FUNCIONES ARITMÉTICAS

FUNCIÓN : CARÁCTER DE DIRICHLET .- ...................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Car%C3%A1cter_de_Dirichlet&printable=yes

  







Donde χ es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Por medio de unaextensión analítica esta función puede ser extendida a una función merofórmica sobre todo el plano complejo, y entonces se la llama función L de Dirichlet y se la escribe como L(s,χ). Un caso especial importante de la función L de Dirichlet, es la Función zeta de Riemann, en el cual χ es el carácter trivial, Fue demostrado por Dirichlet que L(1,χ)≠0 para todos los caracteres de Dirichlet χ, permitiéndole a él desarrollar su teorema sobre números primos en sucesiones aritméticas. Por cierto, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet tiene un polo simple en s=1.




FUNCIÓN : CONVOLUCIÓN DE DIRICHLET .-

Si ƒ y g son dos funciones aritméticas (i.e. funciones de enteros positivos a números complejos), se puede definir una nueva función aritmética ƒ * g, la convolución de Dirichlet de ƒ y g, por medio de

(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(nd)=∑ab=nf(a)g(b)

donde la suma se extiendo sobre todos los divisores positivos d de n, o equivalentemente, sobre todos los pares (a, b) de enteros positivos cuyo producto sea n.

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo, el anillo de Dirichlet, bajo la adición componente a componente (i.e. f + g se define por medio de (f + g)(n)= f(n) + g(n)) y la convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es la función ϵ definida como ϵ(n) = 1 si n = 1 y ϵ(n) = 0 si n > 1. Entonces las unidades (i.e. los elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticas f con f(1) ≠ 0.

Especialmente, la convolución de Dirichlet es¹ asociativa,

(f * g) * h = f * (g * h),

distributiva para la suma

f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f,

es conmutativa,

f * g = g * f,

y tiene un elemento identidad,

f * ϵ = ϵ * f = f.

Más aún, para cada f para el cual f(1) ≠ 0 existe un g tal que f * g = ϵ, llamado inverso de Dirichlet de f.

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es siempre multiplicativa, y cada función multiplicativa tiene una inversa de Dirichlet que es también multiplicativa. El artículo sobre funciones multiplicativas expone un listado de varias relaciones de convolución sobre importantes funciones multiplicativas.

Dada una función completamente multiplicativa f entonces f (g*h) = (f g)*(f h), donde la yuxtaposición representa la multiplicación componente a componente. La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es a a fortiorimultiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa.

En estas fórmulas

ϵ es la identidad multiplicativa. (i.e. ϵ(1) = 1, para todos los demás valores 0.)

1 es la función constante cuyo valor es 1 para todo n. (i.e. 1(n) = 1.) Manteniendo en mente que 1 no es la identidad.

1_C, donde C⊂Z es un conjunto que es la función indicatriz. (i.e. 1_C(n) = 1 si n ∈ C, 0 de cualquier otra manera.)

Id es la función identidad, cuyo valor es n. (I.e. Id(n) = n.)

Id_k es la k-ésima función potencia. (i.e. Id_k(n) = n^k.)

Las otras funciones expuestas en los ejemplos son funciones aritméticas.

• 1 * μ = ϵ   (La inversa de Dirichlet de la función constante 1 es la función de Möbius.) Esto implica que

• g = f * 1 if and only if f = g * μ   (la fórmula de inversión de Möbius).

• λ * |μ| = ϵ   donde λ es la función de Liouville.

• λ * 1 = 1_Sq   donde Sq = {1, 4, 9, ...} es el conjunto de cuadrados

• σ_k = Id_k * 1   definición de la función σ_k

• σ = Id * 1   definición de la función σ = σ₁

• d = 1 * 1   definición de la función d(n) = σ₀

• Id_k = σ_k * μ   Inversión de Möbius de las fórmulas para σ_k, σ, y d.

• Id = σ * μ

• 1 = d * μ

• d ³ * 1 = (d * 1)²

• φ * 1 = Id   Propiedad de la función φ de Euler.

• J_k * 1 = Id_k

• (Id_sJ_r) * J_s = J_s + r

• σ = φ * d   Demostración: convolucionar 1 en ambos miembros de Id = φ * 1.

• Λ * 1 = log   donde Λ es la función de von Mangoldt.