FÍSICA - ESTUDIOS Y EJEMPLOS

Bombardear un blanco móvil desde un avión.

Descripción

Cuando el avión deja caer la bomba, esta sale con la misma velocidad horizontal que el avión, de modo que las componentes de su velocidad inicial son v0x=v0 y v0y=0

Conocida la altura a la que vuela el avión y su velocidad mediante las ecuaciones del tiro parabólico se puede hallar fácilmente el alcance horizontal de la bomba, es decir, la distancia desde el punto en que la dejó caer el piloto y el impacto sobre el suelo
La composición de movimientos nos indica que mientras la bomba cae, se desplaza horizontalmente una distancia igual al producto de la velocidad del avión por el tiempo que tarda en caer. Como podemos observar, el avión y la bomba están siempre en la misma vertical.
¿Cómo cambia el resultado si el blanco se mueve con velocidad constante en la misma dirección que el avión?. En la figura tenemos el esquema.

Sea xa la posición del avión y sea xb la posición del móvil en el momento en el que el piloto suelta la bomba. Para destruirlo, la distancia entre el avión y el blanco deberá serxa+vat=xb+vbt tal como se ve en la figura. Donde t es el tiempo que tarda la bomba en descender la altura h h=gt2/2

La bomba se suelta en el instante t'.  Las posiciones del avión x_a y del blanco x_b en dicho instante serán respectivamente,
x_a=v_at'
x_b=x_0b+v_bt' 
A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión x_a en el momento en el que tiene que soltar la bomba para acertar en el blanco, conocidos los datos de la altura h,  velocidad del avión v_a, la posición inicial del blanco x_0b  y su velocidad v_b.

Ejemplo:

El blanco parte de la posición x_0b=542.5 m

y su velocidad es v_b=17.4 m/s

El avión sale del origen, su altura h=191.3 m y velocidad v_a=89.4 m/s se mantienen constantes

Se pulsa el botón que deja caer la bomba, que tarda en llegar al suelo un tiempo

La posición del avión en el momento en el que suelta la bomba para acertar en el blanco deberá ser

Tiros frontales a canasta

El juego del baloncesto

En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas  reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

• El aro está a una altura de 3.05 m del suelo
• El diámetro del aro es de 45 cm
• El diámetro del balón es de 25 cm

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ₀, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

• Conocido el ángulo de tiro θ₀, calculamos la velocidad inicial

• Conocida la velocidad inicial v₀, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ₀. Para ello, utilizamos la relación 1+tan²θ₀=1/cos²θ₀

o bien,

Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale

como

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v0 en función del ángulo de tiro θ0. la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero: tanθ0=h/Lcosθ0=0

Como v²₀ tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ₀ no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura

El ángulo de entrada θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es

Como θ_e es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que

El ángulo de tiro θ₀ tiene que cumplir

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θe mínimo (en valor absoluto) sen|θe|=2R/Da

donde R es el radio del balón y D_a es el diámetro del aro

Como 2R=25 cm y D_a=45 cm. El ángulo θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ₀. La relación entre ambos ángulos es

θ_0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ₀ que sea mayor que el valor mínimo θ_0Lpara conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v₀ en función del ángulo de tiro θ_0. Observamos que la curva tiene un mínimo v_0m para cierto valor del ángulo de tiro θ_0m.

Calculamos el ángulo θ_0m para el cual la velocidad inicial v₀ es mínima.

Despejamos el ángulo θ₀

-2sen²θ₀+2(h/L)senθ₀·cos θ₀+1=0

Expresamos el ángulo θ_0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones

En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a

Conocido el valor θ_0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v_0m. Para ello empleamos la relación 1+tan²θ=1/cos²θ

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v₀ tiene que ser mayor que la mínima v_0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien, h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo

• Dado el ángulo de tiro θ₀=70º>53.2º  calculamos la velocidad inicial

Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro

y la velocidad mínima vale

• Dada la velocidad de disparo v₀ es algo más complicado calcular el ángulo de tiro.

La velocidad v₀ tiene que ser mayor que el valor mínimo v_0m=6.39 m/s

Por ejemplo, si v₀=8.0 m/s, calcular θ₀.

Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ₀ son

θ₁=74.8º,  θ₂=33.6º

Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro.

Margen de error

En los apartados anteriores, hemos supuesto que el punto de impacto situado a una distancia L y a una altura h del punto de lanzamiento es único. Como el diámetro del balón es menor que el diámetro del aro, vamos a ver que existe una indeterminación en el alcance L, que da lugar a una tolerancia en la velocidad inicial v₀, en el ángulo de tiro θ₀ o en ambos a la vez. Por tanto, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de tiro que dan lugar a enceste pueden cambiar en un pequeño intervalo que depende de la posición inicial del balón respecto del aro.

Podríamos pensar que la indeterminación en el alcance es igual a la diferencia entre el diámetro del balón y el diámetro del aro, tal como se muestra en la figura. Sin embargo, el balón entra en el aro siguiendo una trayectoria cuya tangente forma un ángulo θ_e con la horizontal.

En la figura, el aro AB es atravesado por un balón cuya dirección de su velocidad forma un ángulo θe con la horizontal. En los triángulos rectángulos ABC y EDF AC=Da·sen|θe| EF=AC-2·R= Da·sen|θe|-2R ED=2ΔL=EF/sen|θe|

ΔL (en color rojo) representa el margen de error en la distancia horizontal L desde el punto de lanzamiento hasta el blanco. Este margen de error desaparece cuando ΔL=0, es decir, cuando

Como ya se ha explicado, el ángulo θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro, sin tocarlo.

• Fijado el ángulo de tiro θ₀> θ_0L la velocidad inicial v₀ no es única sino que está comprendida en el intervalo v₀+Δv₊ y v₀-Δv_-. Estos intervalos se calculan del siguiente modo.

 En la fórmula,

con los datos de h y L calculamos v₀ para un determinado ángulo de disparo θ₀

1. Sustituimos L por L+ΔL y calculamos la velocidad de disparo v₊= v₀+Δv₊
2. Sustituimos L por L-ΔL y calculamos la velocidad de disparo v_-= v₀-Δv_-

En la figura, se muestra las tres trayectorias:

• En color rojo, la que pasa por el centro del aro,
• En color azul, las que pasan por L+ΔL y por L-ΔL

• Fijada la velocidad de disparo v₀, el ángulo de tiro no es único sino que está comprendida en el intervalo θ₀+Δ θ ₊ y θ ₀-Δ θ _-. Estos intervalos se calculan del siguiente modo.

 Resolvemos la ecuación de segundo grado en tanθ₀.

con los datos de h y L calculamos el ángulo de tiro θ₀ para una determinada velocidad de disparo v₀.

1. Sustituimos L por L+ΔL y calculamos el ángulo de tiro θ ₊= θ₀+Δθ₊
2. Sustituimos L por L-ΔL y calculamos el ángulo de tiro θ _-= θ₀-Δθ _-

En la figura, se muestra las tres trayectorias:

• En color rojo, la que pasa por el centro del aro,
• En color azul, las que pasan por L+ΔL y por L-ΔL

Estos dos márgenes de error sirven de criterio para elegir la mejor trayectoria. Cuando mayor sea el margen de error para un determinado ángulo de tiro, mayor es la libertad del jugador para desviarse de los valores precisos de v₀ y θ ₀ necesarios para que el balón entre por el centro del aro.

Ejemplo:

Supongamos, como en el ejemplo del apartado anterior, que h=1 m y L=3 m.

• Fijamos el ángulo de tiro θ₀=70º, la velocidad inicial calculada v₀=7.21 m/s.

El ángulo de entrada del balón cuando llega al aro es

El margen de error ΔL en la distancia horizontal L vale

En la fórmula,

1. Sustituimos L por L+ΔL=3.086 y calculamos la velocidad inicial v₊=7.30 m/s, y la tolerancia Δv₊=0.09 m/s
2. Sustituimos L por L-ΔL=2.914 y calculamos la velocidad inicial v_-= 7.12 m/s, y la tolerancia Δv_-=0.09 m/s

• Fijamos la velocidad inicial v₀=8.0 m/s, el ángulo de tiro calculado es θ₀=74.83º

En la ecuación de segundo grado

• Sustituimos L por L+ΔL=3.086 y calculamos el ángulo de tiro θ_-=74.34º, y la tolerancia Δ θ _-=0.49º
• Sustituimos L por L-ΔL=2.914 y calculamos el ángulo de tiro θ₊ =75.32º, y la tolerancia Δ θ₊=0.49º