FÍSICA - ECUACIONES DE LA FÍSICA

 ecuación de Korteweg-de Vries o KdV es una ecuación en derivadas parciales que incluye efectos de no linealidad y dispersión a la vez. Físicamente es un modelo que describe, en una dimensión espacial, la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos. La propagación de ondas solitarias en la superficie del agua, en canales poco profundos, es un ejemplo de medio dispersivo en el que se pueden hallar este tipo de ondas. En la física-matemática representa el prototipo de un sistema no lineal completamente integrable. El método por medio del cual se mostró su integrabilidad se conoce como el método de dispersión inversa. La ecuación aparece escrita en la literatura de muchas formas y ésta es una de ellas:

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Pero no fue hasta 1895, cuando Diederick Johannes Korteweg y su estudiante Gustav de Vries presentaron la ecuación en derivadas parciales no lineal que captura la esencia de este fenómeno , donde el segundo término es el de dispersión y el tercero es el nolineal, una solución solitón es, donde  y son constantes arbitrarias. Sin embargo, la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) aparte de tener como soluciones a las great waves of translation nos reservaba grandes sorpresas⁶. En concreto, lo que estos teóricos averiguaron sigue teniendo validez hoy, al menos en sus puntos esenciales. Incluso, la teoría de Korteweg y De Vries encontró una clara aceptación en muchas ramas del saber científico, desde la física de partículas hasta la biología molecular.

Además, es posible que pueda contribuir a explicar uno de los misterios más excitantes de la ciencia moderna: el porqué algunas sustancias, en unas determinadas condiciones, se convierten en superconductoras, es decir, que de repente se dejan violar por la corriente eléctrica, sin prestar resistencia alguna. Pero, qué es lo que habían encontrado los físicos holandeses? Por qué podían, de pronto, comprender la existencia de la onda única? El motivo es que no creían en la inmutabilidad de los axiomas. Acabamos de conocer una de estas sentencias: la velocidad de una ola depende sólo de la longitud de onda y no de la fuerza de la onda, es decir, de la amplitud. El axioma naturalmente todavía sigue siendo cierto... bueno, casi siempre. Siempre que la cresta y el seno de la ola no sean excesivamente grandes que el mar o el lago tenga muchos centenares de metros y que ignoremos la fuerza de la ola.

Otro ejemplo de ecuación en derivadas parciales con soluciones solitónicas es la ecuación de difusión, , una de cuyas soluciones es "la onda viajera'', con .

Quisiéramos terminar esta parte con una observación, existen muchas ecuaciones que tiene como solucionessolitary waves, pero estas usualmente no son soluciones solitónicas, ellas son undergo inelastic scattering. Pro ejemplo, las soluciones onda solitaria del laplaciano  no son solitones, aunque la mayoría de los físicos se refieren a ellas como tales⁷.

Las ondas solitónicas.

Seguro se están preguntando qué es lo que ocurrió en el canal de Russell. Como se sabe, los canales tienen la profundidad suficiente para que las quillas no toquen el fondo. Ahora bien, si la ola originada por la proa de un barco que navega por el canal tiene una altura desmesurada, entonces el citado axioma deja de ser válido. Además de la longitud de onda resulta que la fuerza de la onda -que se refleja en la altura de su cresta- influye en la velocidad de propagación. En términos técnicos podemos afirmar que, si la superficie del agua está lisa, pero la amplitud de onda es grande, la velocidad vendrá dada en función tanto de la longitud de onda como de la altura de la misma. Ahora ya puede el lector profundizar casi por sí mismo en los secretos de la onda única, puesto que, si la velocidad de propagación de una onda no depende únicamente de su longitud, sino que entra en juego también su altura, entonces puede imaginarse todas las combinaciones posibles.

Mientras que las ondas normales se propagan linealmente y se construyen mediante ecuaciones sencillas, fáciles de resolver, en el caso de la onda única aparecen ante nuestros ojos procesos no lineales. Las ecuaciones no lineales son una maniobra matemática que un físico teórico, o un matemático puro, sólo utiliza cuando resulta absolutamente imprescindible. Las olas únicas, sin embargo, parecían no dar motivo para ello. Además, se las consideraba una rareza científica con poca importancia práctica y teórica.

Esta actitud despectiva por parte de los científicos cambió de forma rotunda cuando, en los años sesenta, comenzó la gran explosión de los ordenadores. Y qué es lo que puede hacer de modo inmejorable un ordenador? Simular procesos que no pueden ser observados en tiempo real sobretodo. A mediados de 1960 los científicos comenzaron a usar computadoras digitales para estudiar la propagación de ondas no lineales, y fue entonces cuando las primeras ideas de Russell empezaron a ser apreciadas. Russell vio a la onda solitaria como una entidad dinámica autosuficiente, una entidad que mostraba propiedades de partícula. Desde la perspectiva moderna, esto es usado como un elemento constructivo para formular comportamientos dinámicos complejos de sistemas de ondas en toda la ciencia: desde hidrodinámica hasta óptica no lineal, desde plasmas hasta colisiones de ondas, desde tornados hasta la gran Mancha Roja de Júpiter, desde partículas elementales de la materia hasta partículas elementales del conocimiento. Cada tipo de movimiento posible de las ondas ha sido estudiado, incluyendo los que resultan de la vibración de cuerdas, ondas de presión, ondas de agua y ondas electromagnéticas. De hecho, la mayor parte de la información que recibimos viene del movimiento de ondas. Procesamos información de lo que vemos y oímos. El sonido llega a nuestros oídos a través de ondas en el aire y somos capaces de leer este texto debido a las ondas de luz que rebotan de la página. Hoy en día contamos con mucha información que recibimos de la radio y la televisión, la cual llega a nosotros en forma de ondas electromagnéticas. Existen ahora varias definiciones de solitón, dependiendo de las áreas en que el investigador trabaja, pero la idea central de este concepto se manifiesta en todas sus definiciones. Así, por solitón nosotros conceptuaremos a una onda solitaria en forma de un pulso que es capaz de trasladarse sin cambio de forma y sin pérdidas de energía, y además es capaz de conservar su estructura después de un choque con su semejante, es decir, con comportamiento tipo partícula.

En 1965 Norman Zabusky y Martin Kruskal retomaron los estudios numéricos que Fermi, Pasta yUlam realizaron en 1955 en Los Alamos para los fonones en una red anarmónica. Este modelo numérico era muy semejante a una discretización de la ecuación de KdV. Estos dos investigadores, descubrieron la existencia de un tipo de ondas localizadas muy especiales, que exhibían un comportamiento tipo partícula. Es decir, cuando dos de estas ondas interactúan, salen de la colisión con su identidad intacta, y solamente con un pequeño cambio de fase. Las llamaron ondas solitrónicas, pero como este término ya se usaba en patentes industriales, tomaron el nombre de solitones. Este término fue elegido para estar en concordancia con el nombre de las partículas elementales, tales como electrón, protón, fotón, etc. Como un comportamiento tipo partícula era inusual en ondas no lineales, Zabusky, Kruskal y sus colegas buscaron entender a estos solitones. Como resultado de sus esfuerzos, dos años más tarde encontraron un método para resolver la ecuación KdV, que explicaba la dinámica del solitón. No pasaría mucho tiempo antes de que otros investigadores encontraran la presencia de solitones en otros sistemas y empezaran a aplicar técnicas similares⁸.

Ellos consideraron un problema de condiciones iniciales con condiciones de frontera periódicas para la ecuación de KdV. Así encontraron un fenómeno de recurrencia, que no podía ser el de Poincaré. Habían encontrado elsolitón que pasamos a describir. Las great wave of translation, o el 1-solitón de Russell, interacciona con otros de su misma clase de una forma sorprendente para ser soluciones de una ecuación no lineal. Cuando dos de estos solitones chocan, tras un tiempo de interacción no lineal, emergen de la región de colisión preservando la forma inicial, de la interacción sólo queda un retraso o desfase⁹.

Así, un solitón es una onda solitaria que preserva asintóticamente su forma y velocidad en interacciones no lineales con otras ondas solitarias o con otras perturbaciones localizadas.

Un paso decisivo en la teoría de sistemas integrables fue la integración de la ecuación de KdV. Así, Gardner, Greene, Kruskal y Miura observaron que si consideramos un potencial u(x) para la ecuación de Schrödinger estacionaria en la recta los correspondientes datos de scattering se transforman de forma extremadamente sencilla cuando el potencial cambia u(x)u(x,t), siempre que u(x,t) satisfaga la ecuación de KdV¹⁰. Por tanto, dado una condición inicial u(x) para KdV, podemos hallar los datos de scattering asociados y determinar su evolución de manera inmediata. Tan sólo resta por encontrar que potencial u(x,t) tiene estos datos de scattering; esto es, estamos ante un problema inverso. La solución de una ecuación integral lineal conocida, como de Gelfand-Levitan-Marchenko, lleva a la resolución del problema inverso planteado y, por lo tanto, al problema de condiciones iniciales para KdV. Este método se conoce como la transformada espectral inversa.

Parecería que sólo una gigantesca hélice podría destruir al solitón. Sin embargo, en lugar de desaparecer, de las olas rotas por el choque surgieron otras intactas, que continuaron avanzando alegremente, como si nada hubiera pasado. Parecía como si cada una de las dos olas únicas conservara su identidad primitiva, y fuera capaz de elevarse de nuevo, tras la confusión del choque, con su antigua forma y vigor. Los resultados fueron tan impresionantes, que Kruskal y sus colegas dieron un nuevo nombre científico a la ola única, el de solitón.

En 1971, dos investigadores de la Academia de Ciencias de la URSS, Vladimir Euguenievich Zakharov (ó Sajarov) y Aleksei Borisovich Shabat, descubrieron que había otra ecuación interesante que también tenía solitones: la que hoy conocemos como ecuación no lineal de Schrödinger (nls). El descubrimiento de Zakharov y Shabat era matemáticamente interesante, pero en ese momento parecía no tener relación alguna con la práctica ni las telecomunicaciones, que era la temática que les preocupaba en esos momentos¹¹.

Solitones y avances tecnológicos.

De repente, el solitón se hizo popular. Otros investigadores descubrieron que había solitones en medios líquidos, sólidos, gaseosos, e incluso en la corriente eléctrica o en un campo electromagnético. Se han podido estudiar solitones en sistemas tan diferentes como las atmósferas de los planetas, cristales, plasmas, fibras de vidrio, redes nerviosas y aparatos electrónicos. Es absolutamente emocionante lo que sospechan los biólogos moleculares: desde hace mucho tiempo están buscando el mecanismo que permite transportar los paquetes de energía a través de las cadenas de moléculas biológicas, como las proteínas, y conseguir de este modo efectos a grandes distancias. Algunos expertos creen que este efecto a distancia no tiene nada que ver con la química normal, sino que existen solitones que atraviesan, como fantasmas, la estructura de las moléculas.

En los periódicos, desde hace algún tiempo, vienen siendo noticia de primera página los superconductores a altas temperaturas. "Superconducción: a temperaturas próximas al punto cero absoluto -menos 273 grados centígrados- desaparece la resistencia eléctrica en algunos metales''. O esta otra noticia: "Determinados materiales cerámicos se convierten en superconductores a altas temperaturas''. Entretanto se baraja la posibilidad de que existan también superconductores a temperatura ambiente.

Ahora, los físicos teóricos sospechan que los solitones juegan un papel clave en este proceso. Ya se han atrapado ondas únicas en determinada estructuras superconductoras las denominadas transiciones de Josephson. Los científicos esperan que, con ayuda de solitones, algún día se podrán almacenar y transportar informaciones en ordenadores extremadamente rápidos. La propiedad característica del solitón es que, además de presentar una consistencia mucho mayor que las ondas normales, tiene una larga duración de vida. Un solitón sobre la superficie de una piscina podría ser destruido en cualquier momento con sólo remover el agua con una gigantesca hélice. Pero ojo, también hay solitones que no pueden ser desintegrados jamás, en particular, cuando son topológicas, es decir, cuando en su formación participa algún tipo de torsión. Con ayuda de cintas de goma se comprende lo que queremos decir. Imaginemos una cinta lisa y otra en la que hemos realizado una torsión. Si se tira de los extremos de la primera cinta y luego se suelta, obtenemos una onda única de larga duración, suponiendo que la goma no se comporte linealmente. Pero, si la retorcemos, lo que provocamos es que se almacene energía en ella. Cuando soltamos la goma enroscada, se origina una cresta de onda, y esta vez el solitón es indestructible. Eso sí, el giro en la cinta se podrá desplazar hacia adelante o hacia atrás, pero no seremos capaces de anularlo. En este caso, los científicos hablan de solitones que están topológicamente prisioneros. Este tipo de solitones no tendría mayor interés, si las ondas únicas existieran exclusivamente en las cintas de goma o en cuerdas retorcidas. Pero la realidad es que tales solitones topológicos aparecen en las más diversas configuraciones. Por ejemplo, en un cristal se producen alteraciones en la disposición regular de los átomos que forman la retícula. Aunque estas variaciones son móviles dentro de la retícula, nunca pueden ser eliminadas. También existen solitones topológicos en los superconductores, cuando sus campos magnéticos están presos en tubos angostos. Algo similar ocurre en las cuerdas cósmicas, los hilos de materia primitiva del universo que explicarían cómo pudieron millones de galaxias surgir del plasma primitivo del Big Bang.

Queremos puntualizar solo algunas de las aplicaciones técnicas de estas investigaciones.