FÍSICA - ECUACIONES DE LA FÍSICA

 ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmología física que describen la expansión métrica del espacio en modelos homogéneos e isótropos del Universo dentro del contexto de la Teoría General de la Relatividad. Fueron halladas por Alexander Friedman en 1922¹ a partir de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido con una densidad de energía () y una presión () dadas. Las ecuaciones son:

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    La obtención de las ecuaciones que rigen la evolución del universo puede hacerse con argumentos de la física clásica y utilizando cálculo sencillo al alcance de cualquier alumno de bachillerato. Esta posibilidad es debida al principio cosmológico: condición de homogeneidad e isotropía del universo a gran escala que nos permite utilizar la dinámica newtoniana como una excelente aproximación.
    Si elegimos una región esférica del universo, lo suficiente grande para que la condición de homogeneidad e isotropía sea una buena aproximación, pero lo suficiente pequeña para que las velocidades de alejamiento de las galaxias se mantengan muy por debajo de la velocidad de la luz, un famoso teorema nos asegura que podemos ignorar las fuerzas gravitatorias producidas por el resto de la masa del universo y aplicar la aproximación newtoniana de la relatividad general a dicha región esférica.
    Así, si imaginamos una galaxia en el mismo borde de la esfera que se mueve con velocidad v, podemos aplicar el principio de conservación de la energía en analogía al lanzamiento de un proyectil desde la superficie terrestre como:

energía cinética + energía potencial = constante

donde R es el radio de la esfera, G la constante newtoniana de gravitación y M es la masa que se encuentra en el interior de la esfera elegida. Según las observaciones disponibles hasta el momento podemos afirmar que una esfera del orden de unos pocos centenares de Mpc cumpliría esa condición de homogeneidad e isotropía con gran precisión.
    Podemos poner la masa del interior de la esfera en función de la densidad media  r como M= 4/3 p r R³, y la velocidad de expansión como v=dR/dt. Eligiendo adecuadamente el valor de la constante relacionada con la energía obtenemos la siguiente ecuación (ec.1) para la evolución del parámetro R(t):

v² = [dR/dt]² = 8/3 p G r R² - K c²             [ec. 1]

Donde c es la velocidad de la luz. Ahora la nueva constante adimensional K que aparece en la ecuación anterior está relacionada con la geometría del universo. Por supuesto, ésta no tiene más interpretación en la aproximación newtoniana que la de una mera constante de integración (asociada a la energía por unidad de masa de una partícula como una galaxia). Sin embargo, esta última ecuación diferencial es exactamente la misma que se hubiera obtenido de un tratamiento rigurosamente relativista, donde la constante K sí que tiene un significado preciso:
 

K < 0, el universo tiene una geometría espacial local hiperbólica (tipo silla de montar). K = 0, el universo tiene geometría espacial plana o euclídea. K > 0, el universo tiene geometría esférica y se dice que es cerrado, puesto que su volumen es finito.
	Representación del parámetro de expansión a frente al tiempo en los tres casos de universos posibles con geometría trivial. Expansión eterna (K£0) y futura contracción (K>0). Se acompaña de una analogía bidimensional del tipo de geometría implicada.

    Universos con K£0 se denomina abiertos. La constante K está íntimamente relacionada con la densidad media de materia del universo. Si hallamos el valor de la densidad para la cualK = 0 obtenemos, por sustitución en la ec.1 y simplemente despejando:

donde H(t) no es más que la constante de Hubble para cualquier instante t del universo , es decir H = v/R. Ésta es la denominada densidad crítica. En el presente del universo, la densidad crítica es

r₀ = 3H₀²/8pG = 1.8791 h² 10^-29 g/cm³

siendo h la constante de Hubble en unidades de 100 km/s/Mpc. En términos más intuitivos, esta densidad corresponde a una densidad tan baja como la de la masa de 5-6 átomos de hidrógeno por metro cúbico.
    Se suele definir un parámetro de densidad W como la relación entre la densidad del universo en unidades de la densidad crítica (W = r/r₀) . Si la densidad de materia actual del universo es igual a la densidad crítica, en otras palabras, si W = 1, estamos en el caso de un universo de geometría espacial plana. Éste es el denominado modelo de Einstein-de Sitter y es el más sencillo de todos los posibles. Sin embargo, aunque las observaciones actuales apuntan a un universo plano con W = 1, también apuntan a que la componente principal del universo no es materia, sino algún tipo de energía oscura todavía por determinar.
    A veces nos puede confundir el término R(t), puesto que en principio su elección es arbitraria. En un universo cerrado de geometría espacial esférica se podría relacionar con el "radio del universo", pero en los otros dos casos esta noción tiene aún menos sentido si cabe. Se suele arreglar esta posible confusión haciendo

R (t) = a(t) R

Donde a(t) es un factor adimensional que se conoce como parámetro de expansión o factor de escala, y que ya no depende de los objetos concretos que se elijan.
Podemos definir  a(t₀) = 1, donde t₀  es el momento presente y fácilmente llegar a la ecuación de evolución del parámetro de expansión, siguiendo la ec.1.

(da/dt)² - 8/3 p G r a² = constante

Denominada muchas veces Ecuación de Friedmann.
y que se suele expresar como

H² = [1/a da/dt]² = 8/3 p G r - K c²/a²

    Otra ecuación fundamental en el estudio de la dinámica proviene del la primera ley de la termodinámica (principio de conservación de la energía). Para un volumen V = 4/3 p a³R³que contiene una masa M, tenemos que la energía interna viene dada por

E =M c² = r V c²

    Siendo r la densidad media en el volumen V y c la velocidad de la luz. Para una expansión adiabática (sin intercambio de calor) de dicho volumen tiene que cumplirse el primer principio de la termodinámica de tal forma que la variación de la energía interna sea igual al trabajo realizado por la expansión (*).
    dE/dt = -p dV/dt  Þ  d/dt (r c² a³) = - p d/dt (a³) Þ dr/dt = -3 H ( r + p/c²)
Que es otra ecuación importante.
    Conocidad entonces la presión en función de la densidad, lo que se denomina ecuación de estado p = p(r), podemos resolver las ecuaciones y hallar todos los parámetros relevantes en función del tiempo, es decir a(t), H(t), r(t) y p(t)
    Las ecuaciones de estado más típicas corresponden a:
Tipo m) Polvo o materia fría.                     p/c² << r
Tipo r) Radiación o materia caliente.          p = 1/3 r c²
Tipo l) Constante cosmológica                  p = - r c²
Tipo Q) Quintaesencia                                p = w r c² con -1< w <0 font="">