viernes, 15 de noviembre de 2019

LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS


desigualdades de triángulos son desigualdades que involucran los parámetros de triángulos , que se mantienen para cada triángulo o para cada triángulo que cumple ciertas condiciones. Las desigualdades dan un orden de dos valores diferentes: son de la forma "menor que", "menor o igual que", "mayor que" o "mayor o igual que". Los parámetros en la desigualdad de un triángulo pueden ser las longitudes de los lados, el semiperímetro , las medidas de los ángulos , los valores de las funciones trigonométricas de esos ángulos, el área del triángulo, las medianas de los lados, las altitudes, las longitudes de las bisectrices de ángulo interno desde cada ángulo al lado opuesto, las bisectrices perpendiculares de los lados, la distancia desde un punto arbitrario a otro punto, el inradius , el exradii , el circumradius y / u otras cantidades.
A menos que se especifique lo contrario, este artículo trata sobre triángulos en el plano euclidiano .

Parámetros principales y notación editar ]

Los parámetros que aparecen más comúnmente en las desigualdades de triángulos son:
  • el lado de longitudes de un , b , y c ;
  • el semiperímetro s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (la mitad del perímetro p );
  • los angulares medidas A , B , y C de los ángulos de los vértices opuestos a los lados respectivos de un , b , y c (con los vértices denotados con los mismos símbolos que sus medidas de los ángulos);
  • los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos;
  • el área T del triángulo;
  • las medianas a , b y c de los lados (siendo cada una la longitud del segmento de línea desde el punto medio del lado hasta el vértice opuesto);
  • las altitudes a , b y c (cada una de las cuales es la longitud de un segmento perpendicular a un lado y se extiende desde ese lado (o posiblemente la extensión de ese lado) hasta el vértice opuesto);
  • las longitudes de las bisectrices de ángulo interno a , b y c (cada una de las cuales es un segmento desde un vértice al lado opuesto y biseca el ángulo del vértice);
  • las bisectrices perpendiculares a , b y c de los lados (cada una de las cuales es la longitud de un segmento perpendicular a un lado en su punto medio y llega a uno de los otros lados);
  • las longitudes de los segmentos de línea con un punto final en un punto arbitrario P en el plano (por ejemplo, la longitud del segmento desde P hasta el vértice A se denota PA o AP );
  • el inradius r (radio del círculo inscrito en el triángulo, tangente a los tres lados), el exradio a , b y c (cada uno de los cuales es el radio de un círculo tangente al lado a , b , o c respectivamente y tangente a las extensiones de los otros dos lados), y el circunradio R (radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo y pasando por los tres vértices).

Longitudes laterales editar ]

La desigualdad básica del triángulo es
o equivalente
Adicionalmente,
donde el valor del lado derecho es el límite más bajo posible, [1] : p. 259 se acercó asintóticamente a medida que ciertas clases de triángulos se acercan al caso degenerado del área cero. La desigualdad de la izquierda, que es válida para todos los positivos a, b, c , es la desigualdad de Nesbitt .
Tenemos
[2] : p.250, # 82
[1] : pág. 260
[1] : pág. 261
[1] : pág. 261
[1] : pág. 261
Si el ángulo C es obtuso (mayor que 90 °), entonces
si C es aguda (menos de 90 °) entonces
El caso intermedio de igualdad cuando C es un ángulo recto es el teorema de Pitágoras .
En general, [2] : p.1, # 74
con la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180 °.
Si el centroide del triángulo está dentro del círculo del triángulo , entonces [3] : p. 153
Si bien todas las desigualdades anteriores son verdad porque una , b , y c debe seguir la desigualdad básica triángulo que el lado más largo es menos de la mitad del perímetro, las siguientes relaciones son válidas para todos positivos una , b , y c : [1] : p.267
cada una con igualdad solo cuando a = b = c . Esto dice que en el caso no equilátero, la media armónica de los lados es menor que su media geométrica, que a su vez es menor que su media aritmética .

Ángulos editar ]

 [1] : pág. 286
[2] : p.21, # 836
para semiperimetro s , con igualdad solo en el caso equilátero. [2] : p.13, n. ° 608
 [4] : Thm.1
 [1] : p.286
 [1] : pág. 286
 [5] : pág. 203
[2] : p.149, n.º 3297
dónde La proporción áurea .
 [1] : pág. 286
 [1] : pág. 286
 [6]
[2] : p.187, # 309.2
Para circunradio R e inradio r tenemos
con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con ángulo de ápice mayor o igual a 60 °; [7] : Cor. 3 y
con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con ángulo de ápice menor o igual a 60 °. [7] : Cor. 3
También tenemos
e igualmente para los ángulos B, C , con igualdad en la primera parte si el triángulo es isósceles y el ángulo del ápice es de al menos 60 ° e igualdad en la segunda parte si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo del ápice no mayor de 60 ° . [7] : Prop. 5
Además, cualquier ángulo dos medidas A y B lados opuestos a y b, respectivamente, están relacionados de acuerdo con [1] : p. 264
que está relacionado con el teorema del triángulo isósceles y su inverso, que establece que A = B si y solo si a = b .
Por Euclides 's teorema ángulo exterior , cualquier ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores en los vértices opuestos: [1] : p. 261
Si un punto D está en el interior del triángulo ABC , entonces
[1] : pág. 263
Para un triángulo agudo tenemos [2] : p.26, # 954
con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.
Además, para triángulos no obtusos tenemos [8] : Corolario 3
con igualdad si y solo si es un triángulo rectángulo con hipotenusa AC.

Área editar ]

La desigualdad de Weitzenböck es, en términos del área T , [1] : p. 290
con igualdad solo en el caso equilátero. Este es un corolario de la desigualdad de Hadwiger-Finsler , que es
También,
[9] : pág. 138
[2] : p.192, # 340.3 [5] : p. 204 204
Del límite superior derecho en T , usando la desigualdad media aritmética-geométrica , se obtiene la desigualdad isoperimétrica para triángulos :
 [5] : pág. 203
para semiperimetro s . Esto a veces se afirma en términos de perímetro p como
con igualdad para el triángulo equilátero . [10] Esto se ve reforzado por
La desigualdad de Bonnesen también fortalece la desigualdad isoperimétrica:
También tenemos
 [1] : pág. 290 [9] : pág. 138
con igualdad solo en el caso equilátero;
[2] : p.111, # 2807
para semiperímetro s ; y
[2] : p.88, # 2188
La desigualdad de Ono para triángulos agudos (aquellos con todos los ángulos menores de 90 °) es
El área del triángulo se puede comparar con el área del círculo :
con igualdad solo para el triángulo equilátero. [11]
Si un triángulo interno está inscrito en un triángulo de referencia de modo que los vértices del triángulo interno dividen el perímetro del triángulo de referencia en segmentos de igual longitud, la razón de sus áreas está limitada por [9] : p. 138
Que las bisectrices de los ángulos interiores de A , B , y C cumple con los lados opuestos en D , E , y F . Entonces [2] : p.18, # 762
Una línea a través de la mediana de un triángulo divide el área de tal manera que la proporción de la subárea más pequeña al área del triángulo original es al menos 4/9. [12]

Medianas y centroide editar ]

Las tres medianas de un triángulo cada uno conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto, y la suma de sus longitudes satisface [1] : p. 271
Además, [2] : p.12, # 589
con igualdad solo en el caso equilátero, y para inradius r , [2] : p.22, # 846
Si además denotamos las longitudes de las medianas extendidas a sus intersecciones con el círculo como a , b y c , entonces [2] : p.16, # 689
El centroide G es la intersección de las medianas. Deje que AG , BG y CG se encuentren con el círculo en U , V y W, respectivamente. Entonces ambos [2] : p.17 # 723
y
Además, [2] : p.156, # S56
Para un triángulo agudo tenemos [2] : p.26, # 954
en términos del circunradio R , mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.
Denotando como IA, IB, IC las distancias del incentro desde los vértices, se cumple lo siguiente: [2] : p.192, # 339.3
Las tres medianas de cualquier triángulo pueden formar los lados de otro triángulo: [13] : p. 592
Además, [14] : Coro. 6 6

Altitudes editar ]

Las altitudes a , etc. conectan cada una un vértice al lado opuesto y son perpendiculares a ese lado. Satisfacen ambos [1] : p. 274
y
Además, si entonces [2] : 222, # 67
También tenemos [2] : p.140, # 3150
Para las bisectrices de ángulo interno a , b , c de los vértices A, B, C y circuncentro R e incentro r , tenemos [2] : p.125, # 3005
Los recíprocos de las altitudes de cualquier triángulo pueden formar un triángulo: [15]

Ángulo interno bisectrices e incentro editar ]

Las bisectrices de ángulo interno son segmentos en el interior del triángulo que se extienden desde un vértice al lado opuesto y seccionan el ángulo del vértice en dos ángulos iguales. Las bisectrices de ángulo a etc. satisfacen
en términos de los lados, y
en términos de altitudes y medianas, y también para b y c . [1] : pp. 271–3 Además, [2] : p.224, # 132
en términos de las medianas, y [2] : p.125, # 3005
en términos de la altitudes, inradio r y circunradio R .
Deje que a , b y c sean las longitudes de las bisectrices de ángulo extendidas hasta el círculo circunferencial. Entonces [2] : p.11, # 535
con igualdad solo en el caso equilátero, y [2] : p.14, # 628
para circumradius R e inradius r , nuevamente con igualdad solo en el caso equilátero. Adicionalmente,. [2] : p.20, n.º 795
Para el incentro I (la intersección de las bisectrices del ángulo interno), [2] : p.127, # 3033
Para los puntos medios L, M, N de los lados, [2] : p.152, # J53
Para el incentro I , el centroide G , el circuncentro O , el centro N de nueve puntos y el ortocentro H , tenemos para los triángulos no equiláteros las desigualdades de distancia [16] : p.232
y
y tenemos la desigualdad angular [16] : p.233
Además, [16] : p.233, Lema 3
donde v es la mediana más larga.
Tres triángulos con vértice en el incentro, OIH , GIH y OGI , son obtusos: [16] : p.232
 >  > 90 °,  > 90 °.
Como estos triángulos tienen los ángulos obtusos indicados, tenemos
y, de hecho, el segundo de estos es equivalente a un resultado más fuerte que el primero, mostrado por Euler : [17] [18]
El mayor de dos ángulos de un triángulo tiene la bisectriz de ángulo interno más corta: [19] : p.72, # 114

Bisectrices perpendiculares de lados editar ]

Estas desigualdades se refieren a las longitudes a etc. de las porciones interiores del triángulo de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. Denotando los lados para quetenemos [20]
y

Segmentos desde un punto arbitrario editar ]

Punto interior editar ]

Considere cualquier punto P en el interior del triángulo, con los vértices del triángulo denotados A , B y C y con las longitudes de los segmentos de línea denotados PA, etc. Tenemos [1] : pp. 275–7
y más fuertemente que la segunda de estas desigualdades es [1] : p. 278
También tenemos la desigualdad de Ptolomeo [2] : p.19, # 770
para el punto interior P e igualmente para permutaciones cíclicas de los vértices.
Si dibujamos perpendiculares desde el punto interior P a los lados del triángulo, intersectando los lados en D , E y F , tenemos [1] : p. 278
Además, la desigualdad Erdős-Mordell establece que [21] [22]
con igualdad en el caso equilátero. Más fuertemente, la desigualdad de Barrow establece que si las bisectrices interiores de los ángulos en el punto interior P (es decir, de ∠ APB , ∠ BPC y ∠ CPA ) se cruzan con los lados del triángulo en U , V y W , entonces [23]
También es más fuerte que la desigualdad de Erdős-Mordell lo siguiente: [24] Sea D, E, F las proyecciones ortogonales de P sobre BC, CA, AB respectivamente, y H, K, L las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes. a la circunferencia circunscrita del triángulo en A, B, C respectivamente. Entonces
Con las proyecciones ortogonales H, K, L desde P hacia las tangentes hasta el círculo circunferencial del triángulo en A, B, C respectivamente, tenemos [25]
donde R es el circunradio.
De nuevo con las distancias PD, PE, PF del punto interior P desde los lados tenemos estas tres desigualdades: [2] : p.29, # 1045
Para el punto interior P con distancias PA, PB, PC desde los vértices y con el área triangular T , [2] : p.37, # 1159
[2] : p.26, # 965
Para un punto interior P , centroide G , puntos medios L, M, N de los lados y semiperímetro s , [2] : p.140, # 3164 [2] : p.130, # 3052
Por otra parte, para los números positivos 1 , 2 , 3 , y t con t menor que o igual a 1: [26] : Thm.1
mientras que para t > 1 tenemos [26] : Thm.2

Punto interior o exterior editar ]

Existen diversas desigualdades para un punto arbitrario interior o exterior en el plano en términos del radio r del círculo inscrito del triángulo. Por ejemplo, [27] : p. 109
Otros incluyen: [28] : págs. 180–1
para k = 0, 1, ..., 6;
y
para k = 0, 1, ..., 9.
Además, para circunradio R ,
[29] : pág. 227
[29] : pág. 233
[29] : pág. 233
[29] : pág. 233
Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y D , E y F sean los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC :
[30]

Inradius, exradii y circumradius editar ]

Inradius y circumradius editar ]

La desigualdad de Euler para el circunradio R y el inradio r establece que
con igualdad solo en el caso equilátero . [31] : pág. 198
Una versión más fuerte [5] : p. 198 es
En comparación, [2] : p.183, # 276.2
donde el lado derecho podría ser positivo o negativo.
Otros dos refinamientos de la desigualdad de Euler son [2] : p.134, # 3087
y
Otra desigualdad simétrica es [2] : p.125, # 3004
Además,
[1] : 288
en términos del semiperímetro s ; [2] : p.20, n.º 816
en términos del área T ; [5] : pág. 201
 [5] : pág. 201
y
 [2] : p.17 # 708
en términos del semiperímetro s ; y
También en términos del semiperímetro. [5] : pág. 206 [7] : pág. 99 Aquí la expresióndonde d es la distancia entre el incentro y el circuncentro. En la última doble desigualdad, la primera parte se sostiene con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo de vértice de al menos 60 °, y la última parte se sostiene con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo de vértice de a lo sumo 60 °. Por lo tanto, ambas son igualdades si y solo si el triángulo es equilátero. [7] : Thm. 1
También tenemos para cualquier lado un [32]
dónde si el circuncentro está dentro o fuera del círculo ysi el circuncentro está dentro del incircle. El circuncentro está dentro del círculo si y solo si [32]
Promover, adicional,
[1] : pág. 291
La desigualdad de Blundon establece que [5] : p. 206; [33] [34]
También tenemos, para todos los triángulos agudos, [35]
Para el centro del círculo I , deje que AI , BI y CI se extiendan más allá de I para intersecar el círculo en D , E y F, respectivamente. Entonces [2] : p.14, # 644
En términos de los ángulos de vértice tenemos [2] : p.193, # 342.6
Denotar como los radios de los círculos tangentes en los vértices al círculo circunferencial del triángulo y a los lados opuestos. Entonces [36] : Thm. 4 4
con igualdad solo en el caso equilátero, y [36] : Thm. 6 6
con igualdad solo en el caso equilátero.

Circunradio y otras longitudes editar ]

Para el circumradius R tenemos [2] : p.101, # 2625
[2] p.35, # 1130
También tenemos [1] : págs. 287–90
en términos de altitudes,
en términos de las medianas, y [2] : p.26, # 957
en cuanto a la zona.
Además, para el circuncentro O , deje que las líneas AO , BO y CO se crucen con los lados opuestos BC , CA y AB en U , V y W, respectivamente. Entonces [2] : p.17, # 718
Para un triángulo agudo, la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface [2] : p.26, # 954
con la desigualdad opuesta para un triángulo obtuso.
El circunradio es al menos el doble de la distancia entre el primer y el segundo punto de Brocard 1 y 2 : [37]

Inradius, exradii y otras longitudes editar ]

Para el inradius r tenemos [1] : pp. 289–90
en términos de altitudes, y
en términos de los radios de los círculos. Adicionalmente tenemos
[2] : p.66, # 1678
y
[2] : p.183, # 281.2
Los exradii y las medianas están relacionados por [2] : p.66, # 1680
Además, para un triángulo agudo la distancia entre el centro del círculo I y el ortocentro H satisface [2] : p.26, # 954
con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.
Además, un triángulo agudo satisface [2] : p.26, # 954
en términos del circunradio R , de nuevo con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.
Si las bisectrices de los ángulos internos de los ángulos A , B , C se encuentran con los lados opuestos en U , V , W , entonces [2] : p.215,32nd IMO, # 1
Si las bisectrices del ángulo interno a través del incentro me extiendo para encontrar el círculo circunferencial en X , Y y Z entonces [2] : p.181, # 264.4
para circumradius R y [2] : p.181, # 264.4 [2] : p.45, # 1282
Si el círculo es tangente a los lados en D , E , F , entonces [2] : p.115, # 2875
para semiperimetro s .