viernes, 20 de febrero de 2015

FÍSICA - ECUACIONES DE LA FÍSICA

 ecuación de Dirac de ondas relativista de la mecánica cuántica fue formulada por Paul Dirac en 1928. Da una descripción de las partículas elementales de espín ½, como elelectrón, y es completamente consistente con los principios de la mecánica cuántica y de la teoría de la relatividad especial. Además de dar cuenta del espín, la ecuación predice la existencia de antipartículas.- ..................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=395ef356910dae258e4639800dc5ba6cedafbb2b&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaci%C3%B3n+de+Dirac





Ecuación de Dirac, una derivación

La idea es muy simple, vayamos por pasos, (en lo que sigue trabajaremos con unidades \hbar=c=1):
  • La relación entre la energía y el momento relativista se ha de cumplir en cualquier caso: E^2=\vec{p}^2+m^2.
  • Hagamos las sustituciones usuales en cuántica para la energía y el momento: E=i\partial_t y \vec{p}=(-i\vec{\nabla}). Recordemos que \partial_\lambda=\dfrac{\partial}{\partial\lambda} y \vec{\nabla}=(\partial_x,\partial_y,\partial_z). Por lo tanto nos queda:
(i\partial_t)^2\psi=\left((-i\vec{\nabla})^2+m^2\right)\psi
  • Esta no es más que la ecuación de Klein-Gordon.
  • Ahora, recordando que la ecuación de Schrödinger se puede escribir formalmente como: i\partial_t\psi=H\psi.  En este caso vamos a considerar que la parte de Hamiltoniano en la ecuación de Klein-Gordon en realidad es el cuadrado de un Hamiltoniano previo que podemos escribir con toda generalidad como:
H=\vec{\alpha}(-i\vec{\nabla})+\beta m
  • De forma que H^2=\left((-i\vec{\nabla})^2+m^2\right).
  • \vec{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) y \beta son, en principio, cuatro constantes por determinar.
Desarrollemos pues el cuadrado de ese Hamiltoniano propuesto:
1.-  H^2=\left(\alpha_i(-i\nabla_i)+\beta m\right)\left(\alpha_j(-i\nabla_j)+\beta m\right)=
2.-  Escribiendo los sumatorios de manera explícita:
=\sum_{i,j}\alpha_i\alpha_j (-i\nabla_i) (-i\nabla_j)+\sum_i \alpha_i\beta (-i\nabla_i) m+ \sum_j\beta\alpha_j(-i\nabla_j)m+
+\beta^2 m^2=
3.-  Ahora, el primer sumatorio lo podemos separar en dos partes. La primera cuando i=j y el otro haciendo la suma para valores i>j simetrizando los productos para poder recorrer todos los términos requeridos para la suma.  Los sumatorios que contienen productos \beta\alpha_{i,j} podemos renombrarlos para agruparlos:
=\sum_i \alpha_i^2(-i\nabla_i)^2+\sum_{i>j}(\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i)(-i\nabla_i)(-i\nabla_j)+ \sum_i (\alpha_i\beta+\beta\alpha_i)(-i\nabla_i)m+
+\beta^2m^2=
4.-  Ahora imponemos que esto sea el Hamiltoniano de Klein-Gordon que es imponer la relación relativista entre la energía y el tiempo:
=(-i\vec{\nabla})^2+m^2
5.-  En este punto podemos ir encontrando las relaciones que tienen que cumplir \alpha_i y \beta para que esto sea posible:
a) \alpha_i^2=\mathbb{I} (podríamos escribir 1, pero vamos a usar esta notación que adquirirá sentido en breve)
b) \beta^2=\mathbb{I} (podríamos escribir 1, pero vamos a usar esta notación que adquirirá sentido en breve)
c) \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=0 para i\neq j
d) \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0
El anticonmutador
Podemos reescribir estas propiedades usando el anticonmutador. Dados dos objetos matemáticos, A y B, el anticonmutador { , }, calcula:
\{A,B\}=AB+BA
Si este objeto se anula, decimos que A y B anticonmutan y por lo tanto AB=-BA.
Así pues, tenemos:
a) \{\alpha_i,\alpha_j\}=0 para i\neq j.
b) \{\alpha_i,\beta\}=0
c) \alpha_i^2=\beta^2=\mathbb{I} para i,j=1,2,3.
Por lo tanto, (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta) son objetos tales que su cuadrado nos da la unidad y anticonmutan entre ellas. Estas características hace que estos objetos no puedan ser número ordinarios, tienen que ser matrices.
La ecuación de Dirac tiene la forma:
i\partial_t\psi=\left[\vec{\alpha}(-i\vec{\nabla})+\beta m\right]\psi
En esta aportación sería interesante entender y seguir los pasos que hemos dado para llegar a la ecuación de Dirac. En la siguiente entrada nos centraremos en determinar quienes son esas matrices (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta) y sus posibles realizaciones.  Esas matrices serán la clave para llegar a las maravillas de la ecuación de Dirac.
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