POLIEDROS - GEOMETRÍA CLÁSICA

 número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de número triangular y cuadrado al pentágono, pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones utilizados en la construcción de los números pentagonales no son simétricamente rotacionales.- .............................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=437ab1d8d2793ae8da1c968d7484a18a23dc2bf0&writer=rdf2latex&return_to=N%C3%BAmero+pentagonal

Un número poligonal de la forma  . Los primeros son 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... (OEIS A000326 ). La función de generación de los números pentagonales es

Cada número pentagonal es 1/3 de un número triangular .

Los llamados números pentagonales generalizados son dados por con , , , ..., la primera pocos de los cuales son 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, ... (OEIS A001318 ).

Hay conjeturaron que ser exactamente 210 números enteros positivos que no pueden ser representados usando tres números pentagonales, es decir, 4, 8, 9, 16, 19, 20, 21, 26, 30, 31, 33, 38, 42, 43, 50, 54 , ..., 20250, 33066, (OEIS A007527 ; individuo 1994a).

Hay seis enteros positivos que no se pueden expresar utilizando cuatro números pentagonales: 9, 21, 31, 43, 55 y 89 (OEIS A133929 ).

Todos los números enteros positivos se pueden expresar utilizando cinco números pentagonales.

Dejar que el conjunto de los números primos relativos a 6, los números pentagonales generalizados son dados por . Además, dejando que sea el subconjunto de la para que , los números pentagonales habituales son dados por 

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(OEIS A010815), where 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, ... (OEIS A001318) are generalized pentagonal numbers and  is a q-Pochhammer symbol.

This identity was proved by Euler (1783) in a paper presented to the St. Petersburg Academy on August 14, 1775.

Related equalities are

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		número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían recomponerse de ciertas formas cuando los representaban con piedras o semillas.- .....................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=9979615cdadf6e9ba798372e651eb918ca590eec&writer=rdf2latex&return_to=N%C3%BAmero+poligonal A polygonal number is a type of figurate number that is a generalization of triangular, square, etc., to an -gon for  an arbitrary positive integer. The above diagrams graphically illustrate the process by which the polygonal numbers are built up. Starting with the th triangular number , then (1) Now note that (2) gives the th square number, (3) gives the th pentagonal number, and so on. The general polygonal number can be written in the form (4) (5) where  is the th -gonal number (Savin 2000). For example, taking  in (5) gives a triangular number,  gives a square number, etc. Call a number -highly polygonal if it is -polygonal in  or more ways out of , 4, ... up to some limit. Then the first few 2-highly polygonal numbers up to  are 1, 6, 9, 10, 12, 15, 16, 21, 28, (OEIS A090428). Similarly, the first few 3-highly polygonal numbers up to  are 1, 15, 36, 45, 325, 561, 1225, 1540, 3025, ... (OEIS A062712). There are no 4-highly polygonal numbers of this type less than  except for 1. The generating function for the -gonal numbers is given by the beautiful formula (6) Fermat proposed that every number is expressible as at most  -gonal numbers (Fermat's polygonal number theorem). Fermat claimed to have a proof of this result, although this proof has never been found. Jacobi, Lagrange (in 1772), and Euler all proved the square case, and Gauss proved the triangular case in 1796. In 1813, Cauchy proved the proposition in its entirety. An arbitrary number  can be checked to see if it is a -gonal number as follows. Note the identity (7) so  must be a perfect square. Therefore, if it is not, the number cannot be -gonal. If it is a perfect square, then solving (8) for the rank  gives (9) An -gonal number is equal to the sum of the -gonal number of the same statistical rank and the triangular number of the previous statistical rank.