EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS FÍSICA

El teorema de transporte de Reynolds es un teorema fundamental utilizado en la formulación de las leyes básicas de la mecánica de fluidos,^[1] que relaciona la derivada lagrangiana de una integral de volumen de un sistema con una integral en derivadas eulerianas.^[2]

Introducción

En la descripción de un fenómeno es posible elegir dos sistemas de referencia, uno centrado en una partícula por elemento de fluido (descripción lagrangiana) y un sistema inercial centrado en una posición fija en el espacio (descripción euleriana). El teorema del transporte de Reynolds establece una relación entre la variación en el espacio y en el tiempo de cualquier variable entre estos dos sistemas de referencia.

La derivada material permite evaluar la aceleración de una partícula de fluido que en un determinado instante pasa por un punto fijo del espacio.

Si, en lugar de considerar una sola partícula de fluido, se toma un sistema de fluidos, un conjunto de partículas, se tiene un problema idéntico al anterior, pero para un sistema finito en lugar de uno initesimal: el teorema de transporte de Reynolds permite relacionar las cantidades calculadas para un sistema compuesto por las mismas partículas con las calculadas para un volumen fijo en el espacio.^[3]

En cálculo diferencial, el teorema de transporte de Reynolds, también conocido como teorema de transporte de Leibniz-Reynolds, o simplemente el teorema de Reynolds, llamado así por Osborne Reynolds, es una generalización tridimensional de la regla integral de Leibniz. Se utiliza para refundir las derivadas temporales de las cantidades integradas y es útil para formular las ecuaciones básicas de la mecánica del continuo. Este teorema es una expresión matemática que se usa para relacionar integrales y derivadas.

Se utiliza en la mecánica de medios continuos porque relaciona cómo varían las propiedades de una masa de control (cantidad de material a la que hacemos un seguimiento) con cómo varían las propiedades de un volumen de control (entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos).

En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva ${\displaystyle \mathrm{H}}$ con la generación y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente ${\displaystyle \eta }$, una y otra relacionadas por la ecuación. Es decir, relaciona el ritmo de variación en un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de control) o incluso entre varios volúmenes móviles.^[4]

Se utiliza, por ejemplo, para demostrar la ecuación de continuidad en forma indefinida de los sistemas para cada evolución dinámica.

El teorema proporciona un medio para determinar la tasa de cambio de alguna cantidad de interés (por ejemplo, la masa o el momento lineal) tras el movimiento. Esto es lo que se necesita para transformar un principio básico de un sistema basado en la materia a uno formulado en términos de coordenadas espaciales más convenientes.^[2]

Para los movimientos no estacionarios, el teorema de Reynolds también puede aplicarse a los tubos de flujo con una sección transversal no constante. Por consiguiente, no se puede tomar una sección de la tubería como volumen de control. No obstante, el problema puede resolverse refiriéndose a una sección de tubería de longitud infinita, considerando un volumen de control fijo en el tiempo.^[3]

Teorema

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Teorema del transporte de Reynolds» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 4 de diciembre de 2007.

${\displaystyle \mathrm{H}=\left({\int }_V\rho \eta dV\right)}$

La expresión general de este teorema es:

${\displaystyle \frac{D\mathrm{H}}{Dt}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\left({\int }_V\rho \eta dV\right)+{\int }_s\overrightarrow{U}\rho \eta \hat{n}dS}$

Demostración

Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle t+\delta t}$ . Sea ${\displaystyle \alpha }$ alguna propiedad por unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra en la figura:

La cantidad total de la propiedad ${\displaystyle \alpha }$ en el sistema en el instante t es:

$\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV$

Y la cantidad de α en el instante ${\displaystyle t+\delta t}$ es:

$\underset{V(t+\delta t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV$

La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar:

${\displaystyle \frac{D}{Dt}\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV=\underset{\delta t\to 0}{lim}\frac{1}{\delta t}\left\{\underset{V(t+\delta t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV-\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV\right\}}$

Que se obtiene de la definición de derivada:

${\displaystyle \frac{D}{Dt}\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV=\underset{\delta t\to 0}{lim}\left\{\frac{1}{\delta t}\left[\underset{V(t+\delta t)}{\int }\alpha (t+\delta t)\delta V-\underset{V(t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV\right]+\frac{1}{\delta t}\left[\underset{V(t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV-\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV\right]\right\}}$

En esta ecuación:

${\displaystyle \underset{\delta t\to 0}{lim}\frac{1}{\delta t}\left\{\underset{V(t+\delta t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV-\underset{V(t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV\right\}}$

Se representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura:

Y estas dos integrales se pueden reducir a:

${\displaystyle \underset{\delta t\to 0}{lim}\frac{1}{\delta t}\underset{V(t+\delta t)-V(t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV}$

Si consideramos que un elemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+ ${\displaystyle \delta t}$, el barrido de ésta superficie entre los dos instantes conforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura:

Si ${\displaystyle \hat{n}}$ es el vector normal a la superficie y ${\displaystyle \underset{\sim }{U}}$ representa la velocidad, ${\displaystyle \underset{\sim }{U}.\hat{n}}$ será la velocidad normal a la superficie. En el tiempo la superficie se mueve una distancia ${\displaystyle \underset{\sim }{U}.\hat{n}.\delta t}$ normal a la misma. Por lo que:

${\displaystyle dV=\underset{\sim }{U}\cdot \hat{n}\delta tds}$

La integral se reduce a la integral sobre la superficie:

${\displaystyle \underset{\delta t\to 0}{lim}\underset{S(t)}{\int }\alpha (t+\delta t)U\cdot \hat{n}dS}$

Tomando el límite se simplifica a:

${\displaystyle \underset{S(t)}{\int }\alpha (t)\underset{\sim }{U}\cdot \hat{n}dS}$

Aplicando el teorema de Gauss esta integral toma la forma:

${\displaystyle \underset{V(t)}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot (\alpha \underset{\sim }{U})dV}$

Dos términos de la ecuación pueden simplificarse como:

${\displaystyle \underset{\delta t\to 0}{lim}\frac{1}{\delta t}\left[\underset{V(t)}{\int }\alpha (t+\delta t)dV-\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV\right]=\underset{V(t)}{\int }\underset{\delta t\to 0}{lim}\frac{1}{\delta t}\left[\alpha (t+\delta t)-\alpha (t)\right]dV=\underset{V(t)}{\int }\frac{\mathrm{\partial }\alpha }{\mathrm{\partial }t}dV}$

Con estas simplificaciones toma la forma:

${\displaystyle \frac{D}{Dt}\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV=\underset{V(t)}{\int }\left[\frac{\mathrm{\partial }\alpha }{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\alpha \overrightarrow{U})\right]dV}$

En notación indical:

${\displaystyle \frac{D}{Dt}\underset{V(t)}{\int }\alpha (t)dV=\underset{V(t)}{\int }\left[\frac{\mathrm{\partial }\alpha }{\mathrm{\partial }t}+\frac{\mathrm{\partial }(\alpha u_i)}{\mathrm{\partial }{x}_i}\right]dV}$

El lema de Reynolds

El lema de Reynolds introducido por el ingeniero irlandés Osborne Reynolds que demuestra que la variación de flujo de una propiedad es igual a la variación de la propiedad dentro del flujo:

${\displaystyle \frac{d}{dt}{\int }_{V_f(t)}\rho \mathrm{\Psi }dV={\int }_{V_f(t)}\rho \frac{d\psi }{dt}dV}$

Demostración

Sea A una cierta propiedad genérica (escalar, vectorial o tensorial) de un medio continuo, y sea ψ(x, t) la cantidad de esta propiedad A por unidad de masa. Por consiguiente, ρψ(x, t) es la cantidad de la propiedad por unidad de volumen.

Consideremos un volumen material arbitrario de medio continuo que en el instante t ocupa en el espacio un volumen V. La cantidad de la propiedad genérica A en el volumen material V en el instante t será:

${\displaystyle Q(t)={\int }_{V_f(t)}\rho \mathrm{\Psi }dV}$

Donde ψ es la propiedad a estudiar

La variación a lo largo del tiempo del contenido de la propiedad A en el volumen material V vendrá dada por la derivada temporal de Q(t) , que utilizando la expresión de la derivada material de una integral de volumen será:

${\displaystyle Q^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}{\int }_{V_f(t)}\rho \mathrm{\Psi }dV={\int }_{V_f(t)}\left[\frac{d\rho \psi }{dt}+\rho \psi \mathrm{\nabla }\cdot v\right]dV}$

Utilizando la expresión para la derivada material de un producto de funciones, agrupando términos y utilizando la ecuación de continuidad:

${\displaystyle \frac{d}{dt}{\int }_{V_f(t)}\rho \mathrm{\Psi }dV={\int }_{V_f(t)}\left[\rho \frac{d\psi }{dt}+\psi \frac{d\rho }{dt}+\rho \psi \mathrm{\nabla }\cdot v\right]dV}$

${\displaystyle ={\int }_{V_f(t)}\left[\rho \frac{d\psi }{dt}+\psi \left[\frac{d\rho }{dt}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot v\right]\right]dV}$

Como ${\displaystyle \frac{d\rho }{dt}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot v=0}$ por continuidad, se llega a la conclusión de que:

${\displaystyle \frac{d}{dt}{\int }_{V_f(t)}\rho \mathrm{\Psi }dV={\int }_{V_f(t)}\rho \frac{d\psi }{dt}dV}$

El teorema de Routh–Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos.

Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su función de transferencia en lazo abierto, hay que incluir la realimentación haciendo:^[1]

${\displaystyle G_{BC}(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}}$

El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto 1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje imaginario. Dichos puntos marcan el límite de estabilidad del sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual nos indicará a partir de qué valores de K el sistema pasará de estable a inestable (ganancia K límite).

Procedimiento

Dado:

${\displaystyle G(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +a_{1}s+a_0=0}$

donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.

El número de cambios de signo de: a_n, a_n-1, α₁, β₁, …, γ₁, δ₁ (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.

Ejemplo

Ejemplo: G(s) = ${\displaystyle s^4+5s^3+3s^2+s+2}$

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos (-2,57 y 2) con cambio de signo.

Degeneraciones

Hay dos casos de degeneraciones:

• En la primera, el primer elemento de una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva sustituyendo el 0 por un “ε” (número infinitesimalmente positivo), y se continúa calculando. Luego a la hora de comprobar los cambios de signo se deja el 0 que sustituimos y donde nos aparezca “ε” calculamos el límite cuando ε tiende a 0.

• En la segunda, toda una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva montando al polinomio auxiliar de la fila inmediatamente superior a la que nos apareció la fila de ceros. A esta ecuación se le hace la derivada y lo que nos de se sustituye en la fila de ceros, pudiendo así continuar calculando. Al igual que en la anterior degeneración, para comprobar los cambios de signo se deja el 0 que nos apareció.

Si en el denominador de la función de transferencia del sistema tenemos una incógnita, se calcula de igual forma todo el criterio de Routh – Hürwitz y en las filas de la primera columna en la que nos aparezca la incógnita deberá ser su resultado mayor a 0, resolvemos las inecuaciones y cogemos los resultados más restrictivos, siendo estos los que nos determinen que el sistema sea estable.

Finalmente se puede comprobar haciendo Ruffini, y observaremos que en los que nos dio un 0 nos saldrá una par de polos complejos conjugados, si la parte real es negativa el par de polos complejos es estable, sino no se sabe si lo es.

Ejemplos

Ejemplo primera degeneración: G(s) = ${\displaystyle s^4+s^3+2s^2+2s+3}$

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 1, 0, -α, 3, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.

Ejemplo segunda degeneración: G(s) = ${\displaystyle s^4+3s^3+3s^2+3s+2}$

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 3, 2, 0, 2, con lo que la fila 4 es una línea de ceros la cual indica una oscilación permanente, es decir en el límite de la estabilidad.

Comportamiento en el límite de la estabilidad

En el límite de la estabilidad, a través del teorema de Routh podemos saber si el sistema se encuentra en otro estado que no sea estable o inestable, y este es si se encuentra en el límite de la estabilidad, es decir se produce una oscilación mantenida, incluso en estado estacionario esta oscilación se mantendrá.

Esto se produce cuando en nuestra tabla de Routh alguna línea se puede hacer 0 y no haya ningún cambio de signo en nuestra primera columna. En este caso el sistema se encuentra en el límite de la estabilidad, esto representa en el plano complejo dos polos conjugados en el eje imaginarios (sin parte real). Un polo doble en el origen (doble integrador) no sería nuestro caso, ya que un polo en el origen genera inestabilidad. Podemos hallar el lugar de estos polos a través del polinomio auxiliar que obtenemos de la fila superior a la de ceros.