ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de lamecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).- ........................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=2307e07c15bd36f2d4b05ca35feb9da6bed3dce4&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaciones+de+Euler-Lagrange

Ecuaciones de Lagrange

Barbol

Mayo 2003

Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.

1 Parámetros de las ecuaciones

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:

- Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.
- Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.
$q_{j}$ - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.
$\dot{q}_{j}$ - Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.
$Q_{j}$ - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

2 Formulaciones de las ecuaciones

2.1 Caso general

La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j} \end{displaymath}$

(1)

El subíndice

va desde

hasta

, por lo que éstas son

ecuaciones (siendo

el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas

ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.

2.2 Caso conservativo

Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:

$\begin{displaymath} Q_{j}=\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \cdots , q_{n})}{\partial q_{j}}\equiv \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \end{displaymath}$

(2)

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\r... ...partial T}{\partial q_{j}}+\frac{\partial V}{\partial q_{j}}=0 \end{displaymath}$

(3)

Si definimos $L\equiv T-V$ como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que $\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \dots , q_{n})}{\partial \dot{q}_{j}}=0$ , es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0 \end{displaymath}$

(4)

2.3 Caso continuo

En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana $\mathcal{L}$ , de modo que la lagrangiana sería

$\begin{displaymath}L= \int_{0}^{L} \mathcal{L}dx . \end{displaymath}$

La forma de la densidad lagrangiana es:

$\begin{displaymath} \mathcal{L}=\frac{1}{2} \Big[ \rho \Big( \frac{\partial q}{\... ...\Big) ^{2}-T\Big( \frac{\partial q}{\partial x}\Big) ^{2}\Big] \end{displaymath}$

(5)

Con $\rho$ la densidad del objeto y

la tensión a la que está sometido.

Si denotamos $\dot{q}=\frac{\partial q}{\partial t}$ y $q'=\frac{\partial q}{\partial x}$ podemos escribir las Ecuaciones de Lagrange como:

$\begin{displaymath} \frac{\partial }{\partial t}\Big( \frac{\partial \mathcal{L}... ...l q'}\Big) -\Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}\Big) \end{displaymath}$

(6)

3 Teoremas de conservación

Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley de conservación. Estas simetrías se deben a las coordenadas cíclicas.

Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana, puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) $\Rightarrow$ conservación de la energía.
Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) $\Rightarrow$ conservación del momento lineal.
Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) $\Rightarrow$ conservación del momento angular.

La ecuación de Black es un modelo matemático que estima el tiempo medio de operación entre fallos de un circuito semiconductor debido a la electromigración, un fenómeno de agitación molecular del estado sólido en presencia de un campo electromagnético.

$MTTF = Awj^{-n} e^\left(\frac{Q}{kT}\right)$

siendo:

$MTTF$ , tiempo medio de operación entre fallos (en inglés: mean time to failure),
$A$ , una constante,
$j$ , la densidad de corriente,
$n$ , un parámetro del modelo,
$Q$ , la energía de activación en eV,
$k$ , la constante de Boltzmann,
$T$ , la temperatura en K y
$w$ , la anchura del hilo metálico.

El modelo es abstracto, no está basado en un modelo físico específico, pero describe de forma flexible la dependencia de la tasa de fallo con la temperatura, la tensión eléctrica a la que se somete al material y la tecnología concreta. Siendo un modelo más descriptivo que predictivo, los valores de A, n y Q se obtienen mediante ajuste de los datos experimentales.

La utilidad del modelo reside en su capacidad de relacionar datos tomados bajo condiciones extremas de temperatura y tensión en breves periodos de tiempo con las tasas de fallo esperables bajo condiciones habituales de funcionamiento. Los datos se obtienen sometiendo al material a pruebas a alta temperatura.

ecuación de Euler (por Leonhard Euler), a veces también llamada ecuación de Euler-Eytelwein (por Johann Albert Eytelwein) a la ecuación fundamental que describe la tensión de la correa en una polea. Esta se suele formular de la forma más general como:

(1) $\frac{T_1- \frac{wv^2}{g}}{T_2 - \frac{wv^2}{g}} = e^{\frac{f\alpha}{sen(\phi/2)}}$ .- ......................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=6f64be5263a75862421fda487950bdaf42e1728b&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaci%C3%B3n+de+Euler+%28poleas%29