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El principio de exclusión de Pauli
Supóngase que se tiene una caja hermética, hueca en el interior, con paredes impenetrables de modo tal que nada puede entrar al interior ni salir al exterior. Una partícula cualesquiera que sea puesta dentro de la caja puede ser considerada como una partícula atrapada en un pozo de potencial con paredes infinitamente altas. Hemos visto ya previamente que, confinando nuestro análisis a una sola dimensión, una partícula atrapada dentro de este pozo de potencial con paredes infinitamente altas es esencialmente un sistema ligado, y la partícula solo podrá tomar cualquiera de una serie de valores discretos de energía, no podrá tomar valor alguno de energía que esté situado entre esos valores discretos. Las primeras tres eigen-funciones de onda ψn (ψ1, ψ2 y ψ3) para una partícula encerrada en una caja de longitud L, así como las respectivas densidades de probabilidad de cada una de tales funciones de onda, se pueden esquematizar del modo siguiente:
Si estamos en plena libertad de haber metido previamente dentro de la caja (antes de sellarla herméticamente) no una sino dos o más partículas, y si estamos en plena libertad de seleccionar el tipo de partícula que queramos meter, entonces, y a primera vista, puesto que todos los sistemas tienden a buscar su configuración de energía mínima (recalcándose que este es un principio fundamental de la física clásica), si metemos en la caja una tipo de partícula que carezca por completo de carga eléctrica (de modo tal que no haya repulsión eléctrica de ningún tipo entre las partículas que vayamos metiendo), y si metemos cinco partículas dentro de la caja, esto es, cinco neutrones, entonces esperamos que todos los neutrones se vayan hacia la configuración del estado fundamental ocupando la capa de energía basal:
Esto es lo que esperaríamos, y no esperaríamos otra cosa más que ésta. Puesto que las cinco partículas son neutrones, no existe fuerza de repulsión eléctrica alguna entre los mismos. Debería ser posible tener lo anterior. Excepto por un pequeño detalle, un principio teórico cuyo inesperado descubrimiento asentó uno de los más grandes avances de la nueva física. Enunciado en su forma más sencilla, dicho principio enuncia lo siguiente: No es posible tener en un sistema físico aislado dos partículas idénticas que tengan todos sus números cuánticos iguales.
Si tal principio es verdadero, entonces, al no haber más que un solo número cuántico (el número cuántico n) para cada uno de los cinco neutrones, sólo sería posible acomodar un neutrón en cada nivel energético, ya que dos neutrones puestos en el mismo nivel energético tendrían el mismo número cuántico n, y la misma Naturaleza se encargaría de “expulsar” con violencia extraordinaria a uno de los neutrones enviándolo hacia otra capa energética en la cual tenga asignado un número cuántico diferente. Y esto no tiene absolutamente nada que ver con repulsión eléctrica alguna, porque se trata de neutrones, partículas neutras carentes de carga eléctrica. Esto significa que, en el mejor de los casos, la configuración de energía mínima se encargaría de acomodar los neutrones del modo siguiente:
Así pues, si cada neutrón es distinguible por un solo número cuántico, el número cuántico n que caracteriza su energía, sólo es posible acomodar un neutrón en cada nivel. La única manera en la cual resulte posible el poder meter más de un neutrón en cada nivel energético es que haya un segundo número cuántico que permita diferenciar a los neutrones de alguna otra manera. Y esto no es algo que nosotros podamos darle a las partículas, esto es algo que dá la Naturaleza. Supóngase que cada neutrón, además del número cuántico n que lo caracteriza, posee otro número cuántico, que por lo pronto llamaremos ξ. La pregunta que nos hacemos a continuación es: ¿cuántos neutrones podemos meter ahora en cada nivel energético? Ello depende, desde luego, de la cantidad de valores distintos que pueda tomar ξ para cada valor de n. Supóngase que ξ puede dos (y sólo dos) valores distintos para cada valor de n. Entonces debe ser posible meter dos neutrones en cada capa, puesto que hay ya dos números cuánticos que lo permiten evitando que en cualesquiera de las capas los dos neutrones tengan sus dos números cuánticos iguales. Si simbolizamos uno de los valores posibles de ξ con una flecha apuntando hacia arriba (↑) y el otro valor posible de ξ con una flecha apuntando hacia abajo (↓), entonces la configuración de energía mínima para cinco neutrones dentro de la caja sería la siguiente:
¿Podemos meter más neutrones en cada nivel? Imposible, no a menos de que haya un tercernúmero cuántico para hacer tal cosa factible, respetando en todo momento con ello el principio de que en un sistema físico cualesquiera no puede haber dos partículas con todos sus números cuánticos iguales.
Como ya se afirmó, la razón por la cual no es posible meter muchos neutrones en un mismo nivel energético no tiene nada que ver con fuerza de repulsión eléctrica alguna, porque los neutrones son partículas carentes de carga eléctrica. ¿Entonces de dónde proviene la naturaleza de la repulsión, que no es de origen eléctrico? Esta repulsión va directo a la naturaleza ondulatoria de la materia, y proviene de las cosas que permiten las matemáticas de la Mecánica Cuántica y las cosas que prohiben.
Si usando neutrones, partículas carentes de carga eléctrica, no podemos meter más de dos neutrones en cada nivel energético, ni siquiera en principio, entonces si en lugar de neutrones usamos electrones, partículas cuya carga eléctrica negativa hace que se repelan en razón inversa del cuadrado de la distancia que las separa (ley de Coulomb), tratar de meter dos electrones en un solo nivel energético se antoja un problema de los mil demonios, algo imposible de lograr. Sin embargo, esto contradice aparentemente nuestros conocimientos sobre el comportamiento químico de la materia. Se sabe que el átomo (al cual consideraremos como una “caja” esférica) es capaz de albergar inclusive ocho o más electrones en una misma capa energética, inclusive pese a la repulsión eléctrica que hay entre ellos. Esto aparentemente sería una prescripción inestable, y el átomo no debería de existir. Sin embargo, el acertijo se aclara cuando consideramos que el átomo, a diferencia de la caja hermética que hemos considerado arriba, posee una fuerza central. La partícula encerrada en una caja sellada como en los ejemplos de arriba no tiene enfrente de sí potencial alguno que altere su comportamiento, ya que suponemos que el potencial dentro de la caja es constante e igual a cero. En cambio, en el átomo, los electrones están sujetos a un potencial V(r) producido por el protón (o los protones) situado en el núcleo atómico, el cual a su vez es capaz de proporcionar dos números cuánticos adicionales al número cuántico n, los cuales llamaremos l ym. Cada electrón, por su parte, contribuye con su propio número cuántico, que llamaremos s. Esto proporciona cuatro números cuánticos diferentes para caracterizar a cada electrón que está atrapado en esa “caja esférica” que es el átomo. Las combinaciones posibles de valores de esos cuatro números cuánticos es lo que hace posible la rica variedad de combinaciones que dan origen a los elementos. A fin de cuentas, la disponibilidad de cuatro números cuánticos resulta ser lo suficientemente poderoso para sobreponerse incluso a la repulsión eléctrica que guardan entre sí los electrones que forma parte del átomo.
Veamos a continuación un poco más a fondo el aspecto teórico bajo el cual ciertas combinaciones de funciones de onda hacen que algo sea posible y otras combinaciones de funciones de onda hacen que algo sea imposible.
En la mecánica clásica es posible distinguir partículas idénticas la una de la otra especificando la trayectoria de cada partícula. Si dos canicas idénticas están rodando sobre una mesa, podemos especificar a la primera canica recorriendo una trayectoria y a la segunda canica recorriendo otra trayectoria. En la Mecánica Cuántica las partículas idénticas no pueden ser distinguidas la una de la otra porque el principio de incertidumbre nos niega la posibilidad de que podamos especificar trayectorias exactas. Esto tiene una consecuencia importante, porque la función de onda de un sistema combinado de partículas interactuantes tampoco debe distinguir a las partículas. Considérese la función de onda para el estado fundamental del átomo de helio en el cual tenemos dos electrones en la misma órbita (cuyas funciones de onda espaciales designaremos aquí como φ1s) pero cuyas funciones de onda de spin (las cuales designaremos como α) son diferentes. La función de onda
no es satisfactoria porque permite distinguir a los electrones 1 y 2 el uno del otro (si el electrón 1 es el que tiene el spin “hacia arriba” entonces el electrón 2 es el que tiene el spin “hacia abajo” de acuerdo con esta función de onda). En cambio cualquiera de las siguientes funciones de onda no poseen este problema (el factor 1/√2! es una constante de normalización):
La primera función de onda es simétrica porque un intercambio en los dos electrones no cambia a la función. La segunda función de onda es antisimétrica porque un intercambio en los dos electrones cambia el signo de la función.
Considérense ahora dos partículas que no interactúan entre sí, a las cuales meteremos en un pozo de potencial rectangular infinito. Sea Ψ(x1,x2) la función de onda independiente del tiempo del sistema que combina las dos funciones de onda de las partículas, en donde x1 es la posición de la partícula 2 y x2 es la posición de la partícula 2. La probabilidad de encontrar a la partícula 1 en dx1 y a la partícula 2 en dx2 será entonces:
Aunque se le ha asignado un número a cada partícula para propósitos de discusión, esta identidad impone la restricción sobre la función de onda de que el numerado no tiene consecuencia física alguna, esto es, si intercambiamos los números 1 y 2 la probabilidad que se ha definido arriba no cambiará. En pocas palabras:
Esta ecuación será válida ya sea que la función de onda Ψ sea simétrica:
o que la función de onda Ψ sea antisimétrica:
Si metemos dos partículas en un pozo de potencial rectangular infinito cuyas paredes están ubicadas en las coordenadas -a y +a, la expresión clásica para la energía del sistema es:
La ecuación mecánico-cuántica correspondiente se enuncia substituyendo a los momentums P1, y P1 por los respectivos operadores mecánico-cuánticos en la siguiente eigenecuación:
siendo los operadores:
Tenemos entonces la siguiente ecuación de Schrödinger para el sistema de dos partículas:
Nuevamente, para resolver esta ecuación diferencial, recurrimos a la técnica de separación de variables, pudiendo escribir en este caso:
Haciendo la substitución y dividiendo entre ψ(x1)ψ(x2) llegamos a lo siguiente después de transponer uno de los términos a la derecha:
Como se ha hecho ver en casos anteriores con la técnica de separación de variables, cada lado de esta relación debe ser igual a una constante que llamaremos E1. Esto nos resulta entonces en las siguientes dos ecuaciones:
en donde se ha hecho E2 = E - E1. Las soluciones a estas dos ecuaciones, tomando en cuenta que las funciones de onda deben ser iguales a cero en las paredes del pozo de potencial, vienen siendo las mismas que ya se han discutido previamente.
En donde las energías de cada nivel están dadas por (el nivel E0 se debe tomar simplemente como una constante de referencia):
La energí total del sistema de dos partículas puestas dentro del pozo de potencial será entonces:
La función de onda combinada de las dos partículas vendrá siendo la siguiente:
Supóngase, a modo de ejemplo, que en el pozo de potencial infinito (o lo que es lo mismo, en una caja con paredes rígidas) metemos dos partículas cuyas energías las sitúan en los niveles E1 y E4:
Entonces una función de onda total posible viene siendo la siguiente:
Esta es nuestra primera solución ondulatoria al sistema combinado de dos partículas. Pero en realidad no es una solución aceptable, porque la función de onda no satisface ni el requisito de simetría ni el requisito de antisimetría, puesto que en la segunda solución posible:
resulta claro que Ψ4,1 es diferente de +Ψ1,4 y de -Ψ1,4, o sea Ψ4,1 ≠ ±Ψ1,4.
Hay, sin embargo, una manera de obtener una solución total ya sea simétrica o antisimétrica, y ésta consiste en combinar las dos soluciones posibles ya sea sumándolas o restándolas. Si sumamos las dos soluciones obtenemos una función de onda total simétrica:
mientras que si restamos las dos soluciones obtenemos una función de onda total antisimétrica:
Este procedimiento es de carácter general. Las soluciones ψn(x1) y ψn(x2) son las funciones de onda para las partículas individuales. A partir de tales funciones de onda, siempre podemos contruír una función de onda total simétrica:
o una función de onda total antisimétrica:
Si estamos en plena libertad de haber metido previamente dentro de la caja (antes de sellarla herméticamente) no una sino dos o más partículas, y si estamos en plena libertad de seleccionar el tipo de partícula que queramos meter, entonces, y a primera vista, puesto que todos los sistemas tienden a buscar su configuración de energía mínima (recalcándose que este es un principio fundamental de la física clásica), si metemos en la caja una tipo de partícula que carezca por completo de carga eléctrica (de modo tal que no haya repulsión eléctrica de ningún tipo entre las partículas que vayamos metiendo), y si metemos cinco partículas dentro de la caja, esto es, cinco neutrones, entonces esperamos que todos los neutrones se vayan hacia la configuración del estado fundamental ocupando la capa de energía basal:
Esto es lo que esperaríamos, y no esperaríamos otra cosa más que ésta. Puesto que las cinco partículas son neutrones, no existe fuerza de repulsión eléctrica alguna entre los mismos. Debería ser posible tener lo anterior. Excepto por un pequeño detalle, un principio teórico cuyo inesperado descubrimiento asentó uno de los más grandes avances de la nueva física. Enunciado en su forma más sencilla, dicho principio enuncia lo siguiente: No es posible tener en un sistema físico aislado dos partículas idénticas que tengan todos sus números cuánticos iguales.
Si tal principio es verdadero, entonces, al no haber más que un solo número cuántico (el número cuántico n) para cada uno de los cinco neutrones, sólo sería posible acomodar un neutrón en cada nivel energético, ya que dos neutrones puestos en el mismo nivel energético tendrían el mismo número cuántico n, y la misma Naturaleza se encargaría de “expulsar” con violencia extraordinaria a uno de los neutrones enviándolo hacia otra capa energética en la cual tenga asignado un número cuántico diferente. Y esto no tiene absolutamente nada que ver con repulsión eléctrica alguna, porque se trata de neutrones, partículas neutras carentes de carga eléctrica. Esto significa que, en el mejor de los casos, la configuración de energía mínima se encargaría de acomodar los neutrones del modo siguiente:
Así pues, si cada neutrón es distinguible por un solo número cuántico, el número cuántico n que caracteriza su energía, sólo es posible acomodar un neutrón en cada nivel. La única manera en la cual resulte posible el poder meter más de un neutrón en cada nivel energético es que haya un segundo número cuántico que permita diferenciar a los neutrones de alguna otra manera. Y esto no es algo que nosotros podamos darle a las partículas, esto es algo que dá la Naturaleza. Supóngase que cada neutrón, además del número cuántico n que lo caracteriza, posee otro número cuántico, que por lo pronto llamaremos ξ. La pregunta que nos hacemos a continuación es: ¿cuántos neutrones podemos meter ahora en cada nivel energético? Ello depende, desde luego, de la cantidad de valores distintos que pueda tomar ξ para cada valor de n. Supóngase que ξ puede dos (y sólo dos) valores distintos para cada valor de n. Entonces debe ser posible meter dos neutrones en cada capa, puesto que hay ya dos números cuánticos que lo permiten evitando que en cualesquiera de las capas los dos neutrones tengan sus dos números cuánticos iguales. Si simbolizamos uno de los valores posibles de ξ con una flecha apuntando hacia arriba (↑) y el otro valor posible de ξ con una flecha apuntando hacia abajo (↓), entonces la configuración de energía mínima para cinco neutrones dentro de la caja sería la siguiente:
¿Podemos meter más neutrones en cada nivel? Imposible, no a menos de que haya un tercernúmero cuántico para hacer tal cosa factible, respetando en todo momento con ello el principio de que en un sistema físico cualesquiera no puede haber dos partículas con todos sus números cuánticos iguales.
Como ya se afirmó, la razón por la cual no es posible meter muchos neutrones en un mismo nivel energético no tiene nada que ver con fuerza de repulsión eléctrica alguna, porque los neutrones son partículas carentes de carga eléctrica. ¿Entonces de dónde proviene la naturaleza de la repulsión, que no es de origen eléctrico? Esta repulsión va directo a la naturaleza ondulatoria de la materia, y proviene de las cosas que permiten las matemáticas de la Mecánica Cuántica y las cosas que prohiben.
Si usando neutrones, partículas carentes de carga eléctrica, no podemos meter más de dos neutrones en cada nivel energético, ni siquiera en principio, entonces si en lugar de neutrones usamos electrones, partículas cuya carga eléctrica negativa hace que se repelan en razón inversa del cuadrado de la distancia que las separa (ley de Coulomb), tratar de meter dos electrones en un solo nivel energético se antoja un problema de los mil demonios, algo imposible de lograr. Sin embargo, esto contradice aparentemente nuestros conocimientos sobre el comportamiento químico de la materia. Se sabe que el átomo (al cual consideraremos como una “caja” esférica) es capaz de albergar inclusive ocho o más electrones en una misma capa energética, inclusive pese a la repulsión eléctrica que hay entre ellos. Esto aparentemente sería una prescripción inestable, y el átomo no debería de existir. Sin embargo, el acertijo se aclara cuando consideramos que el átomo, a diferencia de la caja hermética que hemos considerado arriba, posee una fuerza central. La partícula encerrada en una caja sellada como en los ejemplos de arriba no tiene enfrente de sí potencial alguno que altere su comportamiento, ya que suponemos que el potencial dentro de la caja es constante e igual a cero. En cambio, en el átomo, los electrones están sujetos a un potencial V(r) producido por el protón (o los protones) situado en el núcleo atómico, el cual a su vez es capaz de proporcionar dos números cuánticos adicionales al número cuántico n, los cuales llamaremos l ym. Cada electrón, por su parte, contribuye con su propio número cuántico, que llamaremos s. Esto proporciona cuatro números cuánticos diferentes para caracterizar a cada electrón que está atrapado en esa “caja esférica” que es el átomo. Las combinaciones posibles de valores de esos cuatro números cuánticos es lo que hace posible la rica variedad de combinaciones que dan origen a los elementos. A fin de cuentas, la disponibilidad de cuatro números cuánticos resulta ser lo suficientemente poderoso para sobreponerse incluso a la repulsión eléctrica que guardan entre sí los electrones que forma parte del átomo.
Veamos a continuación un poco más a fondo el aspecto teórico bajo el cual ciertas combinaciones de funciones de onda hacen que algo sea posible y otras combinaciones de funciones de onda hacen que algo sea imposible.
En la mecánica clásica es posible distinguir partículas idénticas la una de la otra especificando la trayectoria de cada partícula. Si dos canicas idénticas están rodando sobre una mesa, podemos especificar a la primera canica recorriendo una trayectoria y a la segunda canica recorriendo otra trayectoria. En la Mecánica Cuántica las partículas idénticas no pueden ser distinguidas la una de la otra porque el principio de incertidumbre nos niega la posibilidad de que podamos especificar trayectorias exactas. Esto tiene una consecuencia importante, porque la función de onda de un sistema combinado de partículas interactuantes tampoco debe distinguir a las partículas. Considérese la función de onda para el estado fundamental del átomo de helio en el cual tenemos dos electrones en la misma órbita (cuyas funciones de onda espaciales designaremos aquí como φ1s) pero cuyas funciones de onda de spin (las cuales designaremos como α) son diferentes. La función de onda
φ1s(1) φ1s(2) α(1) α(2)
no es satisfactoria porque permite distinguir a los electrones 1 y 2 el uno del otro (si el electrón 1 es el que tiene el spin “hacia arriba” entonces el electrón 2 es el que tiene el spin “hacia abajo” de acuerdo con esta función de onda). En cambio cualquiera de las siguientes funciones de onda no poseen este problema (el factor 1/√2! es una constante de normalización):
ψ1 = (1/√2!)[φ1s(1) φ1s(2) α(1) β(2) + φ1s(2) φ1s(1) α(2) β(1)]
ψ2 = (1/√2!)[φ1s(1) φ1s(2) α(1) β(2) - φ1s(2) φ1s(1) α(2) β(1)]
ψ2 = (1/√2!)[φ1s(1) φ1s(2) α(1) β(2) - φ1s(2) φ1s(1) α(2) β(1)]
La primera función de onda es simétrica porque un intercambio en los dos electrones no cambia a la función. La segunda función de onda es antisimétrica porque un intercambio en los dos electrones cambia el signo de la función.
Considérense ahora dos partículas que no interactúan entre sí, a las cuales meteremos en un pozo de potencial rectangular infinito. Sea Ψ(x1,x2) la función de onda independiente del tiempo del sistema que combina las dos funciones de onda de las partículas, en donde x1 es la posición de la partícula 2 y x2 es la posición de la partícula 2. La probabilidad de encontrar a la partícula 1 en dx1 y a la partícula 2 en dx2 será entonces:
Aunque se le ha asignado un número a cada partícula para propósitos de discusión, esta identidad impone la restricción sobre la función de onda de que el numerado no tiene consecuencia física alguna, esto es, si intercambiamos los números 1 y 2 la probabilidad que se ha definido arriba no cambiará. En pocas palabras:
Esta ecuación será válida ya sea que la función de onda Ψ sea simétrica:
o que la función de onda Ψ sea antisimétrica:
Si metemos dos partículas en un pozo de potencial rectangular infinito cuyas paredes están ubicadas en las coordenadas -a y +a, la expresión clásica para la energía del sistema es:
La ecuación mecánico-cuántica correspondiente se enuncia substituyendo a los momentums P1, y P1 por los respectivos operadores mecánico-cuánticos en la siguiente eigenecuación:
siendo los operadores:
Tenemos entonces la siguiente ecuación de Schrödinger para el sistema de dos partículas:
Nuevamente, para resolver esta ecuación diferencial, recurrimos a la técnica de separación de variables, pudiendo escribir en este caso:
Haciendo la substitución y dividiendo entre ψ(x1)ψ(x2) llegamos a lo siguiente después de transponer uno de los términos a la derecha:
Como se ha hecho ver en casos anteriores con la técnica de separación de variables, cada lado de esta relación debe ser igual a una constante que llamaremos E1. Esto nos resulta entonces en las siguientes dos ecuaciones:
en donde se ha hecho E2 = E - E1. Las soluciones a estas dos ecuaciones, tomando en cuenta que las funciones de onda deben ser iguales a cero en las paredes del pozo de potencial, vienen siendo las mismas que ya se han discutido previamente.
Para n impar (n = 1, 3, 5, 7, ...):
Para n par (n = 2, 4, 6, 8):
En donde las energías de cada nivel están dadas por (el nivel E0 se debe tomar simplemente como una constante de referencia):
La energí total del sistema de dos partículas puestas dentro del pozo de potencial será entonces:
La función de onda combinada de las dos partículas vendrá siendo la siguiente:
Supóngase, a modo de ejemplo, que en el pozo de potencial infinito (o lo que es lo mismo, en una caja con paredes rígidas) metemos dos partículas cuyas energías las sitúan en los niveles E1 y E4:
Entonces una función de onda total posible viene siendo la siguiente:
Esta es nuestra primera solución ondulatoria al sistema combinado de dos partículas. Pero en realidad no es una solución aceptable, porque la función de onda no satisface ni el requisito de simetría ni el requisito de antisimetría, puesto que en la segunda solución posible:
resulta claro que Ψ4,1 es diferente de +Ψ1,4 y de -Ψ1,4, o sea Ψ4,1 ≠ ±Ψ1,4.
Hay, sin embargo, una manera de obtener una solución total ya sea simétrica o antisimétrica, y ésta consiste en combinar las dos soluciones posibles ya sea sumándolas o restándolas. Si sumamos las dos soluciones obtenemos una función de onda total simétrica:
mientras que si restamos las dos soluciones obtenemos una función de onda total antisimétrica:
Este procedimiento es de carácter general. Las soluciones ψn(x1) y ψn(x2) son las funciones de onda para las partículas individuales. A partir de tales funciones de onda, siempre podemos contruír una función de onda total simétrica:
o una función de onda total antisimétrica:
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