domingo, 22 de febrero de 2015

MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS MATEMÁTICOS

EPÓNIMOS :  Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto:
\sum_{n=0}^{\infty} f(n)= \int_{0}^{\infty}f(x)\,dx + \frac{1}{2}f(0) + i\int_{0}^{\infty}\frac{ f(i y) - f(-i y) }{e^{2\pi y} - 1} \,dy.
Esta fórmula es válida para funciones f(z) que sean holomorfas en la región \text{Re}(z) \ge 0 del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que |f(z)| está acotada por C/|z|^{1 + \epsilon} en esta región para alguna constante C > 0, aunque la fómrula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas. (Olver, 1997, p.290).
Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como
\zeta(s,\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\alpha)^{s}} = \frac{\alpha^{1-s}}{s-1} + \frac{1}{2\alpha^{s}} + 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(s \arctan\left(\frac{y}{\alpha}\right)\right)}{( y^{2} + \alpha^{2})^{\frac{s}{2}}}\frac{dy}{e^{2\pi y} - 1},
fórmula válida \forall s\in\mathbb{C}. En el caso particular \alpha = 1 tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(s \arctan\left(y\right)\right)}{( y^{2} + 1 )^{\frac{s}{2}}}\frac{dy}{e^{2\pi y} - 1},
fórmula también válida \forall s\in\mathbb{C}. Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}f(n) = \frac{1}{2}f(0) + i\int_{0}^{\infty}\frac{f(i y)-f(-i y)}{2\sinh(\pi y)}\,dt.





aguja de Buffon es un clásico problema de probabilidad geométrica, de realización práctica y cuyo interés radica en que es un método difícil para ir aproximando el valor del número π a partir de sucesivos intentos. Fue planteado por el naturalista francés Buffon en 1733 y reproducido por él mismo ya resuelto en 1757 . Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/\pi.- .................................................................:
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