación. Una vez que la variable está aislada, el otro lado de la ecuación es el valor de la variable. [32] Este problema y su solución son los siguientes:
1. Ecuación a resolver:
2. Resta 4 de ambos lados:
3. Esto se simplifica a:
4. Divide ambos lados por 2:
5. Esto simplifica a la solución:
En palabras: el niño tiene 4 años.
La forma general de una ecuación lineal con una variable, se puede escribir como: 
Siguiendo el mismo procedimiento (es decir, restar  de ambos lados, y luego dividir por ), la solución general está dada por 

Ecuaciones lineales con dos variables editar ]

Resolver dos ecuaciones lineales con una solución única en el punto en que se intersecan.
Una ecuación lineal con dos variables tiene muchas soluciones (es decir, un número infinito de). [33] Por ejemplo:
Problema en palabras: un padre es 22 años mayor que su hijo. ¿Qué edad tienen?
Ecuación equivalente:  dónde  es la edad del padre, es la edad del hijo.
Esto no puede ser resuelto por sí mismo. Si la edad del hijo se diera a conocer, entonces ya no habría dos incógnitas (variables), y el problema se convierte en una ecuación lineal con una sola variable, que se puede resolver como se describe anteriormente.
Para resolver una ecuación lineal con dos variables (incógnitas), se requieren dos ecuaciones relacionadas. Por ejemplo, si también se revelara que:
Problema en palabras:En 10 años, el padre tendrá el doble de edad que su hijo.
Ecuación equivalente:
Resta 10 de ambos lados:
Múltiples corchetes:
Simplificar:
Ahora hay dos ecuaciones lineales relacionadas, cada una con dos incógnitas, que permiten la producción de una ecuación lineal con solo una variable, restando una de la otra (llamado método de eliminación): [34]
Segunda ecuación
Primera ecuación
Resta la primera ecuación de 
la segunda para eliminar
Simplificar
Agrega 12 a ambos lados
Arreglar de nuevo
En otras palabras, el hijo tiene 12 años y, como el padre, 22 años, debe tener 34. En 10 años, el hijo tendrá 22 y el padre tendrá el doble de edad, 44. Este problema se ilustra en La gráfica asociada de las ecuaciones.
Para otras formas de resolver este tipo de ecuaciones, vea a continuación, Sistema de ecuaciones lineales .

Ecuaciones cuadráticas editar ]

Diagrama de ecuación cuadrática de  mostrando sus raíces en  y , y que la cuadrática se puede reescribir como 
Una ecuación cuadrática es una que incluye un término con un exponente de 2, por ejemplo, [35] y ningún término con mayor exponente. El nombre deriva del quadrus latino , que significa cuadrado. [36] En general, una ecuación cuadrática se puede expresar en la forma[37] dondeno es cero (si fuera cero, entonces la ecuación no sería cuadrática sino lineal). Debido a esto una ecuación cuadrática debe contener el término, que se conoce como el término cuadrático. Por lo tanto, y asi podemos dividir por  y reorganizar la ecuación en la forma estándar
dónde  y Resolver esto, mediante un proceso conocido como completar el cuadrado , lleva a la fórmula cuadrática
donde el símbolo "±" indica que ambos
Son soluciones de la ecuación cuadrática.
Las ecuaciones cuadráticas también se pueden resolver mediante la factorización (cuyo proceso inverso es la expansión , pero para dos términos lineales a veces se denota frustrar ). Como ejemplo de factoring:
que es lo mismo que
De la propiedad del producto cero se deduce que o son las soluciones, ya que precisamente uno de los factores debe ser igual a cero . Todas las ecuaciones cuadráticas tendrán dos soluciones en el sistema numérico complejo , pero no necesitan tener ninguna en el sistema numérico real . Por ejemplo,
no tiene una solución de números reales ya que ningún número real al cuadrado es igual a −1. A veces, una ecuación cuadrática tiene una raíz de multiplicidad 2, como:
Para esta ecuación, −1 es una raíz de multiplicidad 2. Esto significa que −1 aparece dos veces, ya que la ecuación puede reescribirse en forma factorizada como

Números complejos editar ]

Todas las ecuaciones cuadráticas tienen exactamente dos soluciones en números complejos (pero pueden ser iguales entre sí), una categoría que incluye números reales , números imaginarios y sumas de números reales e imaginarios. Los números complejos surgen por primera vez en la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas y la fórmula cuadrática. Por ejemplo, la ecuación cuadrática.
tiene soluciones
Ya que no es un número real, ambas soluciones para x son números complejos.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas editar ]

Gráfico que muestra las curvas de un logaritmo, que cruza el eje x donde x es 1 y se extiende hacia menos infinito a lo largo del eje y.
La gráfica del logaritmo para basar 2 cruza el eje xeje horizontal) en 1 y pasa a través de los puntos con coordenadas (2, 1) , (4, 2) y (8, 3) . Por ejemplo, log 2 (8) = 3 , porque 3 = 8. El gráfico se aproxima arbitrariamente al eje y , pero no lo encuentra ni lo intersecta .
Una ecuación exponencial es aquella que tiene la forma  para [38] que tiene solución
cuando Las técnicas de álgebra elemental se utilizan para volver a escribir una ecuación dada de la manera anterior antes de llegar a la solución. Por ejemplo, si
luego, al restar 1 de ambos lados de la ecuación, y luego dividir ambos lados por 3 obtenemos
De dónde
o
Una ecuación logarítmica es una ecuación de la forma.  para , que tiene solucion
Por ejemplo, si
luego, al sumar 2 a ambos lados de la ecuación, seguido de dividir ambos lados por 4, obtenemos
De dónde
de la cual obtenemos

Ecuaciones radicales editar ]

Ecuación radical que muestra dos formas de representar la misma expresión. La barra triple significa que la ecuación es verdadera para todos los valores de x
Una ecuación radical es aquella que incluye un signo radical, que incluye raíces cuadradas , raíces cúbicas ,, y n th raíces ,Recordemos que un n º raíz puede ser reescrita en formato exponencial, por lo que es equivalente a Combinado con exponentes regulares (potencias), entonces  (la raíz cuadrada de  en cubos), puede ser reescrito como [39] Así que una forma común de ecuación radical es (equivalente a ) dónde  y son números enteros . Tiene solución (s) real (es):
 es impares parejo 
y
 y son pares 
y 
 incluso,  es extraño , y 
equivalentemente
equivalentemente
no hay solución real
Por ejemplo, si:
entonces

Sistema de ecuaciones lineales editar ]

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

Método de eliminación editar ]

El conjunto de soluciones para las ecuaciones.  y  es el punto único (2, 3).
Un ejemplo de resolver un sistema de ecuaciones lineales es mediante el uso del método de eliminación:
Multiplicando los términos en la segunda ecuación por 2:
Sumando las dos ecuaciones para obtener:
lo que simplifica a
Desde el hecho de que  es conocido, entonces es posible deducir que  por cualquiera de las dos ecuaciones originales (utilizando 2 en lugar de ) La solución completa a este problema es entonces
Tenga en cuenta que esta no es la única manera de resolver este sistema específico;  podría haber sido resuelto antes .

Método de sustitución editar ]

Otra forma de resolver el mismo sistema de ecuaciones lineales es por sustitución.
Un equivalente para se puede deducir usando una de las dos ecuaciones. Usando la segunda ecuación:
Restando  De cada lado de la ecuación:
y multiplicando por −1:
Usando esto  Valor en la primera ecuación en el sistema original:
Sumando 2 a cada lado de la ecuación:
lo que simplifica a
Usando este valor en una de las ecuaciones, se obtiene la misma solución que en el método anterior.
Tenga en cuenta que esta no es la única manera de resolver este sistema específico; en este caso tambiénpodría haber sido resuelto antes .

Otros tipos de sistemas de ecuaciones lineales editar ]

Sistemas inconsistentes editar ]

Las ecuaciones  y  son paralelos y no se pueden intersectar, y es imposible de resolver.
Diagrama de una ecuación cuadrática (rojo) y una ecuación lineal (azul) que no se intersecan, y en consecuencia para la cual no hay una solución común.
En el ejemplo anterior, existe una solución. Sin embargo, también hay sistemas de ecuaciones que no tienen ninguna solución. Tal sistema se llama inconsistente . Un ejemplo obvio es
Como 0 ≠ 2, la segunda ecuación en el sistema no tiene solución. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. Sin embargo, no todos los sistemas inconsistentes son reconocidos a primera vista. Como ejemplo, consideremos el sistema.
Multiplicando por 2 ambos lados de la segunda ecuación, y sumándolo a la primera resulta en
que claramente no tiene solución.

Sistemas indeterminados editar ]

También hay sistemas que tienen infinitas soluciones, en contraste con un sistema con una solución única (es decir, un par único de valores para  y ) Por ejemplo:
Aislando  en la segunda ecuación:
Y usando este valor en la primera ecuación en el sistema:
La igualdad es verdadera, pero no proporciona un valor para De hecho, uno puede verificar fácilmente (simplemente rellenando algunos valores de) que para cualquier  hay una solución mientras Hay un número infinito de soluciones para este sistema.

Sistemas de sobre y indeterminados editar ]

Los sistemas con más variables que el número de ecuaciones lineales se denominan indeterminados . Un sistema así, si tiene alguna solución, no tiene uno único, sino más bien una infinitud de ellos. Un ejemplo de tal sistema es
Cuando se trata de resolverlo, a uno se le indica que exprese algunas variables como funciones de los demás si existen soluciones, pero no puede expresar todas las soluciones. numéricamente porque hay un número infinito de ellas si las hay.
Un sistema con un número mayor de ecuaciones que variables se llama sobredeterminado . Si un sistema sobredeterminado tiene alguna solución, necesariamente algunas ecuaciones son combinaciones lineales de las otras.