martes, 3 de febrero de 2015

FÍSICA - ESTUDIOS Y EJEMPLOS

Composición de movimientos

Un blanco en caída libre

paraboli2.gif (2093 bytes)Una botella se deja caer desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen.Determinar los valores del ángulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tómese g=9.8 m/s2)
Si la altura de la botella es cero. Es decir, la piedra y la botella están a la misma altura en el instante inicial. ¿Cuál será el ángulo de tiro?. Contestar a esta pregunta sin resolver numéricamente el problema
El movimiento curvilíneo de la piedra se realiza bajo la aceleración constante de la gravedad, es decir, es la composición de dos movimientos
  • Uniforme a lo largo del eje horizontal
ax=0
vx=v0·cosθ
x=v0·cosθ·t
  • Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical.ay=-g
    vy=v0·senθ-g·t
    y    =v0·senθ·t-gt2/2
La botella se mueve verticalmente bajo la aceleración constante de la gravedad
a=-g
v=-g·t
y=y0-gt2/2
Cuando se produce el choque, la posición de la piedra y de la botella coinciden
Dividimos la segunda ecuación entre la primera.
Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra.
Ejemplo:
  • Posición de la botella x0=50 m e y0=30 m
  • Velocidad de disparo  v0=20 m/s
El ángulo con el que tenemos que lanzar la piedra es tanθ=30/50, θ=31º
El impacto tiene lugar en la posición x= 50 m y en el instante
20·cos31º·t=50, donde t=2.92 s
En este tiempo la botella se encuentra en
y=y0-gt2/2, es decir, y=30-9.8·2.922/2=-11.65 m
Si la velocidad de disparo fuese de v0=40 m/s, el impacto se produciría cuando la botella se encontrase en y=19.2 m sobre el suelo.

Un vehículo que dispara un proyectil

Vamos a estudiar en esta sección la trayectoria de un proyectil disparado desde un vehículo en movimiento cuando:
  • Se mueve a lo largo de un plano horizontal
  • Asciende a lo largo de un plano inclinado
  • Desciende a lo largo de un plano inclinado

El vehículo se mueve a lo largo de un plano horizontal

Supongamos que un vehículo que se mueve con velocidad v0x alo largo de un plano horizontal sin rozamiento. Dispara un proyectil con velocidad inicial v0y perpendicularmente a la dirección de la velocidad del vehículo tal como se muestra en la figura.
El proyectil se mueve a lo largo de un plano horizontal, a lo largo del eje X con velocidad constante v0x. Su posición en el instante t es
x’=v0x·t
La posición del proyectil en función del tiempo, es
x=v0x·t
y=v0y·t-gt2/2
Cuando el proyectil regresa al plano horizontal y=0, emplea un tiempo de
T=2v0y/g
La distancia horizontal o alcance es
R=2v0x·v0y/g
Que es la misma distancia x’ que recorre el vehículo en el tiempo T. Luego, el vehículo dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia de R=2v0x·v0y/g
Ejemplo:
v0x=15 m/s 
v0y=10 m/s
El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R son
El vehículo recorre x’=30.6 m en el mismo tiempo

El vehículo asciende a lo largo de un plano inclinado

Supongamos que el vehículo asciende por un plano inclinado de ángulo θ.
Establecemos un sistema de referencia tal como se muestra en la figura, el eje X es horizontal y el eje Y es vertical. Calculamos las componentes X e Y de las velocidades iniciales. Las ecuación del movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos: uniforme a lo largo del eje X y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y
x=(v0x·cosθ-v0y·senθ)·t
y=(v0x·senθ+v0y·cosθ)·t-gt2/2
El punto de impacto se encuentra sobre el plano inclinado en la posición y=x·tanθ. Se despeja el tiempo t.
La distancia del origen al punto de impacto es
El vehículo se mueve a lo largo del plano inclinado. Si no hay rozamiento, la fuerza sobre el vehículo es la componente mg·senθ del peso que es de sentido contrario a la velocidadv0x. La ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado es
x’=v0x·t-g·senθ·t2/2
En el tiempo T que tarda el proyectil en chocar con el plano inclinado, se encuentra a una distancia R dada por la expresión anterior. El proyectil es disparado desde el vehículo en el origen en el instante t=0, y es recogido por el mismo vehículo en el instante T, cuando se encuentra a una distancia R del origen medida a lo largo del plano inclinado.
Como caso particular, mencionaremos aquél en el que el proyectil se mueve a lo largo del eje vertical Y. Cuando x=0, v0x·cosθ-v0y·senθ=0, o bien
El proyectil parte del origen y regresa al mismo moviéndose hacia arriba y hacia abajo a lo largo del eje vertical Y.
Cambio de Sistema de Referencia
Podemos analizar el movimiento del vehículo y del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.
La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia a bajo. Las componentes de la aceleración se muestran en la figura
Si su velocidad inicial del vehículo es v0x. Su posición x’ en función del tiempo es
x’=v0x·t-g·senθ·t2/2
La posición del proyectil en función del tiempo respecto de estos ejes es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados
x= v0x·t-g·senθ·t2/2
y=v0y·t-gcosθ·t2/2
Cuando regresa al plano inclinado y=0, emplea un tiempo T y se encuentra a una distancia R del origen
El vehículo recorre la misma distancia x’ en el mismo tiempo t. El vehículo por tanto, dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia R dada por la fórmula anterior.
Cuando  se cumple que
La partícula sale del origen y regresa al origen a lo largo de la dirección vertical. Para comprobarlo, en la expresión de x(t) de la posición del proyectil sustituimos v0x por v0y·tanθ, y multiplicamos ambos miembros por cosθ. Multiplicamos ambos miembros de la expresión y(t) de la posición del proyectil por senθ. Verificamos que
x·cosθ=y·senθ. Es decir, y=x/tanθ,  que es la ecuación de la recta vertical
Ejemplo:
θ=20º
v0x=15 m/s 
v0y=10 m/s
El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R valen
El vehículo recorre x’=24.7 m en el mismo tiempo
Si la velocidad del vehículo v0x=10·tan20=3.64 m/s el proyectil se mueve a lo largo de la dirección vertical. El proyectil sale y regresa al origen.

El vehículo desciende a lo largo de un plano inclinado

Supongamos que el vehículo desciende por un plano inclinado de ángulo θ.
Establecemos un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo
La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia a bajo. Las componentes de la aceleración se muestran en la figura
Si la velocidad inicial del vehículo es v0x. Su posición x’ en función del tiempo es
x’=v0x·t+-g·senθ·t2/2
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0x·t+g·senθ·t2/2
y=v0y·t-gcosθ·t2/2
Cuando regresa al plano inclinado y=0, emplea un tiempo T y se encuentra a una distancia R del origen  dados por
El vehículo recorre la misma distancia x’ en el mismo tiempo T. El vehículo por tanto, dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia de R dada por la fórmula anterior.
 Ejemplo:
θ=20º
v0x=15 m/s 
v0y=10 m/s
El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R son
El vehículo recorre x’=40.5 m en el mismo tiempo
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