Geometría elemental

 círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.¹ En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y a veces se utiliza indistintamente círculo por circunferencia siendo esta última una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo).² "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."

Circunferencia (C) en negro, diametro (D) en cyan, Radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

Etimología y término actual

La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez".⁴

Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en textos de topología, una rama de las matemáticas. En algunos textos de topología que, normalmente, son traducciones del inglés, se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia.^{[cita requerida]}

En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones tales como círculo polar ártico.^{[cita requerida]}

Los elementos relevantes del círculo coinciden con los de la circunferencia con la única precisión que si dichos elementos están dentro del círculo entonces forman parte de él.

Puntos relevantes

El Centro del círculo coincide con el centro de la circunferencia que es su frontera, cualquier punto de ella tiene vecindades que contienen puntos del interior y del exterior del círculo.

Segmentos relevantes

Se llama Radio al segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral, y por extensión también se dice de la longitud de éste.

Se llama Diámetro al segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º.

Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda define un arco.

Segmento meridiano: línea que hace parte y sobresale del círculo .

Rectas características

Recta secante: Es la recta que corta al círculo en dos partes, con la propiedad de que toda recta secante, que pasa por el centro, es un eje de simetría. Hay una infinidad de ejes de simetría.

Recta tangente: Es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: Es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.

Ángulos

Ángulos en el círculo.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Ángulo central: cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo.

Ángulo inscrito: los extremos y el vértice están sobre la circunferencia.

Ángulo semiinscrito: formado por una cuerda y una recta tangente.

En un círculo de radio uno, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

Curvas

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

Superficies

El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:

Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.

Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.

Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.

Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.

llamada invención circular de superficie limitada

Propiedades

Perímetro del Círculo

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:

${\displaystyle P=2r\cdot \pi }$ (en función del radio).

o

${\displaystyle P=d\cdot \pi }$ (en función del diámetro).

donde ${\displaystyle P\,}$ es el perímetro, ${\displaystyle \pi \,}$ es la constante matemática pi (${\displaystyle \pi =3.141592653589793238462643383279502884...}$), ${\displaystyle r\,}$ es el radio y ${\displaystyle d\,}$ es el diámetro del círculo.

Área del círculo

Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio ${\displaystyle r\,}$, tendrá un área:

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ ; en función del radio (r).

o

${\displaystyle A={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}}$; en función del diámetro (d), pues ${\displaystyle r={\frac {d}{2}}}$

o

${\displaystyle A={\frac {C^{2}}{4\cdot \pi }}}$; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

pues la longitud de dicha circunferencia es: ${\displaystyle C=2\cdot \pi \cdot r}$

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto entre el apotema y el perímetro de este polígono, es decir: ${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}}$.

Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia. Por tanto el área interior es:

${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}={\frac {L\cdot r}{2}}={\frac {(2\cdot \pi \cdot r)\cdot r}{2}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r^{2}}{2}}=\pi \cdot r^{2}}$

Área del círculo como superficie triangular

Círculo desplegado para conformar un triángulo.

Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares, y los consideramos como rectángulos, se forma un triángulo rectángulo de altura r y base 2πr (siendo la longitud de la base la de la circunferencia perimetral).

El área A de este triángulo de altura r, será:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {base} \cdot r\\&{}={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

Semicírculo

Un semicírculo de radio r.

Se llama semicírculo a la mitad de un círculo.⁵ Es la figura geométrica plana (bidimensional) delimitada por un diámetro y la mitad de una circunferencia.

Su área es la mitad de la del círculo. El arco de un semicírculo siempre mide 180°, por ser la mitad de los 360° de un círculo.

El círculo en topología

En geometría y topología, un círculo se denomina disco o bola, según el contexto; será un conjunto cerrado o abierto dependiendo de si contiene o no a la circunferencia que lo limita.

• En coordenadas cartesianas, el círculo abierto con centro ${\displaystyle (a,b)}$ y radio R será:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}$.

El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}}$

• El círculo agujereado es el la corona circular.
• Una esfera es un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija: el radio de la esfera.

Llamativamente, geómetras y topólogos adoptan convenios diferentes para el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera.⁶
Más aún se dice que toda curva simple y cerrada es equivalente a una circunferencia ⁷

Observaciones

• Es la figura límite de una elipse cuando la distancia entre los focos tiende a cero. ⁸

• La intersección de una esfera ( sólido geométrico) con un plano cuya distancia al centro de la esfera es menor que el radio de esta, es un círculo. Si el plano pasa por el centro de la esfera se llama círculo mayor; en los demás casos, círculo menor.

Se llama   Π= Pi al valor del cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Su valor aproximado es 3,14. En realidad Π tiene infinitos decimales. El número Π aparece en todas las expresiones relativas a circunferencia, círculos, así como en figuras espaciales que contengan circunferencias. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA La Longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por Π. ÁREA DEL CÍRCULO El área de un circulo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por Π. L= D · Π= 2 · Π · R A= Π·R2 LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR L= 2·Π ·R· n/ 360 CORONA CIRCULAR.   El Perímetro de la Corona es la suma del de las dos circunferencias. L = 2·Π·R+2·Π·r = 2·Π(R+r) El área de la corona circular, es el área del círculo grande menos el área del círculo pequeño. Acorona = Π·R2 - Π· r2 = Π(R2-r2)