Geometría elemental

 círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.¹ En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y a veces se utiliza indistintamente círculo por circunferencia siendo esta última una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo).² "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."

Circunferencia (C) en negro, diametro (D) en cyan, Radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

Etimología y término actual

La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez".⁴

Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en textos de topología, una rama de las matemáticas. En algunos textos de topología que, normalmente, son traducciones del inglés, se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia.^{[cita requerida]}

En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones tales como círculo polar ártico.^{[cita requerida]}

Los elementos relevantes del círculo coinciden con los de la circunferencia con la única precisión que si dichos elementos están dentro del círculo entonces forman parte de él.

Puntos relevantes

El Centro del círculo coincide con el centro de la circunferencia que es su frontera, cualquier punto de ella tiene vecindades que contienen puntos del interior y del exterior del círculo.

Segmentos relevantes

Se llama Radio al segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral, y por extensión también se dice de la longitud de éste.

Se llama Diámetro al segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º.

Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda define un arco.

Segmento meridiano: línea que hace parte y sobresale del círculo .

Rectas características

Recta secante: Es la recta que corta al círculo en dos partes, con la propiedad de que toda recta secante, que pasa por el centro, es un eje de simetría. Hay una infinidad de ejes de simetría.

Recta tangente: Es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: Es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.

Ángulos

Ángulos en el círculo.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Ángulo central: cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo.

Ángulo inscrito: los extremos y el vértice están sobre la circunferencia.

Ángulo semiinscrito: formado por una cuerda y una recta tangente.

En un círculo de radio uno, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

Curvas

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

Superficies

El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:

Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.

Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.

Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.

Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.

llamada invención circular de superficie limitada

Propiedades

Perímetro del Círculo

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:

${\displaystyle P=2r\cdot \pi }$ (en función del radio).

o

${\displaystyle P=d\cdot \pi }$ (en función del diámetro).

donde ${\displaystyle P\,}$ es el perímetro, ${\displaystyle \pi \,}$ es la constante matemática pi (${\displaystyle \pi =3.141592653589793238462643383279502884...}$), ${\displaystyle r\,}$ es el radio y ${\displaystyle d\,}$ es el diámetro del círculo.

Área del círculo

Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio ${\displaystyle r\,}$, tendrá un área:

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ ; en función del radio (r).

o

${\displaystyle A={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}}$; en función del diámetro (d), pues ${\displaystyle r={\frac {d}{2}}}$

o

${\displaystyle A={\frac {C^{2}}{4\cdot \pi }}}$; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

pues la longitud de dicha circunferencia es: ${\displaystyle C=2\cdot \pi \cdot r}$

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto entre el apotema y el perímetro de este polígono, es decir: ${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}}$.

Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia. Por tanto el área interior es:

${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}={\frac {L\cdot r}{2}}={\frac {(2\cdot \pi \cdot r)\cdot r}{2}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r^{2}}{2}}=\pi \cdot r^{2}}$

Área del círculo como superficie triangular

Círculo desplegado para conformar un triángulo.

Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares, y los consideramos como rectángulos, se forma un triángulo rectángulo de altura r y base 2πr (siendo la longitud de la base la de la circunferencia perimetral).

El área A de este triángulo de altura r, será:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {base} \cdot r\\&{}={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

Semicírculo

Un semicírculo de radio r.

Se llama semicírculo a la mitad de un círculo.⁵ Es la figura geométrica plana (bidimensional) delimitada por un diámetro y la mitad de una circunferencia.

Su área es la mitad de la del círculo. El arco de un semicírculo siempre mide 180°, por ser la mitad de los 360° de un círculo.

El círculo en topología

En geometría y topología, un círculo se denomina disco o bola, según el contexto; será un conjunto cerrado o abierto dependiendo de si contiene o no a la circunferencia que lo limita.

• En coordenadas cartesianas, el círculo abierto con centro ${\displaystyle (a,b)}$ y radio R será:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}$.

El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}}$

• El círculo agujereado es el la corona circular.
• Una esfera es un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija: el radio de la esfera.

Llamativamente, geómetras y topólogos adoptan convenios diferentes para el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera.⁶
Más aún se dice que toda curva simple y cerrada es equivalente a una circunferencia ⁷

Observaciones

• Es la figura límite de una elipse cuando la distancia entre los focos tiende a cero. ⁸

• La intersección de una esfera ( sólido geométrico) con un plano cuya distancia al centro de la esfera es menor que el radio de esta, es un círculo. Si el plano pasa por el centro de la esfera se llama círculo mayor; en los demás casos, círculo menor.

Se llama   Π= Pi al valor del cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Su valor aproximado es 3,14. En realidad Π tiene infinitos decimales. El número Π aparece en todas las expresiones relativas a circunferencia, círculos, así como en figuras espaciales que contengan circunferencias. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA La Longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por Π. ÁREA DEL CÍRCULO El área de un circulo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por Π. L= D · Π= 2 · Π · R A= Π·R2 LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR L= 2·Π ·R· n/ 360 CORONA CIRCULAR.   El Perímetro de la Corona es la suma del de las dos circunferencias. L = 2·Π·R+2·Π·r = 2·Π(R+r) El área de la corona circular, es el área del círculo grande menos el área del círculo pequeño. Acorona = Π·R2 - Π· r2 = Π(R2-r2)

Geometría elemental

Ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto a este. También se la conoce como transversal angular.

Se puede decir que la mediana, la altura y la bisectriz son cevianas o rectas notables de un triángulo. ¹

El nombre de ceviana fue introducido por M.A. Poulain, que lo utilizó en honor de Giovanni Ceva, quien en 1678 había formulado el teorema que lleva su nombre, Teorema de Ceva publicándolo en su artículo De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio. Este teorema da la condición necesaria y suficiente para que tres cevianas se corten en un punto.

Triángulo con una ceviana d.

CIRCUNFERENCIA CEVIANA
La circunferencia ceviana de un punto respecto de un triángulo es la circunferencia circunscrita a su triángulo ceviano.

cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una superficie Gausiana.

En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparamétrica de líneas paralelas.

Un cilindro circular recto.

Clasificación

Un cilindro puede ser:

• cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases.
• cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.
• cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.

Superficie cilíndrica

La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.

Las superficies cilíndricas pueden ser

• superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
• superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

Área de la superficie cilíndrica

La superficie de un cilindro circular recto está conformada por el área de la base, circular en este caso: A = π r², pero como este cilindro tiene 2 bases se multiplica por 2, siendo el área total de las dos bases: A_b = 2 π r²

Además, el área lateral está formada por un rectángulo de altura "h" y de largo del perímetro del círculo L = 2 π r por lo que el área lateral es: A_l = 2 π r h

Por lo tanto, el área total, o área de la superficie cilíndrica es:

A = A_b + A_l

A = 2 π r² + 2 π r h

A = 2 π ( r² + r h )

A = 2 π r ( r + h )

Volumen del cilindro

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base "A_b" por la altura del cilindro "h"

El volumen de un cilindro de base circular, es:

V = π r ²·h

Siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.

Cilindro como superficie cuádrica

Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo de directrices, originan tres tipos de superficies cuádricas cilíndricas:

Cilindro elíptico

Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).

En un sistema ortogonal de coordenadas, tomando como eje z una recta cuya dirección es paralela a la generatriz, si se escoge como origen el centro de simetría, la ecuación de la superficie cilíndrica es similar a la de la superficie cónica correspondiente.

La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$

donde a y b son los semiejes.

Cilindro parabólico

En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:

${\displaystyle y=x^{2}\,}$

Cilindro hiperbólico

En similares condiciones, la ecuación de un superficie hiperbólica es de la forma:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

El área del cilindro es la suma del área de las dos bases circulares más el área lateral.

Siendo A_b=2·π·r² el área de las bases y A_l=2·π·r·h el área lateral, sumando tenemos:

Volumen del cilindro

ANUNCIOS

El volumen del cilindro es:

Geometría elemental

base a la parte inferior de una figura geometrica

En figuras planas (2D)

En el triángulo de la izquierda llamamos base al lado AB. En un triángulo semejante, el dibujado a la derecha, llamaremos base al lado BC.

La base es el lado inferior (que se supone horizontal) de una figura geométrica plana (por ejemplo, un triángulo, un paralelogramo o trapecio). Su longitud se utiliza para calcular el área de esta figura.

Ejemplo

«El área de un triángulo es igual a la longitud de la base multiplicada por la longitud de la altura dividido por 2.»

Esta es una afirmación de carácter general para cualquier triángulo. Una vez elegida su posición, de manera arbitraria e independientemente de cualquier representación, al lado inferior lo llamamos base y si tenemos en cuenta la altura relativa, podemos calcular su área.

En sólidos geométricos (3D)

La base es la cara inferior (que se supone horizontal) de un sólido (por ejemplo, un prisma, un cono o un cilindro). Su área se utiliza para calcular el volumen de este sólido.

Ejemplo

«El volumen de un cilindro es igual al área de la base multiplicada por la longitud de la altura.»

La base, junto con la altura, el radio, o el número π, aparecen muy a menudo en textos didácticos referentes a cálculos de áreas y volúmenes de las figuras a las que pertenecen.

El centro, en geometría, es el punto que se encuentra en medio de una figura geométrica. Es un concepto que varía en su definición dependiendo de la figura de la que estemos hablando, así como de si estamos hablando de figuras de dos o tres dimensiones.

El centro de un [[

El centro es el punto del cual equidistan todos los puntos de una circunferencia.

En la esfera, es el punto del cual equidistan todos los de la superficie.

Un triángulo tiene varios centros, tales como: ortocentro, baricentro, incentro, o circuncentro.

En los polígonos y poliedros, son los puntos en que todas las diagonales que pasan por él quedan divididas en dos partes iguales.

El centro de una figura plana o un sólido se coresponde con el centro de gravedad.

Disco con circunferencia (C) en negro, diámetro (D) en cyan, Radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

Centro de una circunferencia

El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Centro de un polígono regular

El centro de un polígono regular es el punto interior que equidista de cada vértice.

Centro de una esfera

Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Centro de polígonos y poliedros

Son los puntos en que todas las diagonales que pasan por él quedan divididas en dos partes iguales.

Anatomía humana

Glándula tiroidea y glándulas paratiroideas - Sistema endocrino

La glándula tiroidea está situada en la región del cuello, por delante de la tráquea y a los lados de ésta y de la laringe. Consta de dos lobos, derecho e izquierdo, unidos por el istmo; puede existir un lobo piramidal que asciende en dirección al hueso hioideo. Su peso es de 20 a 30g. 

El folículo tiroideo es la unidad estructural de la glándula tiroidea. Tiene forma esférica y está constituido por células llamadas tirocitos. El folículo presenta una cavidad interna ocupada por una sustancia gelatinosa llamada coloide, el cual contiene una larga proteína yodada llamada tiroglobulina. 

A los aminoácidos tirosina de esta proteína se incorporan los yoduros absorbidos y oxidados (yodados) por los tirocitos. Por el desdoblamiento enzimático de la tiroglobulina que llevan a cabo los tirocitos se forman las siguientes hormonas: 




 

- Monoyodotirosina o MIT: consta de un aminoácido tirosina con un solo yodo. 

- Diyodotirosina o DIT: consta de un aminoácido tirosina con dos yodos. 

- Triyodotironina o T3: consta de dos aminoácidos tirosina, uno con dos yodos y el otro con uno. 

- Tetrayodotironina o T4: consta de dos aminoácidos tirosina, cada uno con dos yodos. 

De éstas solo son liberadas en la sangre la T3 y la T4 y son las hormonas que a nivel celular estimulan el metabolismo al incrementar el consumo de oxígeno y la producción de calor; son esenciales para el desarrollo físico y para la maduración del sistema nervioso central. 

Por su parte, la hormona tiroestimulante (T.S.H.) es la que promueve la producción y liberación de las hormonas T3 y T4 lo que, a su vez, depende de los niveles sanguíneos en que se encuentran (retroalimentación negativa). 

Cerca de los folículos se encuentran las células parafoliculares, células claras o células C que producen la hormona llamada calcitonina relacionada con el metabolismo del calcio pues es la encargada de reducir los niveles de calcio en la sangre, dado que promueve el depósito de este ión en los huesos. 

El bocio es el agrandamiento de la glándula tiroidea, más frecuente en la mujer. Cuando es simple, eutiroidiano, no hay trastorno hormonal; puede ser endémico como el que se presentaba en las regiones carentes de yodo; puede acompañarse de hipertiroidismo, rara vez de hipotiroidismo. El hipertiroidismo se manifiesta con exoftalmia (ojos brotados), taquicardia y temblor. 

El hipotiroidismo es responsable del retardo mental y físico del nio (cretinismo) o del mixedema, la caída del cabello, la hipotermia, la apatía y el metabolismo basal bajo que se presenta en el adulto. 

Glándulas paratiroideas 

 

 

Las glándulas paratiroideas son generalmente cuatro y se sitúan en la parte posterior de los lobos tiroides, dos a cada laso; su forma es ovalada con diámetro de unos 5mm. Pueden existir glándulas en sitios diferentes al normal (aberrantes). Los paratirocitos son las células que forman trabéculas o cordones interconectados en medio de los cuales está el tejido vascular; son los encargados de producir la hormona paratiroidea o paratohormona, cuyas funciones son: 

- A nivel del intestino: promover la absorción del calcio proveniente de la dieta. 

- A nivel renal: promover la absorción del calcio impidiendo que se pierda en la orina. 

- A nivel de los huesos: promover la secreción o destrucción de éstos con la consiguiente liberación de calcio. 

La suma de estas funciones tiene como efecto el aumento de la calcemia, el cual es el contrario al de la calcitonina. En caso de ablación o extirpación accidental de las glándulas paratiroideas en el curso de una tiroidectomía se presenta hipoparatiroidismo que tiene como consecuencia la hipocalcemia resultante de la aparición de tetania. Ésta se manifiesta por espasmos musculares, especialmente en la cara, el antebrazo, la mano, el abdomen y la laringe; esto último puede llevar a asfixia. En el caso contrario de hiperplasia o adenoma de las glándulas paratiroideas se presenta hiperparatiroidismo; la hipercalcemia resultante lleva a la excreción excesiva de calcio con la orina y a la calcificación de tejidos blandos. Esto se conoce como osteítis fibrosa quística generalizada.

Glándulas suprarrenales - Sistema endocrino

Las glándulas suprarrenales están situadas en la extremidad de cada riñón y su peso aproximado es de 5g. Constan de un córtex de color amarillo que corresponde a las tres cuartas partes de la glándula y una médula de color rojo oscuro por su rica vascularización. 

La médula suprarrenal tiene origen ectodérmico (a partir de la cresta neural) y contiene unas células que por su alta afinidad por el cromo son llamadas células cromafines o feocromocitos; éstos producen y liberan a la circulación sanguínea catecolaminas (adrenalina o epinefrina y noradrenalina o norepinefrina). Los feocromocitos reciben inervación simpática, la cual es controlada por el hipotálamo. 

Esta estimulación se produce especialmente en situaciones de alarma y tiene como respuesta un efecto simpaticomimético generalizado, de breve duración. Algunas de las respuestas son la taquicardia, el aumento de la presión sanguínea y de la irrigación de algunos órganos. 

El feocromocitoma corresponde al tumor de la médula suprarrenal, el cual produce hipertensión arterial paroxística (paradójica porque no se sostiene en el tiempo). 

La corteza suprarrenal tiene origen mesodérmico y consta de tres zonas que producen diferentes hormonas. Son éstas: 

- Zona glomerulosa: se localiza debajo de la cápsula, en la periferia de la glándula, y consta de células que se acomodan a la manera de un racimo de uvas. Produce mineralocorticoides siendo la aldosterona el más importante. 

Esta hormona mantiene el equilibrio hidroeléctrico ya que actúa a nivel de los túbulos renales promoviendo la reabsorción de sodio, con la consiguiente retención de agua, y la excreción de potasio e hidrógeno. 

En caso de atrofia del córtex suprarrenal, por lo cual no se producen las hormonas corticosuprarrenales se presenta la Enfermedad de Addison, llamada también "enfermedad de bronce", que se caracteriza por la pigmentación bronceada del integumento, por hipotensión y debilitamiento que llevan a la postración y muerte de la persona si no se suministran las hormonas coricosuprarrenales. 

- Zona fasciculada: ocupa una posición intermedia en la corteza y consta de células que se organizan a la manera de cordones. Produce glucocorticoides, de los cuales el más importante es el cortisol o hidrocortisona; ejercen control sobre el metabolismo de los carbohidratos y promueven la conversión de proteínas y lípidos en glucosa. 

En caso de que un tumor de la corteza suprarrenal aumente la secreción de glucocorticoides se presenta el llamado Síndrome de Cushing que se caracteriza por una redistribución de la grasa con aparición de la "cara de luna", la "nuca de búfalo", obesidad del tronco y abdomen pendular con estrías cutáneas. 

- Zona reticular: es la más profunda y queda en contacto con la médula. Está formada por células que se organizan a la manera de una red. Produce andrógenos. Un tumor cortical que afecte la zona reticular se manifiesta por el llamada"Síndrome suprarrenogenital" que se traduce en la virilización de la mujer o en el desarrollo de caracteres sexuales secundarios masculinos si es un niño.

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