sábado, 21 de febrero de 2015

FÍSICA - ECUACIONES DE LA FÍSICA

ecuación KPZ (por las inicales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal. Describe la variación temporal del grosor \phi(\vec x,t) de una lámina. Es un buen modelo de crecimiento de superficies. Viene dada por la expresión:
\frac{\partial \phi(\vec x,t)}{\partial t} = \nu\nabla^2 \phi + \frac{\lambda}{2} \left[\nabla \phi\right]^2 + \eta(\vec x,t) \;
donde \eta(\vec x,t) es un ruido gaussiano blanco con primer segundo momentos:
\langle \eta(\vec x,t) \rangle = 0 \qquad\mathtt{y}\qquad \langle \eta(\vec x,t) \eta(\vec x',t') \rangle = 2D\delta^d(\vec x-\vec x')\delta(t-t')
donde \nu, \lambda y D son parámetros del modelo; d es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución. En concreto:
  1. si d<2 la ecuación tiene una sola fase "áspera" en la que las fluctuaciones de \phi divergen algebráicamente con el tamaño del sistema, desestabilizando cualquier comportamiento estudiado;
  2. si d>2 la ecuación presenta una "fase fluida" —un acoplamiento débil— para \lambda lo suficientemente pequeña. En esta fase, las fluctuaciones son pequeñas y el comportamiento es coherente globalmente. El estudio de las correlaciones espaciales y temporales arroja que:
\langle \phi(x_1,t)\phi(x_2,t)\rangle\sim\frac{1}{r^{d-2}}\qquad\mathtt{y}\qquad \langle \phi(x,t_1)\phi(x,t_2)\rangle\sim\frac{1}{t^{\frac{d-2}{2}}}




Ecuación de Kepler

Soluciones de la ecuación de Kepler para cinco excentricidades diferentes entre 0 y 1.
Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos F lo ocupa el Sol, pero no lo hacen con un movimiento uniforme, sino que el radio vector Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (ley de las áreas). La expresión matemática de esta ley es la ecuación de Kepler:
M=E- e \,\mathrm{sen}\, E,
donde:
Fue derivada por primera vez por Johannes Kepler en 1609 en el capítulo 60 de su Astronomia nova,1 2 y en el libro V de su Epitome of Copernican Astronomy (1621) Kepler propuso una solución iterativa a la ecuación.3 4 La ecuación ha jugado un papel importante en la historia de la física y las matemáticas, en particular en la mecánica celeste clásica.- ................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=baf1cf7518cb1601ecf8c23f5ccf7c2ef24de12b&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaci%C3%B3n+de+Kepler







Ecuación de Kepler
Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos lo ocupa el Sol, pero no lo hacen con un movimiento uniforme, sino según la ley de las áreas barriendo el radio vector Sol-Planeta áreas iguales en tiempos iguales. La plasmación matemática de esta ley es la Ecuación de Kepler: M=E-e sen E donde M es la anomalía media o ángulo que recorrería un planeta ficticio que se moviese en movimiento uniforme, e es la excentricidad de la elipse situada entre 0<=e<1 a="" anomal="" e="" el="" es="" exc="" font="" gnita="" inc="" la="" ntrica="" problema.="" que="" resuelve="" y="">
Supongamos que el planeta da una vuelta al Sol en un tiempo denominado periodo T. El movimiento medio n es el ángulo girado en la unidad de tiempo suponiendo movimiento uniforme n=360/T en grados/día si el periodo se expresa en días. Usando la 3ª ley de Kepler GM T2/a3=4p2 resulta n2=(2p/T)2=GM/a3 siendo a el semieje mayor de la órbita.
Si t0 es el instante de paso por el perihelio, la anomalía media en un instante t es M=n*(t-t0)
Se puede demostrar que la Ecuación de Kepler es: M=E-e sen E.
Para un tiempo dado, M es conocido, con la que queda una ecuación trascendente en E cuya resolución es el motivo de este applet. Se podría haber resuelto usando el método de Newton. Este método se ha usado para resolver el movimiento hiperbólico. Aquí se ha preferido las aproximaciones sucesivas: E0=M. E1=M+e sen E0 y en general Ei=M+e sen Ei-1 hasta que la diferencia entre Ei-1 y Ei es menor que una cantidad prefijada. Para ello se ha usado la estructura de Java while (condicion). La ecuación se puede resolver en radianes o en grados en este último caso hay que hacer homogéneos ambos sumandos Ei=M+e sen Ei-1 180/p.
Una vez hallado E se calculan las coordenadas cartesianas (x,y) del planeta. El sistema de ejes X e Y están en el plano de la órbita y se cortan en el Sol (o primario) estando dirigido el sentido positivo del eje X hacia el perihelio del planeta.
Las coordenadas x e y en función de la Anomalía Excéntrica E y la Anomalía Verdadera V cumplen:
x=r cos V=a (cos E-e)
y=r sen V=a (1-e2)1/2 sen E
En el applet se calcula (x,y) mediante E lo que tiene la ventaja de omitir el cálculo de V mediante su relación con E. Posteriormente se calcula V mediante la relación entre polares y cartesianas tg V=y/xresolviendo la ambigüedad si x<0 180="" 360="" a="" ade="" adiendo="" b="" calcular="" cuadrante="" es="" mediante="" nbsp="" negativo="" podr="" r="" se="" si="" v="">r2= x2+y2
 o mediante r=a (1-e cos E).Calculando (x,y) para varios tiempos distribuidos a lo largo del periodo puede dibujarse la órbita y comprobar la ley de las áreas.
Ejemplo: Para el cometa Encke a=2.218 U.A. e=0.84716 n= 0,2985 º/día y periodo T=1206,03 días. Calcular los puntos (x,y) cada 30 o 60 días y representarlos en papel milimetrado.
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