AMIGOS PARA SIEMPRE: POLIEDROS - GEOMETRÍA CLÁSICA

jueves, 26 de febrero de 2015

POLIEDROS - GEOMETRÍA CLÁSICA

número octogonal es un número figurado que puede ser representado por un octógono.

Un número octogonal n (siendo n > 0) se obtiene mediante la fórmula:

3n^2-2n\,

Los primeros números octogonales son:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936.

Los números octogonales alternan paridad.

número piramidal o número piramidal cuadrado es un número figurado que representa unapirámide con una base de cuatro lados. Estos números pueden representarse mediante la fórmula:

\sum_{k=1}^nk^2={n(n + 1)(2n + 1) \over 6}={2n^3 + 3n^2 + n \over 6}

esto es, añadiendo los cuadrados de los primeros n números enteros, o multiplicando el n.º número oblongo por eln.º número impar. Por inducción matemática es posible derivar una fórmula de la otra. Otra fórmula equivalente aparece también en el Liber Abaci de Fibonacci (1202, ch. II.12). Este es un caso especial de la Fórmula de Faulhaber.

Los primeros números piramidales son: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... ((sucesiónA000330 en OEIS)).

Los números piramidales pueden modelarse físicamente mediante un número dado de bolas en un marco cuadrado, que contiene el número de bolas que forma la base, esto es n². También resuelven el problema de contar el número de cuadrados en una rejilla de n x n.

teorema del número poligonal de Fermat dice que cada número natural es suma de a lo máximo n números poligonales. Cada número natural puede ser escrito como la suma de tres o menos números triangulares, o cuatro o menos números cuadrados, o cinco o menos números pentagonales, y así sucesivamente. 17, por ejemplo, puede ser escrito como sigue:

17 = 10 + 6 + 1 (números triangulares)

17 = 16 + 1 (números cuadrados)

17 = 12 + 5 (números pentagonales).

Un caso especial del teorema bien conocido es el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, que asegura que cada número natural puede ser expresado como la suma de cuatro cuadrados, por ejemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Joseph Louis Lagrange demostró el caso cuadrado en 1770 y Carl Friedrich Gauss demostró el caso triangular en 1796, pero el teorema no fue resuelto de forma general hasta que al final fue demostrado por Cauchy en 1813. Una demostración de Nathanson (ver referencias) está basada en el siguiente lema dado por Cauchy:

Para números naturales impares