sábado, 21 de febrero de 2015

FÍSICA - ECUACIONES DE LA FÍSICA

ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial en derivadas parciales usada en mecánica clásica y mecánica relativista que permite encontrar las ecuaciones de evolución temporal o de "movimiento".- ................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=4ff742e515bb4e526adff793a672c3b61cdbd40f&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaci%C3%B3n+de+Hamilton-Jacobi





 Formulación general

la ecuación de Hamilton-Jacobi representa la formulación más potente de la mecánica clásica, y que de hecho proporciona el puente entre la mecánica clásica y la cuántica. En un sistema mecánico de $ N$ grados de libertad, representado por el hamiltoniano $ H({\bf {q}}, {\bf {p}}, t)$ la forma general de la ecuación de Hamilton-Jacobi es
$\displaystyle \boxed{ \dfrac{\partial S( {\bf{q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\... ...( {\bf{q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial {\bf{q}}} , t \right) = 0 \ , }$(1)

donde $ {\boldsymbol{\alpha}}$ son $ N$ constantes del movimiento, que se determinan mediante las condiciones iniciales. La solución de esta ecuación, $ S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)$ se denomina función principal de Hamilton, y se puede interpretar como la acción del sistema. A partir de ella se puede encontrar completamente la trayectoria del sistema en el espacio de fases,$ \big({\bf {q}}(t), {\bf {p}}(t)\big)$ , a través de las ecuaciones
$\displaystyle {\bf {p}}(t)$$\displaystyle = \dfrac{\partial S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial {\bf {q}}} \ ,$(2)
$\displaystyle {\boldsymbol{\beta}}$$\displaystyle = \dfrac{\partial S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial {\boldsymbol{\alpha}}} \ ,$(3)

donde $ {\boldsymbol{\beta}}$ son las otras $ N$ constantes del movimiento. La ecuación (2) nos da directamente el momento en función del tiempo. Utilizando esta información, podemos invertir la ecuación (3) para obtener la posición en función del tiempo. En la sección de problemas de ésta misma web se pueden encontrar ejemplos de resolución de sistemas mecánicos mediante la ecuación de Hamilton-Jacobi.

2 Sistemas conservativos

Para sistemas conservativos, en que el hamiltoniano es una constante del movimiento, la energía, podemos identificar una de las constantes con la energía, $ \alpha_1 = E$ . Esto nos propone el siguiente ensayo para la función principal de Hamilton,
$\displaystyle S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t) = - E t + W({\bf {q}},{\boldsymbol{\alpha}}) \ ,$(4)

donde $ W({\bf {q}},{\boldsymbol{\alpha}})$ se conoce como la función característica de Hamilton. De esta forma la ecuación de Hamilton-Jacobi queda de la forma
$\displaystyle \boxed{ H \!\! \left( \! {\bf{q}}, \, \dfrac{\partial W({\bf{q}}, {\boldsymbol{\alpha}})}{\partial {\bf{q}}} \right) = E \ . }$(5)

2.1 Coordenadas cíclicas

En un sistema con coordenadas cíclicas, es decir, donde hay alguna coordenada $ q_i$ que no aparece explícitamente en el hamiltoniano, se puede realizar una simplificación en la ecuación de Hamilton-Jacobi. Del teorema de Noether sabemos que el momento conjugado de una variable cíclica siempre es una constante del movimiento, con lo cual podemos identificarlo con una de las constantes, $ p_i = \alpha_i$ , y de la ecuación (2), que ahora se escribe de la forma
$\displaystyle p_i = \alpha_i = \dfrac{\partial S({\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial q_i} \ ,$(6)

encontramos que la función principal de Hamilton se puede separar de la forma
$\displaystyle S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t) = \alpha_i q_i + \tilde S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t) \ ,$(7)

donde $ \tilde S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)$ no depende de $ q_i$ . Este procedimiento se puede repetir para todas las coordenadas cíclicas del hamiltoniano en cuestión.

3 Demostración de la ecuación

La ecuación de Hamilton-Jacobi es consecuencia directa de las ecuación de Hamilton, y se deduce utilizando el método de las transformaciones canónicas. Unatransformación canónica es un cambio de variables en el espacio de fases tal que mantiene invariante la forma de las ecuaciones de Hamilton.
Se puede demostrar, ver por ejemplo el Goldstein, que todas las transformaciones canónicas se pueden obtener a partir de una función generadora arbitraria, que se puede escoger de cuatro formas diferentes. Mediante una transformación de segundo tipo podemos realizar un cambio de variables a un nuevo sistema $ ( {\bf {P}}, {\bf {Q}})$ donde todas las variables y momentos sean constantes. La función generadora de esta transformación es la función principal de Hamilton.
Dado que las nuevas variables cumplirán también las ecuaciones de Hamilton, con un nuevo hamiltoniano, la forma de asegurar que todos los momentos y coordenadas sean constantes es que el nuevo hamiltoniano sea una constante; por ejemplo, cero. Se puede demostrar que el nuevo hamiltoniano es igual al anterior más la derivada temporal de la función generadora; si ha de ser nulo, obtenemos la ecuación (1).
Finalmente, se puede demostrar que las ecuaciones (2) y (3) nos dan la relación entre las nuevas variables y las viejas.
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