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EN ASTRONOMÍA Y ASTROFÍSICA

El proceso Penrose (también llamado mecanismo de Penrose) es un proceso teorizado por Roger Penrose por el cual se puede extraer energía de un agujero negro en rotación. Esta extracción se hace posible debido a que la energía rotacional de un agujero negro no está localizada dentro del horizonte de sucesos, sino que se encuentra en una región exterior que rodea al agujero llamada ergosfera. En esta región una partícula es necesariamente propulsada por concurrencia locomotriz con el espacio-tiempo rotativo. Todos los objetos en la ergosfera se ven arrastrados por un espacio-tiempo rotacional. En este proceso, si un objeto material entra en la ergosfera de un agujero negro se divide en dos. El momento de ambas piezas de materias puede resultar tal, que una parte escape hacia el infinito, y otra parte caiga a través del horizonte de sucesos hacia el agujero. La pieza que escapa puede posiblemente tener mayor cantidad de materia-energía que la pieza original que entró en la ergosfera, por lo que el balance energético es negativo. En resumen, el proceso resulta en una disminución del momento angular del agujero negro, y por tanto en una reducción correspondiente a una transferencia de energía donde la pérdida de momento se convierte en energía extraída.

El proceso obedece a las leyes termodinámicas de los agujeros negros. Una consecuencia de estas leyes es que si el proceso se repite continuamente, el agujero negro podría finalmente perder su momento angular y convertirse en un agujero negro no rotativo. Demetrios Christodoulou calculó un límite superior para la cantidad total de energía que podía ser extraída mediante el proceso de Penrose.

Animación de resonancias de Lindblad en coordenadas co-rotatorias. La animación muestra las órbitas epicíclicas de las estrellas en una galaxia con un potencial de modelado log (r).

Una resonancia de Lindblad, llamada así por el astrónomo galáctico sueco Bertil Lindblad (1895-1965),^[1] es un tipo de resonancia orbital en el que la frecuencia epicíclica de un objeto (la velocidad a la que un ápside sigue a otro) es un múltiplo simple de alguna frecuencia forzada. Las resonancias de este tipo tienden a aumentar la excentricidad orbital^[2] del objeto y a hacer que su longitud del periastro se alinee en fase con el objeto por el que es forzado. Las resonancias de Lindblad producen ondas de densidad espirales^[3] tanto en las galaxias (donde las estrellas están sujetas a períodos forzados por los propios brazos de la espiral) como en los anillos de Saturno (donde las partículas de los anillos están sujetas a movimientos forzados por los satélites de Saturno).

Las resonancias de Lindblad afectan a estrellas situadas a grandes distancias del centro de un disco galáctico, donde la frecuencia natural de la componente radial de la velocidad orbital de una estrella se acerca a la frecuencia de los máximos gravitacionales encontrados durante su recorrido a través de los brazos espirales. Si la velocidad orbital de una estrella alrededor del centro galáctico es mayor que la de la parte del brazo espiral a través del que está pasando, entonces se produce una resonancia interna de Lindblad. Si la velocidad es más pequeña, entonces se habla de una resonancia externa de Lindblad.^[4] En una resonancia interna, la velocidad orbital de una estrella aumenta, desplazándose hacia el exterior. En el caso de una resonancia externa, su velocidad disminuye, lo que causa un desplazamiento hacia adentro.

Una roseta de Klemperer es un sistema gravitatorio de cuerpos con distintas masas que orbitan según un patrón periódico regular alrededor de un baricentro común. Fue descrito por primera vez por el pionero de la aviación austríaco de origen alemán Wolfgang Klemperer (1893-1965) en 1962.^[1]

Propiedades

Klemperer describió el sistema de la siguiente manera:

Tal simetría también es poseída por una peculiar familia de configuraciones geométricas que pueden describirse como "rosetas". En estas configuraciones, un número par de 'planetas' de dos (o más) clases, uno (o algunos) más pesados que otros, pero todos los conjuntos de igual masa, se colocan en las esquinas de dos (o más) polígonos regulares intercalados de modo que los más ligeros y más pesados se alternan (o se siguen uno al otro de manera cíclica).

La roseta más simple sería una serie de cuatro cuerpos alternados (dos pesados y dos ligeros), situados a 90 grados unos de otros, en una configuración rómbica [pesado, ligero, pesado, ligero], donde las dos masas más pesadas son iguales entre sí, al igual que las dos más ligeras. El número de "tipos de masa" puede aumentarse, siempre que el patrón de disposición sea cíclico: por ejemplo, [1,2,3 ... 1,2,3], [1,2,3,4,5 ... 1,2,3,4,5], [1,2,3,3,2 , 1 ... 1,2,3,3,2,1] etc.

Klemperer también describió las rosetas octogonales y las romboidales. Si bien todas las rosetas de Klemperer son vulnerables a la desestabilización, la roseta hexagonal tiene una estabilidad extra debido a que los "planetas" se encuentran en cada uno de los puntos de Lagrange L4 y L5.

Mal uso y errores de ortografía

El término roseta de Klemperer (en ocasiones mal escrito como roseta de "Kemplerer") a menudo se usa para denominar a una configuración de tres o más masas iguales, situadas en los vértices de un polígono equilátero, que están dotadas de la misma velocidad angular con respecto a su centro de masas.

Klemperer sí menciona esta configuración al comienzo de su artículo, pero solo como un conjunto ya conocido de sistemas de equilibrio antes de introducir las rosetas reales.

En la novela de Larry Niven titulada Mundo Anillo, la raza de los Titerotes de Pierson habita en la "Flota de Mundos", una configuración de este tipo (con 5 planetas espaciados en los vértices de un pentágono regular) que Niven menciona como una "roseta de Kemplerer". Este error ortográfico y mal uso del concepto (probablemente intencionado con fines literarios) es una posible fuente de esta confusión. Otra es la similitud entre el nombre de Klemperer y el de Johannes Kepler, quien describió las primeras leyes del movimiento planetario precisas en el siglo XVII. Es notable que en el relato se menciona que estos planetas ficticios fueran mantenidos en posición por grandes motores además de la fuerza de la gravedad.

Inestabilidad

Las simulaciones de este sistema^[2] (o un análisis simple de perturbaciones lineales) demuestran que tales sistemas son inestables: cualquier movimiento que se aleje de la configuración geométrica perfecta provoca una oscilación, que eventualmente lleva a la descomposición del sistema (el artículo original de Klemperer también expone este hecho). Este es el caso si el centro de la roseta está en el espacio libre, o si está en órbita alrededor de una estrella. En pocas palabras, la razón es que cualquier perturbación destruye la simetría, lo que aumenta la perturbación, lo que daña aún más la simetría, y así sucesivamente.

Una explicación más detallada es que cualquier perturbación tangencial acerca un cuerpo a un vecino y lo aleja de otro; el desequilibrio gravitacional se vuelve mayor hacia el vecino más cercano y menos hacia el vecino más alejado, arrastrando el objeto perturbado más hacia su vecino más cercano, amplificando la perturbación en lugar de amortiguarla. Una perturbación radial hacia adentro hace que el cuerpo perturbado se acerque a todos los otros objetos, aumentando la fuerza sobre el objeto y aumentando su velocidad orbital, lo que conduce indirectamente a una perturbación tangencial y al argumento anterior.

La métrica de Schwarzschild es una solución exacta de las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio que describe el campo generado por una estrella o una masa esférica. Este tipo de solución puede considerarse una descripción relativista aproximada del campo gravitatorio del sistema solar (Región I) y bajo ciertas condiciones también describe un tipo de agujero negro (Región II).

Matemáticamente, la métrica de Schwarzschild normalmente representa solo una parte del espacio-tiempo más grande posible con simetría esférica, la variedad diferencia maximal que amplía la métrica de Schwarzschild se conoce como métrica de Kruskal-Schwarzschild o solución de Kruskal. Sin embargo, esta solución representa un espacio totalmente vacío (además de algunos rasgos "exóticos"), por lo que no es físicamente relevante para describir un cuerpo o un agujero negro físico.

Historia

La solución de Schwarzschild se llama así en honor al físico alemán Karl Schwarzschild (1873-1916), que encontró la solución exacta en 1916,^[1] un poco más de un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein que no sean la solución trivial espacio plano. Schwarzschild murió poco después de que se publicase su trabajo, como consecuencia de una enfermedad que contrajo durante su servicio en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial.^[2]

Johannes Droste en 1916,^[3] de manera independiente, llegó a la misma solución que Schwarzschild, aunque usando una derivación más simple y directa.^[4]

En los primeros años de la relatividad general había una gran confusión acerca de la naturaleza de las singularidades que se encuentran en las soluciones de Schwarzschild y en otras soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. En el artículo original de Schwarzschild, puso lo que ahora se conoce como el horizonte de sucesos en el origen de su sistema de coordenadas.^[5]

Introducción

El Sol y otras estrellas con una velocidad de giro relativamente pequeña tienen un campo gravitatorio que puede ser descrito razonablemente bien por la teoría de gravitación de Newton. En el que la fuerza gravitatoria que experimenta un planeta de masa m a una distancia r del sol, ignorando la presencia de los otros planetas o astros menores también presentes en el sistema solar, por:

$\mathbf {F} =-{\frac {GM_{s}m}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

Sin embargo, en ciertos cálculos la precisión obtenida mediante la fórmula anterior no es buena:

Por ejemplo, para los planetas interiores, especialmente para Mercurio, se detectó un avance del perihelio, es decir, que el punto más próximo al Sol de este planeta en cada órbita alrededor de nuestra estrella estaba sistemáticamente avanzado, desplazado o "corrido" respecto a la órbita anterior.
Para estrellas con radios solo ligeramente superiores al radio de Schwarzschild la geometría del plano de la eclíptica se aleja considerablemente de la forma plana.

Además de las discrepancias anteriores se encontraron otros efectos relativistas que no podían ser explicados mediante la teoría de Newton. La formulación de la teoría de la Relatividad General por parte de Einstein, y su aplicación al caso de un astro esférico proporcionó una nueva descripción del campo gravitatorio, aplicable al sistema solar que resultó encajar con las mediciones experimentales. De acuerdo a esta descripción los planetas siguen las líneas de mínima curvatura o líneas geodésicas de un espacio-tiempo curvo, por lo que la gravedad dejó de ser considerada una fuerza y pasó a interpretarse como un efecto de la curvatura del espacio-tiempo.

Las siguientes secciones describen cómo es la geometría curvada asociada al campo gravitatorio de un astro simétrico. Salvo por la influencia local de la gravedad de los planetas la métrica de Schwarzschild describe de manera razonablemente aproximada el campo gravitatorio del sistema solar, con un grado de precisión más alto que la teoría de Newton, dando cuenta de hechos experimentales no explicables mediante la teoría de Newton (Véase más adelante Comparación con la teoría newtoniana).

Condiciones matemáticas

Las condiciones de las que partió Schwarzschild para solucionar las ecuaciones de Einstein son las siguientes:

Estática: existe al menos un sistema de coordenadas donde la métrica no depende de la coordenada temporal (y donde los términos $dt\otimes dx_{i}$ de la métrica son nulos, donde $x_{i}$ es cualquier coordenada espacial).
Esféricamente simétrica: Las secciones espaciales ( $t$ constante) tienen la forma: $f(r)\mathrm {d} r\otimes \mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega \otimes \mathrm {d} \Omega$ . De este modo, la simetría será $\mathbb {R} \times SO(3)$ .
Para grandes distancia a la fuente de gravedad, la solución debe ser la métrica de Minkowski.

Forma de la métrica

En coordenadas casi-esféricas o coordenadas de Schwarzschild la métrica tiene la forma:

(1) $g=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t\otimes \mathrm {d} t+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r\otimes \mathrm {d} r+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta \otimes \mathrm {d} \theta +\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi \otimes \mathrm {d} \phi \right)$

Donde $G$ es la constante de gravitación universal y $M$ se interpreta como la masa aparente del objeto, planeta o estrella que crea el campo. El sistema de coordenadas anterior está definido solo para una región abierta definida del espacio-tiempo: aquella en la que pueden existir observadores estáticos (también llamada región I del espacio-tiempo de Kruskal). Si realizamos un cambio de coordenadas dado por las relaciones implícitas:

$(t,r,\theta ,\phi )\mapsto (T,R,\theta ,\phi )\qquad {\begin{cases}\left({\cfrac {c^{2}r}{2GM}}-1\right)e^{\frac {c^{2}r}{2GM}}=R^{2}-T^{2}\\{\cfrac {c^{3}t}{2GM}}=\ln \left({\cfrac {T+R}{R-T}}\right)=2{\mbox{tanh}}^{-1}{\cfrac {T}{R}}\end{cases}}$

Entonces la solución de Schwarzschild puede escribirse en estas nuevas coordenadas en la forma llamada métrica de Kruskal:

(2) $g={\frac {4}{r}}\left({\frac {2GM}{c^{2}}}\right)^{3}e^{\left({\frac {c^{2}r}{2GM}}\right)}\left(-\mathrm {d} T\otimes \mathrm {d} T+\mathrm {d} R\otimes \mathrm {d} R\right)+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta \otimes \mathrm {d} \theta +\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi \otimes \mathrm {d} \phi \right)$

Los valores de la métrica están definidos ahora para cualquier valor de las coordenadas tales que $R^{2}-T^{2}>-1$ . En esta forma las coordenadadas cubren tres regiones:

Región I o región exterior de la solución de Schwarzsichild, caracterizada por $R>|T|\;$ , que a grandes distancias se parece al campo gravitatorio creado por un astro de simetría esférica.
Región II o región de agujero negro de la solución de Schwarzsichild, caracterizada por ${\sqrt {1+R^{2}}}>T>|R|$ .
Región III o región de agujero blanco de la solución de Schwarzsichild, caracterizada por $-{\sqrt {1+R^{2}}}<T<-|R|$ .
Región IV o región exterior paralela, caracterizada por $\displaystyle R<-|T|$ . Esta región es idéntica a la región I, pero no entran en contacto causal.

Propiedades del espacio-tiempo de Schwarzschild

Contenido material

El contenido material de un espacio-tiempo viene dado por su tensor de energía-impulso, para el caso de la métrica de Schwarschild para la región con r > max(2GM/c²,R_e) resulta estar completamente vacía, ya que el tensor de Ricci asociado a la métrica se anula en esa región. Por tanto, la métrica de Schwarzschild representa una solución de vacío, para la región exterior al cuerpo esférico que produce el campo gravitatorio.

Geodésicas

Si $\gamma (\tau )=(t(\tau ),r(\tau ),\theta (\tau ),\phi (\tau ))\;$ es la expresión de una curva en términos de un parámetro afín (como por ejemplo el tiempo propio), entonces esa curva será geodésica si se cumple que:

${\begin{cases}{\ddot {t}}+{\cfrac {2\mu }{r(r-2\mu )}}{\dot {t}}{\dot {r}}=0\\{\ddot {r}}+{\cfrac {\mu (r-2\mu )}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}-{\cfrac {\mu }{r(r-2\mu )}}{\dot {r}}^{2}-(r-2\mu )\left[{\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]=0\\{\ddot {\theta }}+{\cfrac {2{\dot {r}}}{r}}{\dot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\\{\ddot {\phi }}+{\cfrac {2{\dot {r}}}{r}}{\dot {\phi }}+{\cfrac {2}{\tan \theta }}{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}=0\end{cases}}\qquad \mu :={\frac {GM}{c^{2}}}$

Grupo de isometría

La solución de Schwarzschild presenta simetría respecto a traslaciones temporales t → t + h y además presenta simetría esférica. Por tanto su grupo de isometría maximal resulta ser isomorfo a $\mathbb {R} \times SO(3)$

Tensor de curvatura

El tensor de curvatura en esta métrica en las coordenadas anteriores tiene las siguientes componentes no nulas:

${\begin{matrix}R_{0303}=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right){\frac {GM}{r}}\sin ^{2}\theta ,&R_{1313}={\frac {GM}{c^{2}r-2GM}}\sin ^{2}\theta \\R_{0202}=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right){\frac {GM}{r}}&R_{1212}={\frac {GM}{c^{2}r-2GM}}\\R_{2323}=-\left(r-{\frac {2GM}{c^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta ,&R_{0101}=-{\frac {2GM}{r^{3}}}\end{matrix}}$

Además de las correspondientes permutaciones.

Regiones del espacio-tiempo de Schwarschild

Región I: Comparación con la teoría newtoniana

La solución de Schwarzschild para la región exterior o región I, describe un espacio-tiempo en que las geodésicas o trayectorias seguidas por los planetas y cuerpos moviéndose en el campo gravitatorio como satélites artificiales. Las trayectorias predichas son similares a las trayectorias predichas por la teoría newtoniana de la gravitación a grandes distancias. Sin embargo, a distancias cercanas al centro que crea el campo gravitatorio asociado a la métrica de Schwarzschild predice nuevos efectos y correcciones que se desvían ligeramente de la predicción de la teoría newtoniana:

El avance del perihelio de los planetas más cercanos al sol
La curvatura o deflexión de los rayos de luz
El desplazamiento hacia el rojo de la longitud de onda
El retraso de una onda electromagnética que atraviesa el campo.

La siguiente tabla comparativamente las predicciones cuantitativas de ambas teorías para estos fenómenos:

**Comparación de las predicciones de la teoría newtoniana y relativista de la gravitación**
	Teoría newtoniana	Solución de Schwarzschild
Aceleración aparente respecto a un observador estático	${\frac {GM}{r^{2}}}\,$	${\frac {GM}{r^{2}}}\left(1+{\frac {GM}{c^{2}r}}\right)\,$
Radio de una órbita circular	${\frac {L^{2}}{GMm}}\,$	${\frac {L^{2}}{GMm}}-3{\frac {GM}{c^{2}}}\,$
Factor de desplazamiento al rojo gravitacional	$1\,$	$1+{\frac {GM}{c^{2}r}}\,$
Ángulo de deflexión de la luz^[6]	$\delta \phi ={\frac {2\,G\,M}{c^{2}R}}$	$\delta \phi ={\frac {4\,G\,M}{c^{2}R}}$
Ritmo de precesión del perihelio	$0\,$	${\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}={\frac {6\,\pi \,M}{R}}$
Tiempo de retardo	$0\,$	$2\,M+2\,M\;\log \left({\frac {4\,R_{1}\,R_{2}}{R^{2}}}\right)\,$

Donde L, momento angular.

Región II: Agujero negro de Schwarzschild

Artículo principal: Agujero negro de Schwarzschild

Una de las características interesantes de un universo definido por la métrica de Schwarzschild es la posible ocurrencia de agujeros negros. De hecho fueron las propiedades encontradas en la solución de Schwarzschild, las que llevaron al desarrollo del concepto de agujero negro.

La solución de Schwarzschild contempla el hecho de cuando la masa que genera el campo se halla confinada dentro del radio de Schwarzschild, aparece una región de espacio-tiempo cuyo interior es invisible desde el exterior y dentro de la cual no es posible permanecer en reposo, es decir, donde no es posible encontrar observadores materiales estáticos. Eso es lo que se conoce como un agujero negro.

Un espacio-tiempo definido por la Schwarszchild presentará región II de agujero negro solo cuando toda la materia esté confinada dentro del horizonte de eventos. En un espacio tiempo que presente región II de agujero negro, resulta que cualquier observador que se mueva a lo largo de una geodésica presente en esta región, habrá llegado proveniente de la región I. Ya que toda geodésica temporal que pasa por la región II, se extiende en el pasado hacia la región I. Una vez dentro de la región II un observador no puede salir nunca de ella ya que cualquier línea de universo o trayectoria posible para dicho observador acaba inexorablemente cruzándose con la singularidad de tipo espacial. $R=+{\sqrt {T^{2}-1}}$

Región III: Agujero blanco de Schwarzschild

Artículo principal: Agujero blanco

Esta región es el como el reverso temporal de la región II. Cualquier observador material presente en ella, sólo puede proceder de la "singularidad" $R=-{\sqrt {T^{2}-1}}$ y no puede permanecer estático en la región II, sino que necesariamente cualquier geodésica temporal que pasa por los puntos de la región III acaba saliendo hacia la región I.

Región IV: Región exterior paralela

Esta región es totalmente idéntica a la Región I: una zona exterior al agujero negro asintóticamente plana. Sin embargo, no tiene contacto causal con esta salvo a través de los agujeros: observadores de las regiones I y IV pueden haber estado en contacto dentro del agujero blanco, o podrán establecerlo dentro del agujero negro.

La solución de Schwarzschild completa puede visualizarse como dos universos paralelos asintóticamente planos, conectados por una garganta o agujero de gusano, que se abre y vuelve a cerrar en un tiempo finito.

La relevancia física de las regiones III y IV es dudosa, ya que modelando el colapso gravitatorio de un cuerpo realista no produce tales regiones.