FUNCIONES ARITMÉTICAS

FUNCIONES : FUNCIÓN DIVISOR .- ....................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_divisor&printable=yes









FUNCIÓN : ECUACIÓN FUNCIONAL DE CAUCHY .- ...........:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_funcional_de_Cauchy&printable=yes

Ecuaciones Funcionales

2.3. Ecuaciones Funcionales.

Las ecuaciones funcionales son ecuaciones en las que tenemos una relación entre una función en un punto ó en varios, y sus derivadas ó sucesivas evaluaciones.

Pondremos varios ejemplos para que se puedan ver distintas formas de abordar un problema de este tipo:

Encontrar todas las funciones  tales que  (Ecuación Funcional de Cauchy)

Para empezar, como tenemos x e y podemos probar a hacer algunas sustituciones con números.

Lo primero de todo, llamemos  . Entonces es fácil ver que con , obtenemos:

Ahora que sabemos los valores de , podemos probar con :

Parece evidente que si , se cumplirá que  para todo , así que intentemos probarlo por inducción.

    

Así que todas las funciones posibles son   

Observación

Las funciones  que cumplen que  son también , ya que, sea  con , se cumple que

, por lo que  (tenemos que , porque . Se cumple que )

Hallar todas las funciones  tales que

.

Sustituyendo x por y obtenemos que:

 

Encontrar todas las funciones  tales que 

(OME-fase nacional 2001)

Supongamos que existe una función  tal que .

Entonces, si, se cumple que

Por lo que tenemos que , y además 

Pero entonces, haciendo  en la primera igualdad y  en la segunda, tenemos que , por lo que , contradicción con que .

 Por tanto, no existe ninguna función que cumpla las condiciones del enunciado.